Статистика. Общая теория. Ответы на экзаменационные вопросы

ющим равенством: величина общей дисперсии равна сумме межгрупповой и внутригрупповой дисперсий.

σ2общ. = δ2межгр. +σ2 внутригр.

Правило сложения дисперсий используется при определении степени точности типической выборки и при определении показателей тесноты связи изучаемого признака с определяющими его величину признаками-факторами.

Тест № 6 для самоконтроля знаний

1.Размах вариации составляет 200 единиц. Максимальное значение признака составляет 300 единиц. Чему равно минимальное значение признака?

2.Среднее линейное отклонение представляет собой:

1)среднюю арифметическую отклонений индивидуальных вариантов от их средней;

2)среднюю арифметическую из абсолютных значений отклонений значений признака от их средней;

3)средний квадрат отклонений значений признака от средней величины.

3.Если число членов ряда равно 3, а отклонения индивидуальных значений признака от средней равны: –5; 3; –1, чему равно среднее линейное отклонение?

4.Если число членов ряда равно 5, а сумма абсолютных значений отклонений признака от средней равно 15, чему равно среднее линейное отклонение?

5.Если среднее линейное отклонение равно 3, а число членов ряда равно 5, то чему будет равна сумма абсолютных отклонений вариантов от средней величины?

6.Среднее значение по совокупности равно 9, дисперсия составляет 4,84. Чему равен коэффициент вариации?

7.Коэффициент вариации составляет 0,33, среднее значение признака равно 5. Чему равна дисперсия?

8.Среднее квадратическое отклонение равно 50, коэффициент вариации равен 20 %. Чему равно среднее значение признака?

9.Дисперсия признака составляет 360000, коэффициент вариации равен 50 %. Чему равно среднее значение признака?

10.Определите дисперсию признака, если средняя величина признака равна 2600 ед., а коэффициент вариации равен 30 %?

61

ТЕМА 7

ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ

1.Сущность выборочного наблюдения.

2.Теоретические основы выборочного наблюдения.

3.Ошибки выборки.

4.Виды и способы отбора единиц в выборочную совокупность.

5.Определение численности выборки.

1. Сущность выборочного наблюдения

Выборочное наблюдение является одним из самых распространенных способов несплошного наблюдения.

Выборочное наблюдение – это такой вид несплошного наблюдения, при котором статистическому обследованию подвергается часть единиц изучаемой совокупности, отобранных специальным способом в случайном порядке.

Целью выборочного наблюдения является нахождение средних характеристик всей совокупности по ее выборочной части.

При условии соблюдения всех научных принципов проведения выборочного наблюдения средние и относительные величины, полученные в результате его проведения, достаточно точно воспроизводят соответствующие показатели совокупности в целом.

К выборочному наблюдению прибегают в следующих случаях:

1.В целях экономии материальных средств и времени на проведение обследования.

2.Когда наблюдение сопряжено с порчей продукции.

3.Для уточнения результатов сплошного наблюдения.

4.Для исследований по расширенной программе. Примерами выборочного наблюдения являются обследо-

вания бюджетов домашних хозяйств, ежегодные учеты скота, затрат сырья, материалов, топлива, контроль за качеством продукции и т. д.

Основные понятия и категории, применяемые в теории выборочного наблюдения:

1.Генеральная совокупность (N) –совокупность единиц наблюдения, из которой производится отбор.

2.Выборочная совокупность (n) – совокупность отобранных единиц.

62

3.Генеральная средняя (X) – средний размер признака по генеральной совокупности.i

4.Выборочная средняя (X) – средний размер признака по выборочной совокупности.

5.Генеральная доля (Р) – доля (удельный вес) единиц генеральной совокупности, обладающих заданными свойствами.

6.Выборочная доля (W) – доля единиц выборочной совокупности, обладающих заданным значением.

2.Теоретические основы выборочного наблюдения

Теоретической основой выборочного наблюдения является Закон больших чисел, который применительно к выборке понимается следующим образом: чем больше объем выборочной совокупности, тем точнее результаты исследования, т. е. тем ближе средние величины выборочной совокупности к средней величине генеральной совокупности.

Самой обобщающей из теорем, относящихся к выборочному методу, является теорема Чебышева П.Л. с дополнениями Ляпунова А.М.,

где t – коэффициент доверия (кратности ошибки); – μ средняя ошибка выборки.

Применительно к выборочному наблюдению данная теорема формулируется следующим образом: с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом объеме выборки разность между выборочной средней и генеральной средней будет сколь угодно мала.

Частным случаем теоремы П. Чебышева для альтернативного признака является теорема Я. Бернулли, которая трактуется следующим образом: при достаточно большом объеме выборки вероятность расхождения между долей заданного признака в выборочной и генеральной совокупности будет

стремиться к единице.

P [(W −P) ≤ tμ] ≥1− 1 . t2

63

3. Ошибки выборки

Основные теоремы выборочного метода предполагают наличие расхождений между выборочными и генеральными характеристиками, которые принято называть ошибками репрезентативности.

Они делятся на случайные и систематические (тенденциозные) ошибки.

Случайные ошибки регистрации считаются несущественными, поскольку отклонения в сторону увеличения или уменьшения встречаются одинаково часто, взаимно погашаются и не сказываются на конечных результатах исследования.

Систематические ошибки возникают в том случае, когда нарушается случайный принцип отбора, т. е. когда в выборку заведомо включаются лучшие или худшие единицы совокупности. Такие ошибки приводят к искажению результатов обследования.

Ошибки репрезентативности выборочного наблюдения являются разновидностью случайных ошибок. Проведенные выборочные наблюдения по одной и той же совокупности будут содержать различные ошибки репрезентативности. Поэтому определяется средняя из возможных ошибок, которая может иметь положительное или отрицательное значение

иобозначается μ.

Вматематической статистике доказано, что квадрат средней ошибки выборки в «n» раз меньше дисперсии генеральной совокупности, т. е.:

Таким образом, средняя ошибка выборки прямо пропорциональна степени колеблемости признака и обратно пропорциональна корню квадратному из числа единиц выборочной совокупности.

Следовательно, к примеру, чтобы уменьшить в 3 раза среднюю ошибку выборки, нужно объем выборки увеличить в 9 раз.

При определении средней ошибки выборки учитывается способ отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную совокупность.

Выборка единиц может осуществляться повторным или бесповторным способом.

64

При повторном способе отбора единицы, попавшие в выборку, снова возвращаются в генеральную совокупность и существует вероятность их попадания в выборку повторно.

При бесповторном отборе отобранные единицы в генеральную совокупность не возвращаются.

Поскольку размер вариации признака в генеральной совокупности неизвестен, при расчетах используют дисперсию выборочной совокупности.

В математической статистике доказано, что выборочная дисперсия меньше генеральной на величину nn−1 , которая

при достаточно больших значениях числа единиц выборочной совокупности стремится к 1. Следовательно, можно считать, что выборочная дисперсия приблизительно равна генеральной дисперсии.

При повторном отборе расчет средней ошибки выборки производят по следующей формуле:

μx = σn2 .

При бесповторном отборе расчет средней ошибки выборки определяется по формуле:

μx = σn2 (1− Nn ).

Поскольку сомножитель под корнем (1− Nn ) всегда мень-

ше единицы, то очевидно, что предельная ошибка выборки, рассчитанная по формуле бесповторного отбора, будет меньше, чем при расчете по формуле повторного отбора.

Средняя ошибка выборки для альтернативного признака при повторном отборе находится по формуле:

Средняя ошибка выборки для альтернативного признака при бесповторном отборе определяется по формуле:

где W (1 – W) –дисперсия альтернативного признака.

65

Удельный вес (доля) единиц выборочной совокупности,

обладающих заданным свойством, находится по формуле:

W = mn ,

где m – число единиц выборочной совокупности, обладающих заданным свойством.

Средняя ошибка выборки показывает возможные отклонения выборочной средней (доли) от этих характеристик в генеральной совокупности. Однако в каждом конкретном случае о величине ошибки судят с определенной степенью вероятности, на которую указывает коэффициент доверия «t».

Произведение коэффициента доверия на среднюю ошибку называют предельной ошибкой выборки ( x) . Она позволяет определить, в каких пределах будет отклоняться генеральная средняя (доля) от выборочной средней (доли), и находится по формуле t μ .

Предельная ошибка средней деляется:

x = t

Для бесповторного отбора:

x = t σn2 (1− Nn ).

Предельная ошибка доли признака для повторного отбора определяется следующим образом:

Возможные границы среднего значения признака по генеральной совокупности определится следующим образом:

x = x ± x.

Тогда расчет возможных пределов среднего значения признака определится следующим неравенством:

x − x ≤ x ≤ x + x.

Границы доли признака по генеральной совокупности находят используя следующее неравенство:

w − w ≤ p ≤ w + w.

66

Пример. По данным о весе изделий (см. стр. 42) определить:

1.С вероятностью 0,997 (t = 3) возможные границы среднего веса изделия во всей произведенной партии.

2.С вероятностью 0,954 (t = 2) границы доли (удельного веса) изделий с весом от 40 до 46 граммов во всей партии продукции.

Решение

1.Определяем предельную ошибку выборочной средней, используя ранее рассчитанные значения средней массы изделия и дисперсии по выборке (см. стр. 56) и заданную долю

выборки, составляющую 19 % (см. условие на стр. 42):

Возможные границы среднего веса изделий во всей партии продукции составят:

43,14 −0,57 ≤ x ≤ 43,14 +0,57 42,57 ≤ x ≤ 43,71.

Вывод. С вероятностью 0,997 мы можем утверждать, что средний вес изделий во всей партии будет находиться в пределах от 42,6 грамма до 43,7 граммов.

2. Определим удельный вес (долю) изделий массой от 40 до 46 граммов во всей выборочной совокупности:

т. е. 80 % отобранных изделий имеют вес от 40 до 46 граммов. Тогда предельная ошибка выборочной доли составит:

= 2 · 0,036 = 0, 072, или 7,2 %.

Границы доли (удельного веса) изделий с массой от 40 до 46 граммов во всей партии продукции будут находиться в

Вывод. С вероятностью 0,954 можно утверждать, что удельный вес изделий с массой от 40 до 46 граммов во всей партии продукции будет находиться в пределах от 73 % до 87 %.

67

4.Виды и способы отбора единиц в выборочную совокупность

Систему организации отбора единиц из генеральной совокупности называют способом отбора. В практической деятельности чаще всего применяют следующие способы отбора:

1.Собственно-случайный.

2.Типический.

3.Серийный.

4.Механический.

Собственно-случайная выборка характерна тем, что отбор единиц из генеральной совокупности производится с использованием таблицы случайных чисел. Все единицы генеральной совокупности нумеруются, после чего из таблиц случайных чисел выписывают столько чисел, сколько требуется для выборки, т. е. по количеству «n». Затем из генеральной совокупности отбираются те единицы, которые соответствуют по порядку номеров числам, выписанным из таблицы.

К недостаткам собственно-случайной выборки можно отнести тот факт, что нужно заранее знать размер генеральной совокупности, что не всегда возможно, а также сложность применения этого способа при больших совокупностях.

При проведении типической выборки генеральная совокупность разбивается на типические однородные группы по какому-то признаку. Из каждой образованной группы единицы отбираются в случайном порядке пропорционально или непропорционально удельному весу групп в генеральной совокупности.

Серийная выборка заключается в том, что совокупность разбивается на серии, объем которых может быть различным или одинаковым. Отбор серий производится в случайном порядке, а внутри них проводится сплошное обследование.

При механическом отборе изучаемая совокупность делится на равные части, расположенные в каком-либо механическом порядке (алфавитном, географическом, в порядке возрастания или убывания).

Пропорция отбора устанавливается делением численности генеральной совокупности на объем выборки (N/n).

Чаще всего этот способ применяется там, где имеется объективная последовательность в расположении единиц отбора.

68

5. Определение численности выборки

Необходимую численность выборки можно определить, исходя из допустимой ошибки при выборочном наблюдении. Численность выборки выводится из приведенных ранее формул предельной ошибки выборки.

Объем выборки для бесповторного отбора определяется по формуле:

Для повторного отбора этот расчет производится по следу-

ющей формуле:

n = t2σ22 . x

Аналогичный расчет применяется и для альтернативного признака.

Из приведенных формул очевидно, что с увеличением допустимой ошибки выборки значительно уменьшается ее необходимый объем, а численность выборки прямо пропорциональна дисперсии признака и квадрату кратности ошибки (t2).

Тест № 7 для самоконтроля знаний

1.Выборочное наблюдение является одним из способов:

1)сплошного наблюдения;

2)несплошного наблюдения;

3)сводки и группировки.

2.При проведении выборочного наблюдения статистическому обследованию подвергается:

1)часть единиц изучаемой совокупности;

2)все единицы изучаемой совокупности;

3)единицы совокупности в выборке не участвуют.

3.При проведении выборочного наблюдения статистическому обследованию подвергается часть единиц изучаемой совокупности, отобранных:

1)специальным способом;

2)произвольным способом;

3)способ отбора не имеет значения.

69

4.Целью проведения выборочного наблюдения является:

1)экономия материальных и трудовых ресурсов;

2)разработка законов развития;

3)цель не преследуется.

5.Целью проведения выборочного наблюдения является:

1)выявление закономерности;

2)характеристика всей совокупности по обследуемой части единиц;

3)цель не преследуется.

6.К выборочному методу наблюдения прибегают в случаях, когда:

1)обследование сопряжено с порчей продукции;

2)совокупность состоит из небольшого числа единиц;

3)совокупность состоит из большого числа единиц.

7.К выборочному методу наблюдения прибегают в случаях, когда:

1)нужно провести обследования по расширенной программе;

2)совокупность состоит из небольшого числа единиц;

3)совокупность состоит из большого числа единиц.

8.Какая совокупность единиц является выборочной?

1)совокупность единиц, из которой производится отбор;

2)часть единиц совокупности, отобранная из генеральной совокупности в случайном порядке;

3)совокупность единиц, обладающих интересующим исследователя значением признака.

9.Какой из перечисленных показателей называется выборочной средней?

1)среднее значение признака во всей совокупности;

2)среднее значение признака, рассчитанное для единиц, которые подвергались выборочному наблюдению;

3)доля единиц, обладающих тем или иным значением признака, в генеральной совокупности.

10.При формировании выборочной совокупности соблюдение принципа случайности:

1)обязательно;

2)необязательно;

3)недопустимо.

70