Моделирование химико-технологических процессов. Учебное пособие

Обычно к этим зонам относятся объемы аппарата, в которых среднее время пребывания индикатора в три и более раз превышает среднее время пребывания элементов основного потока. С другой стороны, если среднее время пребывания некоторой части элементов потока составляет 0,1–0,3 от времени пребывания основного потока, то считается, что в аппарате имеется байпасный поток. В основе обоих типов неравномерности (неоднородности) времени пребывания элементов потока лежит, по существу, одно и то же физическое явление – движение отдельных частей потока, обособленных друг от друга различными объемными скоростями.

Рассмотрим явление рециркуляции потока с выхода на вход аппарата. Составим уравнение материального баланса

расхода рециркуляционного потока Gr к основному потоку G через R. Тогда разделив последнее уравнение на L{c}G, получим

L{c}

Отношение { } при нулевых начальных условиях представ-

L c′

ляет собой передаточную функцию W(p) аппарата без учета рецикла. Предположим, что эта передаточная функция соответствует модели идеального смешения

81

Комбинированные модели, составленные из последовательно соединенных моделей идеального смешения и идеального вытеснения. В такой комбинированной системе можно выделить

два варианта соединения моделей. Оценим, как влияет порядок соединения моделей на отклик системы на ступенчатое возмущение

на примере реакции первого порядка А К→В, которая протекает со скоростью dcdtA = −kcA (сА – концентрация вещества А). Рассмотрим

комбинированную систему, состоящую из модели идеального смешения (на первом этапе) и модели идеального вытеснения (на втором этапе). Для зоны идеального смешения объем зоны идеального смешения (Vсм) определяется как

Vсм dcdt′ = G(c′−cвх ), или −Vсмkc′ = G(c′−cвх ).

Следовательно, концентрация вещества А на выходе из зоны

В зоне идеального вытеснения при линейной скорости движения потока в аппарате v изменение концентрации описывается следую-

щим уравнением v dcdt = −kc. Интегрируя левую часть уравнения в пре-

делах от с′ до с по концентрации и от 0 до L (длина зоны вытеснения), получим с = с′е−ktвыт , где tвыт = Lv . Таким образом, концентрация с на выходе комбинированной системы «идеальное смешение –

Рассмотрим комбинированную систему, состоящую из модели идеального вытеснения (на первом этапе) и модели идеального смешения (на втором этапе). В этой системе концентрация с′ в зоне

идеального вытеснения определяется уравнением v dcdl′ = −kc′, реше-

ние которого имеет вид c′ = cвхe−ktвыт. В зоне идеального смешения изменение концентрации составляет Vсмkc =G(c′−c), откуда следует

c = cвхе−ktвых .

1+ ktсм

82

Таким образом, для химических реакций первого порядка (с линейной кинетикой) концентрация веществ на выходе из комбинированных систем «идеальное смешение – идеальное вытеснение» и «идеальное вытеснение – идеальное смешение» одна и та же и, следовательно, порядок следования моделей (зон идеального смешения и вытеснения) не оказывает влияния на протекание процесса.

Рассмотрим осуществление химической реакции с нелинейной кинетикой А+ А К→В. Скорость протекания химической реакции

Таким образом, концентрация вещества А на выходе из комбинированной системы «идеальное смешение – идеальное вытеснение» составит

Для системы, состоящей из модели идеального вытеснения (на первом этапе) и модели идеального смешения (на втором этапе) концентрация вещества на выходе из зоны идеального вытеснения опре-

83

Нетрудно убедиться, что выражения для выходных концентраций комбинированных систем «идеальное смешение – идеальное вытеснение» и «идеальное вытеснение – идеальное смешение» дают различные результаты. Следовательно, для осуществления химических реакций с нелинейной кинетикой порядок комбинирования моделей идеального смешения и идеального вытеснения оказывает влияние на протекание процесса взаимодействия.

9.2.Математическое описание процессов теплообмена

втехнологических аппаратах

Перенос теплоты возможен тремя различными способами: теплопроводностью, конвекцией и излучением. В технике рассмотренные способы теплообмена редко встречаются в обособленном виде, чаще всего приходится иметь дело с сочетанием двух или даже всех трех способов при их последовательном или одновременном действии. Особое место занимает теплообмен, сопровождающийся изменением агрегатного состояния тел, участвующих в этом процессе (испарение жидкости, конденсация паров). Различают два случая теплообмена: теплоотдачу и теплопередачу. Теплоотдачей называется процесс теплообмена между твердым телом (например, стенкой аппарата) и соприкасающейся с ней жидкостью или газом. Теплообмен между жидкостями, газами, жидкостью и газом, разделенными стенкой, называется теплопередачей.

Количество тепла, проходящее через данную поверхность за время τ – это тепловой поток (Q, Дж). Тепловой поток, проходящий в единицу времени через 1 м2 поверхности – удельный тепловой по-

Сформулируем физические закономерности, определяющие процессы, связанные с распространением тепла:

– закон Фурье – количество тепла dQ (Дж), переданного посредством теплопроводности через площадь, сечением S изотермической поверхностью тела за время dτ выражается основным уравнением те-

плопроводности dQ = −λS dTdn dτ. Отрицательный знак в правой части

уравнения является следствием падения температуры в направлении переноса теплоты. Коэффициент пропорциональности λ в уравнении

84

называется коэффициентом теплопроводности, он выражается количеством теплоты, переданным за 1 с через 1 м2 тела при градиенте температуры в 1 ºС на 1 м длины нормали к изотермической поверхности. Величина λ зависит от природы вещества, являясь его индивидуальным свойством. Численные значения коэффициента теплопроводности определяются опытным путем. Коэффициент теплопроводности для различных веществ существенно отличается, а для одного и того же вещества зависит от температуры, плотности, структуры, влажности и других факторов;

– уравненье Ньютона – тепловой поток dQdτ при конвективном

теплообмене пропорционален разности температур поверхности твердого тела (S) и соприкасающейся с ним среды.

Процессы теплообмена осуществляют в теплообменных аппаратах (теплообменниках). Теплообменником называется устройство для передачи теплоты от одних сред (горячие теплоносители) к другим (холодные теплоносители). В химической и пищевой технологиях теплообменники применяются для нагревания и охлаждения веществ в различных агрегатных состояниях, испарения жидкостей и конденсации паров, перегонки и сублимации, абсорбции и адсорбции, отвода и подвода тепла при проведении экзо- и эндотермических реакций. Соответственно своему назначению теплообменные аппараты называют подогревателями, холодильниками, испарителями, конденсаторами, дистилляторами, сублиматорами, плавителями и т. д.

По способу передачи теплоты различают теплообменники поверхностные и смесительные. В первом случае передача тепла происходит через разделяющие твердые стенки, во втором – непосредственным контактом (смешением) нагретых и холодных сред (жидкостей, газов, твердых веществ). Поверхностные аппараты подразделяются на рекуперативные и регенеративные. В рекуперативных аппаратах теплота от горячих теплоносителей к холодным передается через разделяющую их стенку, поверхность которой называется теплообменной поверхностью, или поверхностью нагрева. В регенеративных аппаратах оба теплоносителя попеременно соприкасаются с одной и той же стенкой (насадкой), нагревающейся (аккумулируя тепло) при прохождении горячего потока и охлаждающейся (отдавая аккумулированное тепло) при прохождении холодного потока.

Различают следующие виды расчетов теплообменных процессов, осуществляемые в тех или иных теплообменниках.

85

Проектный расчет проводят с целью определения площади необходимой теплообменной поверхности, а в случае многосекционных теплообменных аппаратов – числа их секций, схемы соединения секций или аппаратов между собой. Кроме того, при проектировании детализируют конструкцию теплообменника, компонуемую, как правило, из стандартизованных деталей, узлов, секций, аппаратов. Также рассчитывают массовые, габаритные, гидравлические и другие показатели технико-экономической эффективности.

Проектно-конструкторский расчет в отличие от проектного ориентирован на нестандартные теплообменные аппараты. Он выполняется на базе определенной технологической программы машиностроительного завода и разработанных каталогов основных деталей. Проектно-конструкторский расчет включает проектный, компоновочный и прочностной расчеты.

Проверочный расчет необходим для определения неизвестных переменных состояния теплоносителей (расход, давление, температура) при заданных конструкции и схеме потоков теплоносителей.

Термодинамический расчет проводят с целью выявления термодинамической эффективности процесса переноса теплоты, определения потерь эксергии, эксергитического коэффициента полезного действия и т. д.

Исследовательский расчет выполняют на основе проектного и поверочного расчетов для оптимизации термодинамических, энергетических, конструктивных или технико-экономических показателей теплообменников, а также с целью корректировки уравнений математических моделей по экспериментальным данных, выявление влияния различных физических величин или условий эксплуатации на показатели эффективности теплообменных аппаратов, условий переноса теплоты и т. д.

Рассмотрим вывод уравнения математической модели процесса нагрева потока жидкости конденсирующимся паром, осуществляемого в рекуперативном теплообменнике. Предположим, что нагреваемый поток жидкости подается в трубное (реакционное) пространство, пар – в межтрубное пространство (змеевик или теплообменную рубашку). Движение потока жидкости соответствует определенной типовой модели гидродинамики (идеальное смешение, идеальное

вытеснение, диффузионный режим и т. д.).

Гидродинамика нагреваемого потока соответствует модели идеального смешения, а пар подается в змеевик, находящийся внут-

ри реакционного пространства аппарата. При сделанных допущениях температура жидкости в каждой точке реакционного пространства

86

теплообменника и на его выходе одинакова, а пар конденсируется при температуре tk. Составим уравнение теплового баланса по потоку нагреваемой жидкости за промежуток времени (τ1, τ2):

где ср – теплоемкость потока жидкости; ρ – плотность потока жидкости; G – расход потока жидкости; S – поверхность теплообмена; V – объем реакционной зоны теплообменника; kτ – коэффициент теплопередачи.

Пользуясь теоремой о среднем получим равенство

= cpρV [T (τ2 ) −T (τ1)],

которое при помощи теоремы о конечных приращениях можно преобразовать к виду

При выводе уравнения мы брали произвольный промежуток времени (τ1, τ2), переходя к пределу (τ1, τ2) → τ получаем следующее

87

Гидродинамика нагреваемого потока жидкости соответствует модели идеального вытеснения. В этом случае теплообмен осу-

ществляется в аппарате типа «труба в трубе», причем пар подается в межтрубное пространство. Составим уравнение теплового баланса на участке трубы (l1, l2) за промежуток времени (τ1, τ2)

где d – внутренний диаметр трубы; S – площадь поперечного сечения. Пользуясь теоремой о среднем, получим равенство

которое при помощи теоремы о конечных приращениях преобразуем к виду

88

Данные рассуждения относятся к произвольным промежуткам, переходя к пределу, получим уравнение динамики процесса

v dTdl = kGτρπSd [tk −T (l)],

где v – скорость движения потока жидкости.

Гидродинамика нагреваемого потока жидкости соответствует диффузионной модели. Уравнение диффузионной модели теплообмена можно получить при подсчете баланса теплоты на отрезке (l1, l2) за промежуток времени (τ1, τ2):

Используя аналитические выкладки, аналогичные приведенным выше, получаем уравнение диффузионной модели динамики теплообмена

89

Контрольные вопросы и задания

1.Что представляет собой аналитическая модель?

2.Предложите математическое описание структуры потоков.

3.Какие методы исследования структуры потоков в аппарате существуют?

4.Укажите типовые модели аппаратов.

5.Охарактеризуйте теплообменные процессы в технологических аппаратах. Виды расчетов теплообменных процессов.

7.В чем заключается гидродинамика потоков различных моделей?

90