Моделирование химико-технологических процессов. Учебное пособие

Зона идеального перемешивания – застойная зона. Аппараты застойной зоны часто встречаются на практике, они не всегда очевидны, но оказывают существенное влияние на структуру потока. При наличии застойной зоны в ее объеме происходит аккумуляция некоторого количества вещества, которое пропорционально площади. Информацию о реальном потоке можно получить из анализа F или φ кривой, найденных экспериментально на реальном объекте. Отклонение опытных и идеальных кривых указывает на наличие застойной

зоны в аппарате.

Зона идеального перемешивания – зона идеального вытес-

нения. При моделировании различают параллельное и последовательное соединения. Комбинированная модель объекта с параллельным соединением описывает гидродинамику потока, часть которого попадает в зону идеального вытеснения, а другая часть – в зону идеального перемешивания, на выходе оба потока соединяются. Характер функции распределения времени пребывания элементов потока определяется по формуле

Если опытная кривая, построенная на реальном аппарате совпадает с графиком, построенном по данному уравнению, можно применить комбинированную модель с параллельными зонами идеального перемешивания и идеального вытеснения. Последовательное расположение этих зон может быть представлено в двух вариантах: сначала зона идеального перемешивания, затем зона идеального вытеснения и наоборот. Однако кривая, полученная экспериментально и по уравнению для обоих вариантов будет справедлива, поэтому реакция объекта на входное возмущение не может служить однозначной характеристикой реального потока.

Контрольные вопросы и задания

1.Назовите типовые математические модели структуры потоков

ваппаратах.

2.Какие методы определения гидродинамической структуры потоков существуют?

3.Перечислите модели идеального вытеснения и смешения.

4.Охарактеризуйте диффузионную, ячеечную, комбинированную модели.

31

3.МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ

ВХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ

3.1. Основные закономерности теплообмена

Теплообмен – процесс переноса теплоты, в котором она в соответствии со вторым началом термодинамики самопроизвольно переходит от более нагретой среды к менее нагретой. Различают процессы теплообмена, осуществляемые путем непосредственного соприкосновения сред, и процессы лучистого теплообмена, при котором энергия передается от одной среды к другой посредством электромагнитного поля. Элементарный процесс распространения теплоты только вследствие движения молекул называется теплопроводностью, а процесс, обусловленный перемещением частиц среды – конвекцией. Перенос теплоты теплопроводностью происходит главным образом в твердых телах, так как теплопроводность жидкостей и газов невелика. Распределение теплоты конвекцией может происходить только в жидкостях и газах. Различают конвекцию свободную (естественную) и вынужденную. Свободная конвекция – движение теплоносителя возникает за счет движущихся сил, вызванных перепадом температур; вынужденная – перемещение теплоносителя происходит за счет перепада давления, создаваемого насосом, вентилятором и т. д.

В практических условиях процессы переноса теплоты характеризуются совокупностью всех трех явлений: теплопроводность, конвекция, излучение. В химической промышленности для реализации процессов теплообмена между различными средами используют разные типы теплообменных аппаратов. Теплообменные аппараты являются наиболее распространенными и необходимыми элементами различных технологических и энергетических установок. На теплообменники приходится значительная часть капитальных вложения и эксплуатационных расходов, поэтому вопросы оптимального проектирования и управления теплообменом имеют большое значение. Тепловые процессы в химической технологии имеют как самостоятельное значение (сушка, выпаривание, охлаждение и т. д.), так и сопровождают химические и массообменные процессы. Теплообмен обусловлен стремлением системы к тепловому равновесию. Связь между градиентом температуры и молекулярным потоком теплоты определяется законом

теплопроводности Фурье:

qT = −λgradT,

где λ – коэффициент теплопроводности среды, Вт/(мК).

32

При движении в жидкостях и газах происходит конвективный перенос энергии веществом

qk = ρ I u,

где u – скорость движения среды, м/с; ρ – плотность вещества, кг/м3; I – энтальпия, Дж/кг.

При конвективном теплообмене плотность теплового потока определяется суммой молекулярной и конвективной составляющих

q = qT + qk = −λgradT +ρ I u.

Для упрощения расчета переноса теплоты между поверхностью твердого тела и движущейся сплошной средой используют закон теплоотдачи Ньютона–Рихмана:

Q = α (Tc −Tcp ) F,

где α – коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2К); F – поверхность теплообмена, м2; Tc – температура стенки; Tcp – температура среды, К.

Коэффициент теплоотдачи зависит от скорости движения жидкости, её плотности и вязкости, от тепловых свойств жидкости (удельной теплоемкости, теплопроводности), от формы и определяющих размеров стенки и других факторов. Теплоотдача определяется не только тепловыми, но и гидродинамическими условиями. Поэтому конвективный теплообмен описывается дифференциальным уравнением Фурье–Кирхгофа:

мя, с; Cp – теплоемкость, Дж/кг К.

Количество тепла, передаваемое от нагретого теплоносителя к холодному, определяется основным уравнением теплопередачи

Q = KT F T ,

где КТ – коэффициент теплопередачи, Вт/(м2 ºС); Т – средняя разность температур между теплоносителями.

При теплопередаче через стенку толщиной δс коэффициент теплопередачи можно рассчитать с помощью уравнения аддитивности термических сопротивлений на пути теплового потока

33

где α1 и α2 – коэффициенты теплоотдачи от жидкости к стенке и от стенки к другой жидкости соответственно, Вт/(м2К); λс – теплопроводность материала стенки, Вт/(м К); r31 и r32 – термические сопротивления слоев загрязнений с обеих сторон стенки, м2К/Вт.

Это уравнение справедливо для передачи тепла через плоскую или цилиндрическую стенку при условии, что RH / RB < 2 (RH и RB – наружный и внутренний радиусы цилиндра соответственно).

3.2. Математические модели теплообменных аппаратов

При построении математических моделей теплообменных аппаратов предварительно проводится анализ структуры движения потоков в аппарате. Для каждого потока записывается математическое описание в виде выражения, характеризующего изменения температуры в потоке теплоносителя во времени, обусловленное движением потока и теплопередачей. Предварительно формулируются допущения.

Если структура потока теплоносителя соответствует модели идеального смешения, то математическое описание потока, с учетом теплопередачи, будет иметь вид

где V – объем потока идеального смешения, м3; ρ – плотность теплоносителя, кг/м3; СР – удельная теплоемкость теплоносителя, Дж/(кг К); v – объемная скорость потока, м3/с; F – поверхность теплообмена, м2; КТ – коэффициент теплопередачи, Вт/(м2К); Т – средняя разность температур между теплоносителями; Твх – температура потока на входе, К; t – время, с.

Если структура потока соответствует модели идеального вытеснения, то с учетом теплопередачи можно записать

где S – площадь поперечного сечения потока, м2; L – длина зоны идеального вытеснения, м; l – пространственная координата, изменяющаяся от 0 до L; Т = Т (l, t) – функция распределения температуры потока теплоносителя по пространственной координате во времени.

34

Обычно в этих уравнениях принимают коэффициент теплоотдачи, плотность и теплоемкость теплоносителя постоянными в исследуемом интервале изменения температуры. Предполагается, что объ-

емные скорости потоков остаются постоянными.

Теплообменник типа «Смешение–смешение». Принимаем,

что тепло передается от первого потока теплоносителя ко второму. Режим движения потоков – идеальное смешение. Если тепловой емкостью стенки, разделяющей потоки теплоносителей, можно пренебречь, то математическая модель аппарата будет состоять из двух уравнений теплового баланса:

В том случае если тепловой емкостью стенки, разделяющей потоки теплоносителя пренебречь нельзя, то необходимо дополнительно учесть уравнение изменения температуры стенки

G3 C3 dTdt3 = F1 α1 (T1 −T3 ) − F2 α2 (T3 −T2 ),

где G3 – масса материала стенки, кг; Т3 – температура стенки, К; С3 – удельная теплоемкость материала стенки, Дж/кг К; α1,α2 – коэф-

фициенты теплоотдачи, Вт/м2 К.

Теплообменник типа «смешение–вытеснение». Если тепловой емкостью стенки, разделяющей потоки теплоносителей, можно пренебречь, то математическая модель аппарата будет состоять из двух уравнений теплового баланса

В том случае если тепловой емкостью стенки, разделяющей потоки теплоносителя пренебречь нельзя, то необходимо дополнительно учесть уравнение изменения температуры стенки

G3 C3 dTdt3 = F1 α1 (T1 −T3 ) − F2 α2 (T3 −T2 ).

35

Теплообменник типа «вытеснение-вытеснение». Если тепло-

вой емкостью стенки, разделяющей потоки теплоносителей, можно пренебречь, то математическая модель аппарата будет состоять из двух уравнений теплового баланса

В том случае если тепловой емкостью стенки, разделяющей потоки теплоносителя пренебречь нельзя, то необходимо дополнительно учесть уравнение изменения температуры стенки

G3 C3 dTdt3 = F1 α1 (T1 −T3 ) − F2 α2 (T3 −T2 ).

Контрольные вопросы и задания

1.Перечислите основные тепловые процессы в химической технологии.

2.Какие гидродинамические модели структуры потоков применяются при моделировании теплообменных аппаратов?

3.Перечислите параметры математической модели теплообменных аппаратов и их размерности.

4.Каковы принципы составления уравнений тепловых балансов?

5.В чем отличие математической модели трубчатой печи от модели теплообменного аппарата?

6.На основании каких законов разрабатываются математические модели тепловых процессов?

7.Дайте характеристику математической модели теплообменного аппарата типа «смешение–смешение».

8.Дайте характеристику математической модели теплообменного аппарата типа «вытеснение–вытеснение».

9.Дайте характеристику математической модели теплообменного аппарата типа «перемешивание–вытеснение».

36

4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МАССООБМЕННЫХ ПРОЦЕССОВ

Интенсивность многих процессов в химической технологии зависит от скорости переноса вещества. Процесс направленного переноса вещества является следствием отсутствия равновесного состояния системы (это относится как к взаимодействию фаз на поверхности, так и к состоянию внутри каждой из фаз). Аппаратурнотехнологическое оформление и механизм процесса массопередачи

взначительной степени зависят от агрегатного состояния взаимодействующих фаз. Общим для процессов массопередачи является то, что

вних участвует не менее двух фаз, причем целевой компонент переходит из одной фазы в другую через границу раздела. По физической сущности различают процессы, протекающие в системах с фиксированной поверхностью раздела фаз и в системах с подвижной границей раздела фаз. Для систем первого типа в ряде случаев удается решить систему дифференциальных уравнений, описывающих процесс, аналитически, поскольку его анализ может быть сведен к рассмотрению явлений, протекающих в каждой отдельной фазе. Для систем с подвижной поверхностью раздела фаз расчет усложняется вследствие непрерывного изменения формы и размеров этой поверхности. Поэтому для расчета этих поверхностей используют упрощенные модели, что, естественно, приводит к приближенным результатам. Математические модели массопередачи могут быть использованы для проектирования, оптимизации, управления и исследования закономерностей протекания процесса. Модель позволяет исследовать влияние режимных и конструктивных параметров на процесс массоперелачи, определить профили изменения температуры и концентрации по высоте или в объеме аппарата, определить оптимальное место ввода питания, отбора фракций и т. д.

При математическом моделировании процессов массопередачи широко используется блочный принцип, в соответствии с которым модель формируется из отдельных составляющих. Математическая модель каждого блока может иметь различную степень детализации, однако, входные и выходные переменных всех блоков должны находиться во взаимном соответствии, что обеспечит получение замкнутой системы уравнений математической модели процесса в целом. На заключительном этапе моделирования математические описания всех составляющих процесса объединяются в полную математическую

37

модель. Использование блочного принципа построения модели позволяет решить важную при химическом моделировании проблему масштабирования, поскольку влияние геометрических размеров на свойства процесса отражается лишь в блоке «гидродинамика», поэтому при грамотном математическом описании этого блока становится возможным масштабный подход.

4.1.Математическое описание равновесия

всистемах «жидкость–жидкость» и «жидкость–пар»

Любой процесс протекает до тех пор, пока не установится состояние его равновесия. Условия равновесия характеризуют так называемую статику процесса и показывают пределы, в которых может протекать данный процесс. Фазовое равновесие определяется правилом фаз, которое позволяет определить, какое число параметров мож-

но изменять, не нарушая равновесия.

Равновесие в системе «жидкость–пар». При расчете равновесия в системе «жидкость-пар» в зависимости от известных переменных, выделяют следующие типы задач: расчет состава пара и температуры смеси по известному составу жидкости и давлению или жидкости и температуре; определение состава жидкости по составу пара при известном давлении или температуре. Для каждого компонента i в смеси условие термодинамического равновесия в системе задается уравнением

∫Gi = ∫iL ,

где ∫ – фугитивность, индексы G и L относятся к паровой и жидкой фазе соответственно.

Фундаментальной задачей моделирования является установление связей фугитивностей с составом смесей, поскольку при разработке химико-технологических процессов используются именно эти составы. Фугитивность компонента в смеси зависит от состава смеси,

температуры и давления. Для связи ∫Gi с температурой, давлением и составом используют коэффициент фугитивности

где yi – мольная доля компонента в паровой фазе: Р – давление в системе, Па. Для идеальных газов Фi = 1.

38

Фугитивность компонента I в жидкой фазе связана с составом фазы и коэффициентом активности соотношением

где хi – мольная доля компонента в жидкой фазе; γi – коэффициент активности компонента i; ∫i0 – стандартная фугитивность компонента i

(фугитивность чистой жидкости i при общем давлении в системе Р

и хi = 1).

Для корреляции и обобщения экспериментальных данных используют уравнение Гиббса–Дюгема, которое с практической точки зрения может быть реализовано с помощью концепции избыточной энергии Гиббса для смеси по отношению к величине, характерной для идеального раствора при тех же значениях температуры, давления и

состава.

Равновесие в системе «жидкость–жидкость». Описание рав-

новесия между жидкими фазами во многом аналогично описанию системы «жидкость–пар». При расчете равновесия в системе «жид- кость–жидкость» выделяют следующие задачи: определение состава равновесных фаз при заданной температуре по общему содержанию каждого компонента, присутствующего в смеси; определение состава одной из равновесных фаз по заданному составу другой при известной температуре.

4.2. Моделирование процессов

Моделирование процесса массопередачи. Детерминированное описание процесса переноса вещества в процессах массопередачи основано на фундаментальных законах диффузии Фика. Однако, для процессов с так называемой свободной поверхностью (абсорбция, ректификация, экстракция и т. д.) необходимо прибегать к математическому моделированию, чтобы учесть вероятностные составляющие процессов. Главными причинами неравновесности в промышленных процессах являются: турбулизация потоков, механический унос, недостаточное время контакта фаз, поэтому важнейшим процессом при моделировании массообмена является процесс массопередачи. Массопередача – это сложный процесс, состоящий из процесса переноса вещества в пределах каждой из фаз (массоотдача) и переноса

39

вещества через границу раздела фаз. Количество компонента I, переносимого в единицу времени t через поверхность F (закон Фика) составляет

Wi = −D F dCdti ,

где D – коэффициент диффузии, м2/с; F – площадь поверхности массопередачи, м2; Сi – концентрация компонента i, моль.

При рассмотрении уравнения массопередачи за движущую силу принимают разность между фактической концентрацией компонента в одной из фаз и равновесной концентрацией в ней данного компонента.

Уравнение массоотдачи записывается в виде

Wi =β F Δ,

где Wi – количество вещества, переносимого в единицу времени; β – коэффициент массоотдачи, представляющий собой количество вещества, переносимое внутри фазы в единицу времени через единицу поверхности при движущей силе, равной единице; – движущая

сила.

Моделирование процесса сепарации. Несмотря на большое разнообразие конструкций сепараторов, условно их подразделяют на две группы: инерционные и гравитационные. В гравитационных сепараторах разделение фаз происходит за счет силы тяжести, в инерционных сепараторах – за счет сил инерции при обтекании газожидкостной смесью различных препятствий и при закручивании потока в центробежных патрубках. Для увеличения эффективности разделения очень часто используют оба принципа. Степень разделения газожидкостной смеси в сепараторах зависит от расхода газа, термобарических условий, параметров трубопровода.

Рассмотрим пример расчета процесса сепарации (однократного испарения).

При расчете принимаем, что достигается состояние равновесия и происходит однократное испарение компонентов смеси.

Уравнение материального баланса процесса однократного испарения для многокомпонентной системы в целом можно представить как

F = G + L,

где F – количество исходного сырья, кг/ч; G – количество паровой фазы, кг/ч; L – количество жидкой фазы, кг/ч.

40