Моделирование химико-технологических процессов. Учебное пособие

за основу принято какое-то одно свойство), оно бывает ортогональное

и ротатабельное. Рассмотрим подробнее каждое из них.

Ортогональное центральное композиционное планирование.

Центральными планы называют потому, что они симметричны относительно центра плана, композиционными – потому что они составляются путем добавления определенного числа опытов к плану первого порядка. Ядром таких планов являются: полный факторный эксперимент 2n при n < 5 (n – число факторов) или дробный факторный эксперимент 2n–1 при n > 5. Если линейное уравнение регрессии в результате статистического анализа оказалось неадекватным, то поступают следующим образом: добавляют к ядру плана 2n точек, расположенных на осях координат факторного пространства на расстоянии ±α от центра плана. Эти точки называют «звездными», а величина α – «звездное плечо»; увеличивают число экспериментов в центре

плана n0: точки с координатами (0, …, 0).

Ротатабельные планы второго порядка. Ротатабельными пла-

ны называют потому, что получающееся в результате уравнение регрессии имеет свойство ротатабельности – одинаковые ошибки предсказания результатов во всех направлениях. Данное свойство позволяет интерпретировать значения целевой функции при исследовании поверхности отклика и при оптимизации одинаково, независимо от направления (в ортогональных планах при проведении оптимизации необходимо учитывать неравномерность распределения ошибок в разных направлениях от центра плана). Этот метод планирования эксперимента позволяет получить более точное математическое описание поверхности отклика по сравнению с ортогональными. Это достигается за счет увеличения числа опытов в центре плана и специального выбора величины «звездного плеча». План центрального композиционного ротатабельного планирования состоит из трех составных частей:

1)n1 = 2k или n1 = 2k–1 (полный факторный эксперимент, или при k ≥ 4 – дробный факторный эксперимент);

2)n2 = 2k – «звездные» точки;

3)n0 – параллельные опыты в центре плана.

«Звездные» точки получаются следующим образом: все координаты, кроме одной, равны нулю (соответствуют центру плана), а одна координата равна ±α, где α – «плечо» «звездной» точки, равное

1

α = n12 , то есть корень из числа опытов полного или дробного факторного эксперимента. Количество опытов в центре плана определя-

61

ется таким образом, чтобы план был как можно ближе к ортогональному. Условные значения переменных переводятся в натуральные значения при заданных координатах центра планирования и интервалах варьирования.

После реализации плана на реальном объекте проводится обработка результатов: сначала рассчитываются коэффициенты регрессии, затем проверяется их значимость, а затем адекватность полученного уравнения. После получения уравнения регрессии второго порядка, адекватно описывающее почти стационарную область, его можно использовать как для предсказания результатов эксперимента при различных значениях факторов, так и для выбора оптимальных условий технологического процесса. Полученное уравнение дает информацию о форме поверхности отклика. Для изучения конфигурации поверхности отклика уравнение приводят к канонической форме и исследуют на локальный экстремум.

7.5. Симплексный метод планирования и оптимизации

Симплексный метод используется на стадии восхождения по поверхности отклика. Симплексом называется правильный многогранник, имеющий n + 1 вершину, где n – число факторов, влияющих на процесс. Так, если n = 1, то симплексом является отрезок прямой, при n = 2 – треугольник, при n = 3 тетраэдр и т. д. Метод последовательного симплекс-планирования состоит в следующем: начиная восхождения, планируют исходную серию опытов так, чтобы точки, соответствующие условиям проведения этих опытов, образовывали правильный симплекс в многомерном факторном пространстве. Начальная серия опытов соответствует вершинам исходного симплекса. Условия первых опытов выбираются из тех значений факторов, которые соответствуют наиболее благоприятным из известных технологических режимов процесса. Проводят первую серию опытов, после чего выявляют точку (опыт), которая дала наихудший результат и эту точку заменяют новой, представляющей собой зеркальное отображение относительно противоположной грани симплекса. В новой точке проводят эксперимент. Сравнивают между собой результаты эксперимента в вершинах нового симплекса, выбирают наихудшую точку, заменяют, получат новый симплекс и т. д. Эта процедура повторяется до тех пор, пока не будет достигнут оптимум. Вершины исходного симплекса задаются при помощи специальной таблицы.

62

Условия каждого нового опыта в отраженной точке рассчитываются по формуле

xin+2 = 2xic xi*,

где xi* – значение i-го фактора в наихудшей точке предыдущего сим-

плекса; xic – координаты центра противоположной грани, которые

n+1 ∑xij

Построение матрицы исходного симплекса. Прежде чем на-

чать движение по поверхности отклика, необходимо определить условия опытов в исходном симплексе. Для вычисления этих значений пользуются матрицей опытов исходного симплекса в кодированных переменных. Приступая к оптимизации, необходимо рассчитать матрицу исходной серии опытов в натуральных единицах. При шаговом восхождении по поверхности возможны следующие случаи: в результате отображения некоторой наихудшей точки симплекса в новом симплексе отраженная точка тоже оказывается наихудшей. В этом случае следует вернуться в предыдущий симплекс и двигаться из него, отбросив точку, показавшую второе наихудшее значение; симплекс вращается вокруг некоторой точки, отвечающей наибольшему значению у. После проведения n + 1 опыта необходимо прекратить движение и повторить опыт, вокруг которого вращались. Если значение в этой точке подтверждается, то, следовательно, достигнута область оптимума.

Необходимо отметить, что симплексный метод – это локальный метод поиска экстремума. При использовании симплекс-метода дублировать опыты необязательно, поскольку ошибка в отдельном опыте может только несколько замедлить оптимизацию.

Контрольные вопросы и задания

1.В каких случаях прибегают к построению статистических моделей и на чем базируется их построение? Каков их общий вид?

2.Приведите два вида эксперимента, используемые для построения статистических моделей. В чем разница?

3.Для чего проводят корреляционный анализ? Какова основная характеристика корреляционного анализа?

63

4. Какова суть регрессионного анализа? Перечислите виды регрессии, приведите примеры. Назовите метод, применяемый для оценки коэффициентов уравнения регрессии.

6.Какова последовательность статистического анализа?

7.В чем суть планирования эксперимента? Для чего строится матрица планирования? С какой целью производится кодирование переменных?

8.В чем заключается суть дробного факторного эксперимента? Назовите его недостатки.

9.Перечислите основные этапы статистического (регрессионного) анализа в полном и дробном факторном эксперименте.

10.Каковы действия в случае получения адекватного или неадекватного уравнения регрессии?

11.В каких случаях приступают к планированию второго

порядка?

12.Назовите виды планов второго порядка. Опишите суть ортогонального планирования и ротатабельных планов второго порядка.

13.Каковы должны быть действия после получения полинома второго порядка?

14.В чем заключается суть симплексного метода планирования

иоптимизации? В чем состоит преимущество симплекспланирования?

15.Каким образом можно определить, что пришли в оптимальную область?

64

8. МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ

Конечной целью моделирования химико-технологического процесса является его лучшая реализация или его оптимизация, целенаправленная деятельность, которая заключается в получении наилучших результатов (значений параметров объектов) при соответствующих условиях. Оптимизация заключается в нахождении экстремума рассматриваемой функции или оптимальных условия проведения технологического процесса. Для оценки оптимума необходимо прежде всего выбрать критерий оптимизации. Критерием оптимизации (оптимальности) называется количественная оценка оптимизирующего качества объекта. Это главный признак эффективности решения оптимизационной задачи. В зависимости от конкретных условий в качестве критерия оптимальности можно выбрать технологический критерий (максимальный выход продукта с единицы объема аппарата) или экономический критерий (минимальная себестоимость продукта). К критерию оптимальности предъявляют следующие требования: он должен быть единственным и выражаться числом. На основании выбранного критерия оптимальности составляется целевая функция, которая представляет собой зависимость критерия оптимальности от параметров, влияющих на его значение.

Целевая функция – это критерий оптимальности, рассматриваемый как функция входных параметров F = F(x1, x2, …, xn).

Задача оптимизации сводится к нахождению экстремума целевой функции (в зависимости от условий максимум или минимум).

Оптимизирующие параметры – это те входные параметры системы, которые в процессе оптимизации относят к управляющим и которые применяются для оптимизации процесса.

Ограничения – это условия, которые необходимо соблюдать независимо от того, как их соблюдение повлияет на величину критерия оптимальности. Ограничения обычно связаны с характером технологического процесса, технологическими или санитарно-эпидемиологи- ческими нормами или экономическими ограничениями, например: количество сырья и продукции; максимально возможная температура процесса; размер аппарата; объемная скорость; мощность оборудования; вопросы охраны труда и защиты окружающей среды. Все ограничения могут быть составлены в виде равенств (устанавливают определенные значения того или иного фактора) или в виде неравенств

65

(определяют пределы измерения параметров процесса). Постановка задачи оптимизации осуществляется следующим образом: необходимо создать математическую модель объекта оптимизации; выбрать критерий оптимальности, оптимизирующие параметры и сформировать функцию цели; установить возможные ограничения, которые должны накладываться на переменные; выбрать метод оптимизации, который позволит найти экстремальное значение искомых величин. Различают задачи статической оптимизации для процессов, протекающих в установившихся режимах, и задачи динамической оптимизации при неустановившихся режимах процесса.

8.1. Систематизация методов оптимизации

При решении задачи оптимизации необходимо выбрать метод, который приведет к конечному результату с наименьшим объемом вычислений. Выбор метода определяется постановкой задачи оптимизации, а также математической моделью объекта оптимизации. Основные методы оптимизации, используемые в химической технологии:

1.Аналитические: методы исследования функций классического анализа (для детерминированных процессов с критерием оптимальности в виде дифференцируемых функций); метод множителей Лагранжа (для задач с ограничениями типа равенств с критерием оптимальности в виде дифференцируемых функций); вариационные методы (для задач с критерием оптимальности в виде функционала, расчет оптимальных температурных профилей химических реакторов, оптимальных режимов периодических процессов); принцип максимума Портнягина (класс задач с объектами, которые описываются дифференциальными и конечными уравнениями, расчет оптимального управления в задачах регулирования).

2.Методы математического программирования: геометрическое программирование (процессы с математическим описанием в виде алгебраических функций-полиномов); динамическое программирование (многостадийные процессы с критерием оптимизации в виде аддитивной функции (каскад аппаратов и т. д.)); линейное программирование (процессы, которые описываются линейными алгебраическими уравнениями с критерием оптимальности в виде линейной функции).

3.Градиентные – объектом оптимизации являются сложные процессы химической технологии, отдельные объекты и каскады аппаратов (оптимизация нелинейных и линейных функций с нелинейными и линейными ограничениями).

66

4. Статистические – объекты оптимизации не имеют детерминированного описания. При составлении алгоритмов и программ с использованием методов оптимизации целесообразно придерживаться модульного принципа, поскольку требуется многократное обращение

к расчету целевой функции.

Статистические методы оптимизации. Если в ходе исследова-

ния ХТП не удается сформировать его детерминированную модель, т. е. неизвестен вид целевой функции, то задача оптимизации решается экспериментально-статистическими методами. Оптимум находят экспериментальным путем. Существуют две области изменения выходного параметра: область, удаленная от оптимума, в которой происходит значительное изменение выходного параметра; почти стационарная область (область, близкая к экстремуму), в которой практически не происходит изменение выходного параметра. После того, как область, удаленная от оптимума, описана линейным уравнением, используем его для оптимизации, т. е. для движения к оптимальной области. Для исследования области, удаленной от оптимума, используются градиентные методы (например, метод крутого восхождения

по поверхности отклика Бокса–Уилсона).

Аналитические методы оптимизации являются классически-

ми методами нахождения экстремального значения функции. Они применяются в тех случаях, когда известен аналитический вид оптимизируемой функции F от независимых переменных xi и число переменных xi невелико. При большом числе переменных возникает так называемый барьер многомерности и применение аналитических методов становится затруднительным. Аналитический поиск экстремального значения целевой функции F(x1, x2, …, xn) сводится к при-

равниванию нулю её частных производных.

Численные методы оптимизации. Можно выделить два случая поиска оптимума: одномерный поиск, когда функция цели F зависит от одного оптимизирующего фактора F = F(x); многомерный поиск, когда оптимизирующих факторов больше одного F = F(x1, x2, …, xn).

8.2. Одномерная оптимизация

Оптимизационная функция одной переменной – это наиболее простой тип оптимизационных задач, которые часто встречаются в химической технологии. Все методы одномерного поиска базируются на последовательном уменьшении интервала, содержащего

67

точку экстремума. Об эффективности алгоритмов различных методов можно судить по числу вычислений функции, необходимому для достижения заданной точности. Существует достаточно большое количество методов однопараметрической оптимизации, из которых наиболее часто применяемыми являются: метод дихотомии, метод золотого

сечения; метод сканирования.

Метод дихотомии является простейшим методом нахождения экстремума функции одной переменной (метод деления отрезка пополам). Для нахождения экстремума функции одной переменной на интервале неопределенности с заданной степенью точности необходимо поделить отрезок пополам. Затем выбирается произвольно малое приращение и точка деления изменяется на величину приращения. В новых точках рассчитывается значения функции цели. Выбираем отрезок, в котором функция цели более соответствует экстремуму и продолжаем поиск до тех пор, пока интервал неопределенности не дос-

тигнет заданной степени точности.

Метод золотого сечения является одним из наиболее эффективных методов оптимизации, в которых при ограниченном количестве вычислений функции цели F(х) достигается наилучшая точность. В основе данного метода лежит правило геометрического соотношения: отношение длины всего отрезка к большей его части равно отношению большей части к меньшей. Разделим отрезок l на две части m и l – m, где m, l – m – меньшая и большая части отрезка соответст-

m = 0,382l = (1 – 0,618)l; l – m = 0,618l.

Интервал неопределенности делят слева и справа в отношении золотого сечения, в полученных точках вычисляют значения функции цели и определяют новый интервал, на котором локализован экстремум. Данная процедура продолжается до достижения заданной степе-

68

ни точности. Таким образом, на каждом этапе, кроме первого, необходимо рассчитывать значение функции цели только в одной точке,

что повышает эффективность метода.

Метод сканирования – метод определения оптимального значения целевой функции F, который заключается в сужении интервала поиска до заданных размеров. Применяется данный метод к непрерывным функциям. Методом сканирования можно исследовать как функцию одной, так и нескольких переменных. Задача поиска экстремума функции сводится к сужению интервала неопределенности. Для решения данной задачи необходимо рассчитать величину шага сканирования, разбить интервал поиска на равные участки с рассчитанным шагом и во всех точках разбиения определяют значения функции. Выбирается наилучшее из полученных значение функции и происходит сужение интервала. Процесс сканирования проводится до тех пор, пока интервал неопределенности не достигнет заданного значения точности.

8.3. Многомерный поиск оптимума

При оптимизации технологических процессов часто возникает необходимость многомерного поиска оптимума. На основе входных параметров формируется критерий оптимальности и выбирается метод многомерного поиска оптимума целевой функции F = F(x1, x2, …, xn).

Наиболее часто применяют метод покоординатного спуска.

Метод покоординатного спуска. В качестве начального при-

ближения в пространстве выбираются координаты начальной точки поиска, т. е. те значения, от которых начинается поиск оптимума. Для дальнейших расчетов выбирают величину шагов движения по параметрам и заданную степень точности. Выбор этих величин определяется физическим смыслом задачи. Далее, рассчитывается значение функции в начальной точке и затем начинается движение вдоль оси с заданным шагом в сторону поиска экстремума функции цели. Движение продолжается до тех пор, пока наблюдается изменение функции цели в нужном направлении. После неудачного шага необходимо изменить координату, по которой идет поиск экстремума и продолжить движение. Процесс последовательно продолжается до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность локализации экстремума, т. е. если шаг по каждому параметру приводит к движению функции цели в нужном направлении, а величина шага меньше или равна

69

заданной степени точности, то расчет прекращается. В том случае, если эти условия не выполняются, движение продолжается из лучшей точки с уменьшенной величиной шагов.

Контрольные вопросы и задания

1.Дайте понятие оптимизации, критерия оптимальности, оптимизирующих параметров, ограничений.

2.Что включает постановка задачи оптимизации?

3.В каких случаях применяют статистические методы оптими-

зации?

4.В каких случаях для поиска оптимума применяются аналитические методы?

5.Перечислите численные методы оптимизации.

6.Назовите методы одномерной оптимизации.

7.Опишите поиск оптимума методом покоординатного спуска.

70