Моделирование химико-технологических процессов. Учебное пособие

фазами; теплопередача; изменение агрегатного состояния; химические превращения.

При составлении математического описания объекта обычно используют системный (блочный) подход, согласно которому предварительно проводят анализ элементарных процессов, протекающих в системе, затем составляется математическое описание каждого из этих процессов, которые впоследствии объединяют в одну систему уравнений, описывающую полностью весь процесс (см. рисунок).

Математическое описание химико-технологического процесса

Выделяют следующие методы составления математического описания ХТП:

–аналитический – включает способы вывода уравнений статики

идинамики на основе теоретического анализа физико-химических процессов, протекающих в исследуемом объекте, конструктивных параметров аппаратуры и характеристик перерабатываемых веществ. При выводе этих уравнений используются фундаментальные законы сохранения вещества и энергии, кинетические закономерности переноса массы и теплоты, химических превращений. Достоинства: не требуется проведение эксперимента. Недостатки: сложность полученной системы уравнений при достаточно полном описании объекта;

–экспериментальный – составление математического описания для управления и исследования объектов в узком диапазоне изменения входных и выходных переменных. Наблюдаемые процессы описываются алгебраическими или линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Достоинства: простота математического описания в узком диапазоне исследуемых параметров. Недостатки: нельзя установить функциональную связь между входящими в уравнение числовыми параметрами и конструктивными, физико-химическими, режимными характеристиками объекта, а также

21

невозможность использования полученных математических описаний для других, однотипных объектов;

–экспериментально-аналитический – комбинация экспериментальных и аналитических методов. Сущность заключается в аналитическом составлении уравнения описания, проведении экспериментальных исследований и нахождении по их результатам параметров уравнений.

Алгоритм моделирования ХТП включает в себя следующие этапы:

–формирование исходных данных моделирования. На основе литературных данных собирается и перерабатывается необходимая информация, формируется список уравнений математического описания, банк данных, необходимых для расчета уравнений, анализируется возможное аппаратурное оформление процесса. На этом этапе формируются детерминированные математические модели;

–формирование математической модели ХТП. Осуществляется разработка модели с последовательным переходом от низшего уровня иерархии к высшему. На данном этапе формируются начальные и граничные условия реализации процесса;

–корректное упрощение математической модели. Осуществляется поиск способов упрощения моделей с целью сокращения времени расчета без существенных искажений результатов моделирования;

–выбор алгоритма решения математической модели;

–разработка программы расчета, отладка, получение пробных решений. Это один из наиболее трудоемких этапов моделирования;

–оценка адекватности разработанной модели (сопоставление результатов расчета по модели с экспериментальными данными);

–интерпретация полученных результатов и выдача рекомендаций.

Контрольные вопросы и задания

1.Дайте основные понятия и определения математического моделирования, приведите примеры.

2.Перечислите виды моделей, моделирования, укажите, какие из них можно применять в химической технологии. Объясните, в чем заключается основная сложность моделирования ХТП.

3.Назовите основные отличия стохастических и детерминированных моделей.

4.Перечислите основные этапы математического моделирования.

5.Каков порядок действий, если расчет модели показал неадекватный результат?

22

2. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ ПОТОКОВ

Химико-технологические процессы обычно протекают в движущихся потоках, гидродинамические закономерности перемещения которых оказывают существенное влияние на изучаемые процессы. Движущиеся потоки могут быть одно- и многофазными и, как правило, имеют сложную структуру. Применение классических законов термодинамики к ХТП оказывается затруднительным из-за сложности уравнений гидродинамики реальных потоков, поэтому на практике при составлении моделей гидродинамических потоков обычно используют упрощенные представления об их внутренней структуре. Структура движущейся технологической среды характеризуется степенью перемешивания частиц потока, которая определяет поле концентраций и градиент температур. По признаку перемешивания потоков выделяют следующие типовые модели: идеального смешения; идеального вытеснения; диффузионные (одно- и двухпараметрические) модели; ячеечные модели; комбинированные модели. При построении модели структуры потока модель должна: отражать физическую сущность реального потока и при этом иметь достаточно простое математическое описание; давать возможность определять ее параметры расчетным или экспериментальным путем; быть удобной для использования при расчетах конкретного процесса. Гидродинамика реальных потоков настолько сложна, что в настоящее время возможно составить в общем виде лишь уравнения для однофазных потоков. Однако даже для них решение можно найти только для частных случаев. Для многофазных потоков не получены уравнения даже в общем виде, поэтому при разработке моделей принимаются упрощающие допущения.

Модели гидродинамики записываются в виде дифференциальных уравнений, выражающих связь между наиболее характерными переменными процесса. Универсальным видом математической модели гидродинамики является уравнение, характеризующее изменение концентрации вещества в потоке, обусловленное только движением этого потока:

23

При этом считают, что изменение концентрации за счет химической реакции не происходит (скорость химической реакции принимают равной нулю).

При построении модели гидродинамики необходимо учитывать, что модель должна: отражать физическую сущность реального потока; иметь достаточно простое математическое описание; позволять определять параметры модели расчетным или экспериментальным способом; быть удобной для использования при расчетах конкретных процессов.

В реальном непрерывном потоке всегда имеет место неравномерность распределения элементов потока по времени пребывания в аппарате в силу стохастической природы движения частиц на микроуровне, а также в результате действия кинетических, гидродинамических факторов, факторов тепло- и массообмена. Микроскопическими причинами могут быть неравномерность профиля скоростей потока, турбулизация потока, молекулярная диффузия, наличие застойных зон. Для оценки неравномерности распределения элементов потока вводится ряд функций распределения.

Функция распределения времени пребывания элементов потока F(t) характеризует долю элементов, пребывающих в аппарате в течение времени t или менее. Это неубывающая функция, которая принимает нулевое значение при t = 0 и приближается к единице при t → ∞.

Безразмерная концентрация трассера определяется по формуле

ϕ(t) = C(t) ,

Cср

где С(t) – размерная концентрация трассера; Сср – средняя концентрация трассера, Сср = Q/V, где Q – количество трассера; V – объем потока в аппарате между сечениями ввода и вывода возмущения.

Доля потока, элементы которого пробыли в аппарате время от t до (t + dt), определяется по формуле G = ϕ(t)dt и является веро-

ятностью того, что время пребывания частиц потока в аппарате находится в интервале (t, t + dt).

Распределение времени пребывания частиц потока в аппарате и параметры моделей определяют экспериментальным путем методами нанесения возмущения в определенном сечении потока и фиксировании вызванных им последствий в другом сечении потока. Сигнал может быть различным по форме и по физической природе. Наибольшее распространение получили импульсная и ступенчатая формы возмущений. При импульсной подаче трассера на выходе из системы

24

получается дифференциальная функция распределения времени прерывания. Физически данная форма подачи трассера означает, что на вход аппарата в некоторый момент времени мгновенно подается единичное количество трассера, одновременно начинают регистрировать концентрацию трассера во времени на выходе из аппарата. При подаче трассера в ступенчатом виде на выходе системы получается интегральная функция распределения времени пребывания. Физически рассматриваемая форма подачи означает, что в момент времени мгновенно включается подача трассера, после чего концентрация на входе аппарата поддерживается постоянной. В качестве трассера в поток вводят индикатор, краситель или другое вещество, химически не взаимодействующее со средой и не участвующее в массообмене. Отклик системы на нанесенное возмущение характеризует распределение времени пребывания частиц потока в аппарате. Функция отклика на возмущение, записанная в безразмерных переменных (концентрация – время) является функцией времени пребывания элементов потока в объеме, ограниченном сечением ввода трассера и замера отклика системы.

2.1.Модель идеального смешения

Вданной модели поток представлен в виде непрерывной среды, которая поступает в аппарат и мгновенно распределяется по всему объему вследствие полного (идеального) перемешивания частиц потока, при этом концентрация веществ и температура потока остаются постоянными во всех точках аппарата и в потоке на выходе из аппарата.

Уравнение материального баланса потоков на входе и выходе из аппарата

Iвх = v Cвх, Iвых = v Cвых,

где I – поток вещества, моль/с; v – объемный расход потока, м3/с; Свх, Свых – концентрация вещества в потоке на входе в аппарат, выходе из него, моль/м3.

В установившемся режиме Iвх = Iвых. Если на входе в аппарат

произошло изменение концентрации, то в аппарате произойдет накопление вещества. Предположим, что изменение концентрации в аппарате произошло за очень маленький промежуток времени (dt), за который в аппарате произойдет накопление массы (dM). Разделив обе

25

части уравнении на объем аппарата (V), получим уравнение, которое описывает изменение концентрации в аппарате идеального смешения

условия: t = 0; C(0) = C0.

Гидродинамическая модель идеального смешения является моделью с сосредоточенными параметрами, поскольку переменная С изменяется только во времени. Модель реактора идеального смешения используют при описании аппаратов, в которых обеспечивается интенсивное перемешивание сред. Обычно это небольшие аппараты с мешалками барботажного типа, либо аппараты с высокой скоростью циркуляции потока, высота которых мало отличается от диаметра.

2.2. Модель идеального вытеснения

Модель идеального вытеснения – это модель с идеализированной структурой потока, в котором принимается поршневое течение без перемешивания вдоль потока при равномерном распределении концентрации вещества в направлении, перпендикулярном движению потока. При этом время пребывания всех элементов потока в зоне идеального вытеснения одинаково и равно отношению объема зоны вытеснения к объемному расходу жидкости.

Уравнение гидродинамической модели идеального вытеснения будет иметь вид

dCdt = −u dCdl ,

где u – линейная скорость потока, м/с; l – длина аппарата, м; t – время, с. Модель идеального вытеснения представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных, поскольку концентрация изменяется во времени и в пространстве. Это модель с распределенными параметрами. Если на вход объекта со структурой модели идеального вытеснения подать возмущение в виде единичного скачка

26

Свх(t) = 1(t) или импульсной функции Свх(t) = δ(t), то функция отклика Свых(t) соответственно выразится уравнениями F-кривой или φ-кривой

С(t) = F(t) = 1(t – r), С(t) = φ(t) = δ(t – r).

Исходя из полученных результатов, выходная кривая при построении графиков будет повторять по форме входное возмущение со сдвигом по времени на величину τ. Из анализа результатов вытекает практический вывод, которым пользуются при экспериментальном изучении неизвестной структуры потока в аппарате: если при ступенчатом или импульсном входных сигналах на выходе потока получается их повторение со сдвигом во времени, то это свидетельствует о том, что поток соответствует модели идеального вытеснения. К таким моделям близки трубчатые аппараты с большим отношение длины трубок к диаметру (более 100) при турбулентном движении жидкости (Re ≥ 10 000). Это объясняется тем, что при таком соотношении длины трубок к диаметру продольное перемешивание незначительно и мало искажает поток вытеснения, а турбулентное движение обеспечивает равномерное распределение концентрации по сечению аппарата. В промышленности к ним относятся: химические реакторы (трубчатого, полочного типа и т. д.), массообменные и теплообменные аппараты. Для реализации в аппарате режима идеального вытеснения отношение длины (высоты) аппарата к его диаметру должно быть не менее 20.

2.3. Диффузионные гидродинамические модели

Диффузионные модели применяют при описании реальных потоков в аппаратах, в которых происходит продольное и продольнорадиальное перемешивание веществ (например, поток в слоях насадки колонных аппаратов). Природа возникновения продольного и радиального перемешивания весьма сложна. Исходя их теории массообмена, в настоящее время считают, что перемешивание возникает в результате молекулярной и конвективной диффузии. Различают одно- и двухпараметрическую диффузионные модели. Если при построении модели учитывают только продольное перемешивание, а в радиальном направлении концентрацию принимают постоянной, то такая модель называется однопараметрической. Если математическое описание учитывает кроме продольного и радиальное перемешивание, то при составлении модели вводят дополнительный параметр – коэффициент радиального перемешивания и модель становится

27

двухпараметрической. Уравнения двухпараметрических моделей сложны в решении, поэтому используются достаточно редко.

При разработке однопараметрических моделей принимают следующие допущения: изменение концентрации вещества является непрерывной функцией координат (расстояние по длине аппарата); концентрация вещества в каждом сечении постоянна; объемная скорость потока и коэффициент продольного перемешивания не изменяются по длине и сечению потока. Тогда в соответствии с блочным принципом построения математических моделей уравнение однопараметрической диффузионной гидродинамической модели примет следующий вид:

где DL – коэффициент диффузии в продольном направлении, м2/с. Начальные и граничные условия: при t = 0 C(0,l) = C0; при l = 0

dC/dt = 0.

Однопараметрическая модель учитывает диффузию только

впродольном направлении, характеризуется распределенными параметрами и при отсутствии продольного перемешивания превращается

вуравнение модели идеального вытеснения. Коэффициент продольного перемешивания находится опытным или расчетным путем.

Математическое описание гидродинамики потока, представленное двухпараметрической диффузионной моделью

где DR – коэффициент диффузии в продольном направлении, м2/с; r, R – текущий радиус и радиус аппарата соответственно, м;

Для оценки степени влияния диффузии можно использовать

диффузионный критерий Пекле: PeD = U l .

DL

При PeD > 200 движущийся поток можно считать потоком идеального вытеснения; при PeD → 0 однопараметрическая диффузионная модель переходит в модель идеального перемешивания. В практике однопараметрическая диффузионная модель дает возможность достаточно хорошо воспроизвести свойства реального потока при исследовании многих аппаратов (пленочных, распылительных, барботажных, пульсационных, насадочных колоннах, роторно-дисковых экстракторов, трубчатых).

28

2.4. Ячеечные гидродинамические модели

Типовые идеальные модели, рассмотренные выше, в ряде случаев не адекватны реальному процессу, а диффузионные модели отличаются сложностью, поэтому в трубчатых и колонных аппаратах, а также в каскаде реакторов удобнее представить структуру реальных потоков в виде так называемой ячеечной модели. Физическая сущность такой модели заключается в том, что материальный поток может быть представлен несколькими последовательно соединенными ячейками, при этом допускается, что в каждой ячейке поток имеет структуру идеального смешения, а между ячейками перемешивание отсутствует. Количество предполагаемых ячеек идеального перемешивания является параметром, характеризующим ячеечную модель реального потока. При выводе уравнений ячеечной модели принимают следующие допущения: в каждой ячейке поток имеет структуру полного перемешивания и концентрация в пределах каждой ячейки не меняется; между ячейками перемешивание отсутствует; объемная скорость по длине и сечению потока не изменяется; объемы каждой ячейки одинаковы. Поскольку в каждой ячейке реализуется режим идеального смешения, то для любой ячейки справедливо уравнение модели идеального смешения.

Время пребывания вещества в каждой ячейке и общее время пребывания определяются, соответственно τ = Vvi , τ = Vv , тогда объем

всех ячеек V = nVi , где n – число ячеек.

Уравнение ячеечной модели для i-й ячейки примет вид

dCdt = nτ (Ci−1 −Ci ), при t = 0 С(0) = С0.

Число ячеек отражает степень перемешивания в аппарате, поэтому егорольвячеечноймоделианалогичнакритериюПеклевдиффузионной модели. При n = 1 получим модель идеального смешения, при n → ∞ – модель идеального вытеснения. При использовании ячеечной модели оченьважноправильновыбратьчислоячеек, определяемоепоформуле

n = Pe2D = 2ulDL .

Ячеечные модели достаточно точно отражают свойства потоков в последовательно соединенных аппаратах с мешалками, создающими интенсивное перемешивание (каскады реакторов), различных абсорбционных и экстракционных колоннах, в теплообменных аппаратах некоторых конструкций, в аппаратах с псевдосжиженным слоем.

29

2.5. Комбинированные модели

Часто ни одна из рассмотренных выше гидродинамических моделей не воспроизводит свойства потока достаточно точно. Это может быть связано с тем, что в разных частях аппарата устанавливается разная структура потока, наблюдаются такие явления, как байпасирование, застойные зоны, рециклы. В подобных случаях целесообразно рассматривать построение комбинированных моделей. Математическая модель при этом существенно усложняется, однако, это позволяет достичь необходимой точности воспроизведения объектов моделирования. Принцип построения таких моделей состоит в том, что исследуемый процесс рассматривается разделенным на отдельные зоны, соединенные последовательно, параллельно или по схеме с обратной связью, каждая из зон характеризуется разной структурой потока, а сама модель представляет собой сочетание математических описа-

ний всех зон, составляющих процесс.

Зона идеального перемешивания – байпасный поток. Вхо-

дящий поток раздваивается: часть поступает в зону идеального перемешивания; другая часть – байпасный поток – не претерпевает никаких изменений, проскальзывает сразу на выход, минуя аппарат. На выходе из аппарата оба потока соединяются в один, выходная концентрация будет равна

Свых (t) = vv1 C1(t) + vv2 Cвх (t), ,

где v – объемная скорость; v1, v2 – объемная скорость первого и байпасного потока; С1, Свх – выходная концентрация первого и байпасного потока;

Для оценки адекватности построенной модели сравнивают характер интегральной функции распределения времени пребывания построенной экспериментально и по формуле

−τ

F(t) =β+(1−β)(1−e t ) ,

где β – доля, показывающая, какую часть общего расхода составляет байпасный поток.

Если характер опытной кривой соответствует кривой, построенной по формуле, полагают, что моделируемый объект может быть представлен сочетанием зоны идеального перемешивания и байпасного потока.

30