Марковские случайные процессы в моделировании систем. Учебно-методическое пособие

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

Вариант 11

На грузовой станции работают двое стационарных весов. На грузовую станцию поступает простейший поток машин для взвешивания перед погрузкой-выгрузкой с интенсивностью λ машин в час. Время взвешивания распределено по показательному закону и составляет в среднем t (в минутах). Очередь не ограничена. Исходные данные приведены в таблице.

1.Описать состояния системы, построить граф состояний.

2.Найти вероятности состояний СМО для стационарного случая и показатели эффективности работы весовой. Проанализировать эти показатели. Найти вероятность простоя СМО и процент машин, обслуженных без очереди.

3.Найти функциональную зависимость длины очереди от ин-

тенсивности потока машин r0 = j(l) и от времени обслуживания r0 = j(t ). Зависимости представить в виде таблиц и графиков.

4.Найти оптимальное число весов, используя стоимостную

функцию c(n) = c1 Чn +c2 Чzсист . Известно, что c1 = 100 усл. ед. — стоимость работы дополнительных весов в единицу времени; c2 = 40

усл. ед. — стоимостные потери машины при обслуживании в единицу времени.

5.В летние месяцы интенсивность потока машин возрастает вдвое. Сколько нужно весов, чтобы весовая работала нормально?

6.Если в СМО ограничить очередь, сколько нужно оставить мест, чтобы среднее число машин в очереди уменьшилось приблизительно в два раза?

81

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

Вариант 12

Парикмахерская на вокзале имеет n мастеров в одну смену. Поток клиентов простейший с интенсивностью λ клиентов в час. Время обслуживания распределено по показательному закону со средним временем t (в минутах). Очередь ограничена (имеется m = 4 места).

Исходные данные приведены в таблице.

1.Описать состояния системы, построить граф состояний.

2.Найти вероятности состояний СМО для стационарного случая и показатели эффективности работы парикмахерской. Проанализировать эти показатели. Найти вероятность простоя СМО

ипроцент клиентов, обслуженных без очереди.

3.Найти функциональную зависимость числа клиентов в оче-

реди от интенсивности входного потока r0 = j(l) и от среднего времени обслуживания r0 = j(t ). Зависимости представить в виде таблиц и графиков.

4.Найти оптимальное число мастеров в смену, используя сто-

имостную функцию c(n) = c1 Чn +c2 Чzсист , если известно, что c1 = 50 усл. ед. — затраты на работу одного дополнительного мастера в еди-

ницу времени; c2 = 30 усл. ед. — цена ожидания клиентом обслуживания в единицу времени.

5.Интенсивность входного потока возросла в 1,5 раза. Очередь стала неограниченной. Сколько необходимо выводить мастеров в одну смену для своевременного обслуживания клиентов?

6.В условиях конкуренции нужно, чтобы отказ от обслуживания получили не более двух процентов клиентов. Проверить, удовлетворяет ли СМО этому условию. Если нет, то найти число мест

вочереди, при котором это условие будет выполняться.

82

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

Вариант 13

На вокзале железнодорожной станции работает камера хранения ручной клади. Поток пассажиров, желающих сдать или забрать багаж из камеры хранения, простейший с интенсивностью λ пассажиров в час. Обслуживают пассажиров n кладовщиков. Время обслуживания распределено по показательному закону со средним временем t (в минутах). Очередь не ограничена.

Исходные данные приведены в таблице.

1.Описать состояния системы, построить граф состояний.

2.Найти вероятности состояний СМО для стационарного случая и показатели эффективности работы камеры хранения. Проанализировать эти показатели. Найти вероятность простоя СМО

ипроцент пассажиров, обслуженных без очереди.

3.Найти функциональную зависимость средней длины очере-

ди от интенсивности входного потока пассажиров r0 = j(l) и от среднего времени обслуживания r0 = j(t ). Зависимости представить в виде таблиц и графиков.

4.Найти оптимальное число кладовщиков камеры хранения,

используя стоимостную функцию c(n) = c1 Чn +c2 Чr0 +c3 Чkсв , где kсв = n - k — среднее число простаивающих кладовщиков. Известно, что c1 = 100 усл. ед. — стоимость работы дополнительного кладовщика в единицу времени; c2 = 50 усл. ед. — цена ожидания обслуживания пассажиром в единицу времени; c3 = 25 усл. ед. — стоимость потерь от простоя одного кладовщика в единицу времени.

5.В летнее время интенсивность потока пассажиров увеличивается вдвое. Найти число кладовщиков, при котором камера хранения будет обеспечивать обслуживанием поток пассажиров.

6.Если в СМО ограничить очередь, сколько нужно оставить мест, чтобы среднее число пассажиров в очереди уменьшилось приблизительно в два раза?

83

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

Вариант 14

Ателье по ремонту телеаппаратуры имеет n опытных мастеров одной квалификации. В среднем в течение часа от населения поступает в ремонт λ аппаратов в час. Входной поток заявок простейший. Время ремонта одного аппарата одним мастером распределено по показательному закону со средним временем t (в часах). Очередь не ограничена.

Исходные данные приведены в таблице.

1.Описать состояния системы, построить граф состояний.

2.Найти вероятности состояний СМО для стационарного случая и показатели эффективности работы ателье. Проанализировать эти показатели. Найти вероятность простоя СМО и процент заявок, обслуженных без очереди.

3.Найти функциональную зависимость средней длины очере-

ди от интенсивности входного потока заявок r0 = j(l) и от среднего времени обслуживания r0 = j(t ). Зависимости представить

ввиде таблиц и графиков.

4.Найти оптимальное число мастеров ателье, используя стои-

мостную функцию c(n) = c1 Чn +c2 Чr0 +c3 Чkсв , где kсв = n - k — среднее число простаивающих специалистов. Известно, что c1 = 500

усл. ед. — стоимость работы дополнительного мастера ателье в единицу времени; c2 = 50 усл. ед. — потери от простоя аппарата в ожидании ремонта в единицу времени; c3 = 100 усл. ед. — стоимость потерь от простоя одного мастера в единицу времени.

5.Если интенсивность потока аппаратов, отданных в ремонт, увеличивается в 1,5 раза, сколько мастеров потребуется ателье на это время?

6.Если в СМО ограничить очередь, сколько нужно оставить мест, чтобы среднее число заявок в очереди уменьшилось приблизительно в два раза?

84

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

Вариант 15

Центральный вычислительный комплекс локальной компьютерной сети имеет n процессоров и может одновременно обрабатывать n расчетных программ. Другие программы, поступающие с терминалов пользователей, могут храниться в памяти и выполняться по мере освобождения процессоров. Максимальное число заявок, которые может одновременно находиться в памяти, равно 4. Входной поток заявок простейший с интенсивностью λ заявок в минуту. Время обработки программы случайное, распределено по показательному закону со средним значением t (в секундах). Исходные данные приведены в таблице.

1.Описать состояния системы, построить граф состояний.

2.Найти вероятности состояний СМО для стационарного случая и показатели эффективности работы комплекса. Проанализировать эти показатели. Найти вероятность простоя СМО и процент программ, обслуженных без очереди.

3.Найти функциональную зависимость средней длины оче-

реди от интенсивности входного потока программ r0 = j(l) и от среднего времени обслуживания r0 = j(t ). Зависимости представить в виде таблиц и графиков.

4.Найти оптимальное число процессоров, используя стои-

мостную функцию c(n) = c1 Чn +c2 Чzсист . Известно, что c1 = 50 усл. ед. — затраты на введение в работу одного процессора, отнесен-

ные к единице времени; c2 = 270 усл. ед. — стоимость производственных потерь от задержки выполнения программы в течение той же единицы времени.

5.Выполнение срочного заказа увеличило интенсивность входного потока в два раза. Сколько процессоров нужно задействовать в комплексе, чтобы вероятность отказа возросла не более чем в 1,5 раза?

6.При подключении сетевых резервов очередь стала неограниченной. Сколько процессоров необходимо подключить к работе для своевременной обработки поступающих программ?

85

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

Вариант 16

Впункт обмена валюты с двумя окошками приходят клиенты

всоответствии с пуассоновским потоком со средней интенсивностью λ человек в час. Время обслуживания подчиняется показательному закону распределения со средним значением t (в минутах). Очередь не ограничена. Исходные данные приведены в таблице.

1.Описать состояния системы, построить граф состояний.

2.Найти вероятности состояний СМО для стационарного случая и показатели эффективности работы пункта обмена. Проанализировать эти показатели. Найти вероятность простоя СМО и процент клиентов, обслуженных без очереди.

3.Найти функциональную зависимость длины очереди от ин-

тенсивности потока клиентов r0 = j(l) и от времени обслуживания r0 = j(t ) . Зависимости представить в виде таблиц и графиков.

4.Найти оптимальное число окошек в пункте обмена, используя

стоимостную функцию c(n) = c1 Чn +c2 Чzсист . Известно, что c1 = 150 усл. ед. — стоимость работы одного кассира в единицу времени;

c2 = 200 усл. ед. — стоимостные потери клиента при обслуживании в единицу времени.

5.Из-за внедрения новой системы контроля над операциями

свалютой время обслуживания клиентов возросло вдвое. Определить необходимое число работающих окон для нормальной работы с клиентами.

6.Если в СМО ограничить очередь, сколько нужно оставить мест, чтобы среднее число клиентов в очереди уменьшилось приблизительно в два раза?

86

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

Вариант 17

На автобазе работают две бригады грузчиков. На разгрузку прибывает простейший поток автомашин с продукцией с интенсивностью λ машин в час. Среднее время разгрузки составляет t (в минутах). Время подчинено показательному закону. Очередь не ограничена.

Исходные данные приведены в таблице.

1.Описать состояния системы, построить граф состояний.

2.Найти вероятности состояний СМО для стационарного случая и показатели эффективности работы автобазы. Проанализировать эти показатели. Найти вероятность простоя СМО и процент автомашин, обслуженных без очереди.

3.Найти функциональную зависимость длины очереди от ин-

тенсивности потока машин r0 = j(l) и от времени обслуживания r0 = j(t ). Зависимости представить в виде таблиц и графиков.

4.В период отпусков время обслуживания бригад грузчиков увеличилось в полтора раза. Какую часть потока автомашин они смогут бесперебойно разгружать?

5.Найти оптимальное число грузчиков, используя стоимостную

функцию c(n) = c1 Чn +c2 Чr0 +c3 Чkсв , где kсв = n - k — среднее число простаивающих бригад. Известно, что c1 = 80 усл. ед. — стои-

мость работы дополнительной бригады грузчиков в единицу времени; c2 = 320 усл. ед. — цена ожидания в очереди машины в единицу времени; c3 = 40 усл. ед. — стоимость потерь от простоя одной бригады в единицу времени.

6. Если в СМО ограничить очередь, сколько нужно оставить мест, чтобы среднее число автомашин в очереди уменьшилось приблизительно в два раза?

87

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

Вариант 18

В отделе технического контроля (ОТК) цеха работают три контроллера. Поток поступающих на проверку деталей простейший с интенсивностью λ деталей в час. Время проверки распределено по показательному закону и составляет в среднем t (в минутах). Очередь не ограничена.

Исходные данные приведены в таблице.

1.Описать состояния системы, построить граф состояний.

2.Найти вероятности состояний СМО для стационарного случая и показатели эффективности работы ОТК. Проанализировать эти показатели. Найти вероятность простоя СМО и процент деталей, проверенных без очереди.

3.Найти функциональную зависимость длины очереди от ин-

тенсивности потока деталей r0 = j(l) и от времени обслуживания r0 = j(t ). Зависимости представить в виде таблиц и графиков.

4.При выполнении специального госзаказа интенсивность потока деталей возросла в 2 раза. Сколько необходимо контроллеров для своевременной проверки деталей?

5.Найти оптимальное число контроллеров, используя стои-

мостную функцию c(n) = c1 Чn +c2 Чzсист . Известно, что c1 = 270 усл. ед. — стоимость работы дополнительного контроллера в единицу

времени; c2 = 100 усл. ед. — стоимостные потери при нахождении заявки на проверке в единицу времени.

6. Если в СМО ограничить очередь, сколько нужно оставить мест, чтобы среднее число деталей в очереди уменьшилось приблизительно в два раза?

88

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

Вариант 19

В магазине имеется n касс. Поток покупателей, подходящих на оплату покупок, простейший с интенсивностью λ покупателей в минуту. Время обслуживания распределено по показательному закону и составляет в среднем t (в минутах). Очередь не ограничена.

Исходные данные приведены в таблице.

1.Описать состояния системы, построить граф состояний.

2.Найти вероятности состояний СМО для стационарного случая и показатели эффективности работы магазина. Проанализировать эти показатели. Найти вероятность простоя СМО и процент покупателей, обслуженных без очереди.

3.Найти функциональную зависимость длины очереди от ин-

тенсивности потока покупателей r0 = j(l) и от времени обслуживания r0 = j(t ). Зависимости представить в виде таблиц и графиков.

4.Найти оптимальное число касс, используя стоимостную

функцию c(n) = c1 Чn +c2 Чr0 +c3 Чkсв , где kсв = n - k — среднее число простаивающих кассиров. Известно, что c1 = 200 усл. ед. —

стоимость работы дополнительного кассира в единицу времени; c2 = 90 усл. ед. — цена ожидания в очереди покупателя в единицу времени; c3 = 50 усл. ед. — стоимость потерь от простоя одного кассира в единицу времени.

5.В выходные дни интенсивность потока покупателей увеличивается в 1,5 раза. Сколько нужно задействовать касс, чтобы не возникали большие очереди?

6.Если в СМО ограничить очередь, сколько нужно оставить мест, чтобы среднее число покупателей в очереди уменьшилось приблизительно в два раза?

89

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

Вариант 20

Сберкасса обслуживается n кассирами. Поток клиентов простейший с интенсивностью λ клиентов в час. Время обслуживания распределено по показательному закону, среднее время обслуживания одного клиента составляет t (в минутах). Очередь не ограничена.

Исходные данные приведены в таблице.

1.Описать состояния системы, построить граф состояний.

2.Найти вероятности состояний СМО для стационарного случая и показатели эффективности работы сберкассы. Проанализировать эти показатели. Найти вероятность простоя СМО и процент клиентов, обслуженных без очереди.

3.Найти функциональную зависимость длины очереди от ин-

тенсивности потока клиентов r0 = j(l) и от времени обслуживания r0 = j(t ). Зависимости представить в виде таблиц и графиков.

4.Один из кассиров заболел. Будет ли сберкасса справляться

спотоком клиентов?

5.Найти оптимальное число кассиров, используя стоимост-

ную функцию c(n) = c1 Чn +c2 Чzсист . Известно, что c1 = 120 усл. ед. — стоимость работы дополнительного кассира в единицу времени;

c2 = 180 усл. ед. — стоимостные потери при обслуживании клиента в единицу времени.

6. Если в СМО ограничить очередь, сколько нужно оставить мест, чтобы среднее число клиентов в очереди уменьшилось приблизительно в два раза.

90