Марковские случайные процессы в моделировании систем. Учебно-методическое пособие

11. МНОГОК АНА ЛЬНА Я СМО С ОГ РАНИЧЕСННОЙ ОЧЕРЕ ДЬЮ

Находим показатели эффективности работы СМО. Вероятность

отказа Pотк = pn + m, так как при нахождении СМО в состоянии Sn + m следующая поступающая заявка получает отказ в обслуживании.

Относительная пропускная способность Q = 1 – Pотк, абсолютная пропускная способность A = Q · l, среднее число занятых каналов

k= A . m

Рассматривая дискретную случайную величину — число заявок в очереди — и вычисляя ее математическое ожидание, можно определить среднее число заявок в очереди, которое определяется по приведенной формуле

Тогда по формуле Литтла находится среднее время ожидания за-

явки в очереди t0 = r0 . Окончательно находим среднее число заявок

A

в СМО и среднее время нахождения заявки в СМО: zсист = k + r0

и tсист = zсист .

A

51

11. МНОГОК АНА ЛЬНА Я СМО С ОГ РАНИЧЕСННОЙ ОЧЕРЕ ДЬЮ

Пример 7. Автозаправочная станция (АЗС) имеет 2 колонки. Площадка возле АЗС позволяет поставить в очередь не более четырех автомобилей. Если вся площадка занята, то следующий автомобиль проезжает дальше без заправки. Поток автомобилей простейший с интенсивностью l = 1 автомобиль в минуту. Время ожидания подчиняется показательному закону, известно среднее время обслуживания t = 3 минуты.

1.Описать состояния СМО, построить граф состояний.

2.Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы АЗС.

3.Найти зависимости длины очереди от интенсивности поступающих автомобилей на заправку и от среднего времени обслуживания.

4.Сколько необходимо добавить бензколонок, чтобы отказ от обслуживания получали не более 10 % автомобилей, нуждающихся в заправке?

5.Рассмотрим стоимостный показатель в виде c(n) = c1 · n +

+c2 Чr0 (n) +c3 Чkсв (n), где n — число бензоколонок, которое мо-

жет меняться, kсв = n - k — среднее число свободных колонок,

c1 = 50 усл. ед. — затраты на работу одной дополнительной колонки за единицу времени, c2 = 100 усл. ед. — цена ожидания одного автомобиля в единицу времени, c3 = 150 усл. ед. — стоимостные потери от простоя одной бензоколонки в единицу времени. Сколько необходимо колонок на АЗС, чтобы стоимостный показатель был минимальным?

Решение

1. Опишем состояния системы. S0 — на АЗС нет автомобилей,

S1 — один автомобиль заправляется,

S2 — два автомобиля заправляются,

S2+1 — два автомобиля заправляются, один находится в очереди, S2 + 2 — два автомобиля заправляются, два — в очереди,

S2 + 3 — два автомобиля заправляются, три — в очереди,

S2 + 4 — два автомобиля заправляются, четыре — в очереди. Больше состояний нет, следующая машина, пришедшая на

АЗС, получит отказ.

Граф состояний имеет вид (рис. 19)

52

11. МНОГОК АНА ЛЬНА Я СМО С ОГ РАНИЧЕСННОЙ ОЧЕРЕ ДЬЮ

Рис. 19

Здесь m = 1 = 1 = 0,333 автомобиля в минуту.

t3

2.Находим коэффициент загрузки СМО: r = 3. Определяем предельные вероятности (заметим, что r № n):

p0 = 0,016, p1 = 0,047, p2 = 0,071, p2+1 = 0,107,

p2+2 = 0,160, p2+3 = 0,240, p2+4 = 0,360.

Как видно, АЗС сильно загружена: простаивает редко (p0 = 0,016) и наибольшая вероятность в состоянии S2+4.

Находим показатели эффективности СМО. Вероятность отказа Pотк = 0,36, относительная пропускная способность Q = 0,64, абсолютная пропускная способность A = 0,64 автомобиля в минуту, среднее число занятых каналов k =1,921.

Показатели, связанные с очередью будут следующими: r0 = 2,584 автомобиля в среднем в очереди, среднее время ожидания в очереди t0 = 4,038 минуты, среднее число автомобилей на АЗС zсист = 4,505,

среднее время нахождения tсист = 7,039 минуты.

3. Рассмотрим зависимость r0 = r0 (l). Меняя параметр l, получаем значения длины очереди. Но так как очередь в СМО ограниченна, можно сколь угодно увеличивать l. Расчеты представлены в таблице

Графически зависимость представлена на рис. 20.

53

11. МНОГОК АНА ЛЬНА Я СМО С ОГ РАНИЧЕСННОЙ ОЧЕРЕ ДЬЮ

Рис. 20

Рассмотрим теперь зависимость r0 = r0 (t ). Увеличивая пара-

метр t , получаем следующие значения

Графически зависимость представлена на рис. 21.

Рис. 21

54

11.МНОГОК АНА ЛЬНА Я СМО С ОГ РАНИЧЕСННОЙ ОЧЕРЕ ДЬЮ

Вобоих случаях длина очереди стремится к числу мест в очереди. 4. Теперь будет увеличивать параметр n (число колонок), остав-

ляя другие неизменными, для получения условия Pотк Ј 0,1. Получим таблицу значений.

Следовательно, увеличение числа колонок до четырех решает

поставленную задачу.

5. Рассмотрим показатель c (n) =100 Чn +150 Чr0 (n)+50 Чkсв (n). Так как АЗС имеет ограниченную очередь, то теоретически может работать при любом числе каналов.

Для n = 1 имеем c(1) = 50 · 1 + 100 · 3,511 + 150 · 0,003 = 401,55 усл. ед.

Для n = 2 имеем c(2) = 50 · 2 + 100 · 2,584 + 150 · 0,079 = 370,25 усл. ед.

Для n = 3 имеем c(3) = 50 · 3 + 100 · 1,452 + 150 · 0,435 = 360,45 усл. ед.

Для n = 4 имеем c(4) = 50 · 4 + 100 · 0,638 + 150 · 1,138 = 434,5 усл. ед.

При дальнейшем увеличении числа каналов стоимостный показатель будет расти неограниченно. Значит, оптимальное число колонок будет три.

55

12.СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПАРАМЕТРОВ ПОТОКА И СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ (ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ ЧАСТЬ)

Приведенные формулы и расчеты марковских случайных процессов различных СМО достаточно просты, и получаются однозначные результаты, по которым можно проводить анализ, оптимизацию и т. д. Главным условием для получения марковского случайного процесса в системе является показательное распределение времени между соседними поступающими заявками и времени обслуживания одной заявки одним каналом. В ТМО это утверждение получается экспериментально: необходимо провести наблюдение системы массового обслуживания (банкомат, поток машин или людей, поступление людей в очередь, вход на сайт и т. д.) для подсчета времени между входящими заявками и времени обслуживания заявок. Получение показательного закона распределения дает право работать с системой по простым формулам. Встречаются на практике и равномерное распределение, гамма и бета распределения, распределения Эрланга и Парето и другие, для которых принимаются специальные допущения или более сложные процедуры расчета параметров СМО. Покажем примеры статистического анализа.

Пример 8. Имеется одна из касс ресторана быстрого питания McDonalds города Екатеринбурга. Проанализируем интервалы времени между вставанием в очередь на обслуживание 9 мая 2013 года. Возьмем сто значений интервалов времени в секундах (см. таблицу)

56

12. С ТАТИС ТИЧЕСКИЙ АНА ЛИЗ ПАРАМЕТРОВ ПОТОК А…

Определяем максимальное и минимальное значение, округляем, выбираем по формуле Стерджесса количество интервалов разбиения временного диапазона. Удобно взять k = 8, получаем шаг разбиения h = 26,125.

Записываем статистический ряд, находим выборочные среднюю и дисперсию. По гистограмме предполагаем показательный закон распределения.

57

12. С ТАТИС ТИЧЕСКИЙ АНА ЛИЗ ПАРАМЕТРОВ ПОТОК А…

Выборочное среднее — 59,0; выборочная дисперсия — 2619,2; выборочное среднеквадратическое отклонение — 51,2. Параметр показательного распределения — λ =0,25. Выдвигаем нулевую гипотезу о показательном распределении всей генеральной совокупности на основе выборки из 100 значений. Вычисляем по критерию Пирсона наблюдаемое значение c2 (хи-квадрат) — 10,5. По заданному уровню значимости a = 0,05 вычисляем критическое значение c2крит = 12,6.

Так как c2набл < c2крит, гипотеза о показательном распределении времени вставания людей в очередь подтверждается, значит, можно считать входящий поток заявок простейшим, а процесс в рассматриваемой СМО — марковским.

На рис. 22 представлена гистограмма с теоретическим законом распределения f(t) = 0,25e–0,25t.

Дальше приведем еще ряд примеров выполненных наблюдений со статистическим анализом (без подробного описания).

Пример 9. В таблице имеется 100 значений прохождения автомобилей через мост на проспекте Ленина по «Плотинке» города Екатеринбурга. Приведены временные интервалы между прохождением автомобилями определенной точки. Необходимо определить теоретический закон распределения непрерывной случайной величины — времени между соседними автомобилями в секундах.

58

59

12. С ТАТИС ТИЧЕСКИЙ АНА ЛИЗ ПАРАМЕТРОВ ПОТОК А…

Выборочное среднее — 2,69 выборочная дисперсия — 3,72; выборочное среднеквадратическое отклонение — 1,93. Параметр показательного распределения — λ = 0,37. Выдвигаем нулевую гипотезу о показательном распределении всей генеральной совокупности на основе выборки из 100 значений. Вычисляем по критерию Пирсона наблюдаемое значение c2 (хи-квадрат) — 10,11. По заданному уровню значимости a = 0,05 вычисляем критическое значение c2крит = 12,6.

60