Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Марковские случайные процессы в моделировании систем. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

645 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

12. С ТАТИС ТИЧЕСКИЙ АНА ЛИЗ ПАРАМЕТРОВ ПОТОК А…

Гипотеза о показательном распределении подтверждается по критерию Пирсона. Гистограмма и график теоретического распределения изображены на рис. 23.

0,1400
0,1200
0,1000
0,0800
0,0600
0,0400
0,0200
0,0000
1,0000	2,0000	3,0000	4,0000	5,0000	6,0000	7,0000	8,0000
			Рис. 23

Пример 10. В течение 10 дней в период времени от 19:00 до 20:00 проводились измерения скорости загрузки сайта http://nakedscience.ru/. Провайдер — «КАБiNET», скорость 30 Мбит/с. Измерения проводились с помощью дополнения FireBugLite для браузера GoogleChrome.

4,6	4,55	3,24	3,4	4,23	4,55	3,99	2,94	5,22	3,43

3,42	3,36	3,36	3,87	3,05	3,51	4,04	3,85	3,52	3,34

4,09	3,51	6,27	4,21	3,05	3,41	2,7	3,54	3,06	3,04

4,29	4,92	2,92	3,37	3,41	3,45	4,11	4,26	3,42	3,84

3,19	3,04	3,69	4,71	4,4	3,32	4,4	5,74	4,27	4,2

4,07	4,05	3,92	3,62	4,46	3,59	3,73	3,78	4,08	5,2

2,48	4,09	3,67	3,17	4,15	3,39	3,84	3,6	2,61	3,31

3,19	3,73	3,61	5,24	4,19	3,55	3,48	3,98	4,41	4,46

3,34	3,44	3,27	5,53	3,17	3,52	3,56	3,34	3,96	4,31

4,59	3,73	2,99	3,47	5,45	3,16	3,79	4,45	3,78	4,09

12. С ТАТИС ТИЧЕСКИЙ АНА ЛИЗ ПАРАМЕТРОВ ПОТОК А…

n	min	max		Xmax	Xmin		k		h
100	2,48	6,27		2,48	6,27	8			0,47

Левые	Правые		Середины		Частоты		Относительные
границы	границы		Середины		Частоты			частоты
границы	границы							частоты

2,48	2,95		2,72		5			0,05

2,95	3,43		3,19		27			0,27

3,43	3,90		3,66		28			0,28

3,90	4,38		4,14		21			0,21

4,38	4,85		4,61		11			0,11

4,85	5,32		5,09		4			0,04

5,32	5,80		5,56		3			0,03

5,80	6,27		6,03		1			0,01

Выборочное среднее — 3,83 выборочная дисперсия — 0,47; выборочное среднеквадратическое отклонение — 0,68. Данное статистическое распределение подходит под известные в теории гамма или бета распределения (см. гистограмму на рис. 24).

0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
2,72	3,19	3,66	4,14	4,61	5,09	5,56	6,03

Рис. 24

— ряд 2

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Вентцель Е. С. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения : учеб. пособие для втузов / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров — М. : Высш. шк., 2000. — 383 с. — ISBN: 5-06-003831-9.

2.Письменный Д. Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистики и случайным процессам / Д. Т. Письменный — Высшее образование : Айрис-Пресс, 2015. — 288 с. — ISBN: 978-5-8112-6085-0.

3.Кац И. Я. Математические модели массового обслуживания: про- граммно-методический комплекс / И. Я. Кац, П. П. Скачков, М. А. Толмачева. — Екатеринбург, УрГАПС, 2001. — 64 с.

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

Задание 1.

Марковские цепи с дискретным временем

Дана матрица переходных вероятностей за один шаг марковской цепи с дискретным временем. Составить граф марковской цепи, найти вероятности переходов из одного состояния в другое за два шага. Найти распределение вероятностей за один, два, три, четыре, восемь шагов. Определить стационарные вероятности. Сравнить стационарные вероятности с распределение вероятностей за восемь шагов.

1.1								1.2									1.3
	ж 1 1 1 ц								ж	1	0			1		ц		ж	1	1		0		ц
	з						ч		з							ч		з						ч
		3	3		3					2				2					2	2
	з						ч		з							ч		з						ч
		1				1				1					2				2		1
P =	з		0				ч	P =	з		0					ч	P =	з				0		ч
	з	2			2		ч		з	3				3		ч		з	3	3				ч

	з	1		1			ч		з	1 1				1		ч		з	1	1		1		ч
	з				0		ч		з							ч		з						ч
	з	2		2			ч		з	2			4		4	ч		з	3		3		3	ч
	и						ш		и							ш		и						ш
1.4								1.5									1.6
	ж 1 1 1 ц								ж	3		0		1		ц		ж	5	1		0		ц
	з						ч		з							ч		з						ч
		3	3		3					4				4					6	6
	з						ч		з							ч		з						ч

P =	з 1 1 1						ч	P =	з	2	1			0		ч	P =	з	1	0		1		ч
	з	2		4		4	ч		з	3			3			ч		з	2				2	ч

	з	2				1	ч		з	1			1		1	ч		з	1		1		1	ч
	з		0				ч		з							ч		з						ч
	з	3			3		ч		з	3	3			3		ч		з	2	4		4		ч
	и						ш		и							ш		и						ш

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

1.7

ж 1

зз 4 P = з 3 з 4

зз 0

1.10

ж 3

зз 4 P = з 1 з 2

з 1

и 3

1.13

ж 1 зз 6

P = з 2 зз 3 з 1

и 4

1.16

ж 1

зз 3

P = з 1

зз 4 з 1

и 6

11 ц

42 чч

1 ч

0		ч
0	4
	4
2	1	ч
2	1	ч
3	3	ч
3	3	ш
0	1	ц
		ч
	4
	4
1	1	ч
1	1	ч

44 ч

1		1	ч
			ч
3	3		ч
			ш

21 ц

36 чч

11 ч

6		6	ч
3			ч
3	0		ч
4	0		ч
4			ш

11 ц

33 чч

11 ч

4		2	ч
1		1	ч
			ч
3	2		ч
			ш

1.8

з 0

P = з 2

зз 3 з 1

и 4

1.11

ж 1

зз 3

P = з 3

зз 4 з 1

и 3

1.14

ж 1

зз 4

P = з 5

з 6

з 2

и 3

1.17

ж 1 зз 2

P = з 1

зз 2 з 3

и 4

21 ц

33 чч

1	0		ч
3			ч
1		1	ч
			ч
4	2		ч
			ш

11 ц

33 чч

1	0		ч
4	0		ч
4			ч
		2	ч
0		2	ч
0	3		ч
	3		ш

11 ц

4		2	ч
		1	ч
0			ч
	6		ч

1		1	ч
			ч
6	6		ч
			ш

11 ц

63 чч

0	1	ч
0	2	ч
	2	ч
1		ч
1	0	ч
4	0	ч
4		ш

1.9

ж 4

зз 6

P = з 1

зз 3 з 1

и 2

1.12

ж 1

зз 6 P = з 1 зз 2 з 1

и 3

1.15

ж 1 зз 6

P = зз 0

з 1

и 3

1.18

ж 1 зз 4

P= з 1

з2

з 3

и 4

11 ц

66 чч

11 ч

3		3	ч
1			ч
1	0		ч
2	0		ч
2			ш

21 ц

36 чч

11 ч

4		4	ч
2			ч
2	0		ч
3	0		ч
3			ш

12 ц

63 чч

11 ч

2		2	ч
1		1	ч
			ч
3	3		ч
			ш

11 ц

2		4			ч
1	1				ч
1	1				ч
6			3	ч
1					ч
1	0				ч
4	0				ч
4					ш

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

1.19

ж 1

зз 4 P = з 1 з 6

з 3

и 4

1.22

ж 3 зз 4

P= з 1 зз 2

зз 0

1.25

з 0

P = з 1 з 8

з 1

и 2

1.28

ж 1 зз 9

P= з 1

зз 3 з 2

зи 7

11 ц

4		2	ч
1	1		ч
1	1		ч

23 ч

1 0 чч ш4

11 ц

88 чч

11 ч

3		6	ч
1		1	ч
			ч
2	2		ч
			ш

31 ц

4		4			ч
3	1				ч
3	1				ч
4			8	ч
1					ч
1	0				ч
					ч
2					ч
2					ш

53 ц

99 чч

11 ч

3		3	ч
3	2		ч
3	2		ч
			ч
7	7		ч
7	7		ш

1.20
	ж 1		0		3	ц
	з					ч
		4			4
		4			4
	з	1	1		1	ч
P =	з	1	1		1	ч
P =	з 2		3		6 ч
	з 2		3		6 ч
	з	1	1		1	ч
	з	1	1		1	ч
	з	2	4		4	ч
	и	2	4		4	ш
1.23
	ж	0	1		1 ц
	з					ч
	з		2		2	ч
	з		2		2	ч
	з	3			1	ч
P =	з	3	0		1	ч
P =	з 4		0		4	ч
	з 4				4	ч
	з	1	1			ч
	з	1	1		0	ч
	з	2	2		0	ч
	и	2	2			ш
1.26
	ж 0		1		2 ц
	з					ч
	з		3		3	ч
	з					ч
P =	з 3		0		1	ч
P =	з	4	0		4	ч
	з	4			4	ч
	з	5	1			ч
	з	5	1		0	ч
	з	6	6		0	ч
	и	6	6			ш
1.29
	ж 1		2					1 ц
	з								ч
	з	4	4			4			ч
	з	2		3			5		ч
P =	з	2		3			5		ч
P =	з10		10			10 ч
	з10		10			10 ч

зч

1 1 0 чч

2 шззи 2

1.21
	ж 1			1		1 ц
	з							ч
	з	3		3		3		ч
	з							ч
P =	з 1			1		1 ч
P =	з	3		2		6		ч
	з	3		2		6		ч
	з	2		1		1		ч
	з	2		1		1		ч
	з	3		6		6		ч
	и	3		6		6		ш
1.24
	ж 1			3		1 ц
	з							ч
	з	8		4		8		ч
	з							ч
P =	з 1			1		1 ч
P =	з	3		3		3		ч
	з	3		3		3		ч
	з			3		1		ч
	з	0		3		1		ч
	з	0		4		4		ч
	и			4		4		ш
1.27
	ж 0			5		1 ц
	з			6		6		ч
	з							ч
P =	з 1			1		1 ч
P =	з	3		3		3		ч
	з	3		3		3		ч
	з	2		1		1		ч
	з	2		1		1		ч
	з	3		6		6		ч
	и	3		6		6		ш
1.30
	ж 1			5						5 ц
	з										ч
	з	11		11			11				ч
	з		1		2				2		ч
P =	з		1		2				2		ч
P =	з 5			5						5 ч
	з 5			5						5 ч
	з		1		1					1	ч
	з		1		1					1	ч
	з	3		3			3				ч
	и	3		3			3				ш

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

Задание 2. Марковские цепи с непрерывным временем

Задана матрица интенсивностей переходов непрерывной цепи Маркова. Составить размеченный граф состояний системы, соответствующей этой матрице, записать систему дифференциальных уравнений Колмогорова, найти частное решение системы при начальных условиях p1(0) = 1, p2(0) = 0, p3(0) = 0. Построить графики функций p1(t), p2(t), p3(t). Определить стационарные и предельные распределения вероятностей.

2.1

ж -2

L = з 2 зи 1

2.4

ж -6

L = з 3 зи 2

2.7

ж -5

L = з 1 зи 0

2.10

ж -7

L = з 1 зи 0

-3 0

-4 0

-5 1

-5

2ц

1 ч

-1чш

5ц

1 ч

-2 чш

2 ц

4 ч

-1чш

5 ц

4 ч

-3 чш

2.2

ж -4

L = з 0 зи 1

2.5

ж -2

L = з 2 зи 1

2.8

ж -4

L = з 1 зи 1

2.11

ж -5

L = з 1 зи 3

-3 1

-5 3

-2 1

-2

2 ц

3 ч

-2 чш

0 ц

3 ч

-4 чш

2ц

1 ч

-2 чш

2ц

1 ч

-5 чш

2.3

ж -4

L = з 0 зи 2

2.6

ж -3

L = з 1 зи 1

2.9

ж -5

L = з 2 зи 1

2.12

ж -8

L = з 2 зи 1

-3 0

-3 1

-3 3

-5

3ц

3ч

-2 чш

2ц

2ч

-2 чш

5ц

1 ч

-4 чш

3ц

3ч

-8 чш

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

2.13

ж -7

L = з 2 зи 4

2.16

ж -6

L = з 3

зи 1

2.19

ж -5

L = з 4 зи 2

2.22

ж -3

L = з 4 зи 3

2.25

ж -2

L = з 2 зи 2

2.28

ж -6

L = з 2

зи 3

-4 3

-3 5

-6 2

-6 3

-3 2

-4

4 ц

2 ч

-7 чш

4 ц

0 ч

-6 чш

3 ц

2 ч

-4 чш

1 ц

2 ч

-6 чш

1 ц

1 ч

-4 чш

1 ц

2 ч

-6 чш

2.14

ж -3

L = з 2 зи 2

2.17

ж -2

L = з 3 зи 4

2.20

ж -7

L = з 1 зи 3

2.23

ж -4

L = з 5 зи 1

2.26

ж -4

L = з 4 зи 2

2.29

ж -6

L = з 1

зи 3

-2 5

-8 4

-2 1

-7 1

-8 3

-4

1 ц

0 ч

-7 чш

1 ц

5 ч

-8 чш

5 ц

1 ч

-4 чш

2 ц

2 ч

-2 чш

1 ц

4 ч

-5 чш

4 ц

3 ч

-6 чш

2.15

ж -6

L = з 2

зи 3

2.18

ж -4

L = з 3 зи 3

2.21

ж -9

L = з 1 зи 2

2.24

ж -5

L = з 7 зи 1

2.27

ж -5

L = з 7 зи 1

2.30

ж -4

L = з 7 зи 3

-3 4

-9 5

-2 2

-8 1

-9 1

2 -10 4

3ц

1 ч

-7 чш

2 ц

6 ч

-8 чш

5ц

1 ч

-4 чш

2ц

1 ч

-2 чш

2ц

2ч

-2 чш

2 ц

3 ч

-7 чш

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

Задание 3. Система массового обслуживания с отказами

АТС имеет 4 линии связи. Поток вызовов простейший с интенсивностью λ вызовов в минуту. Время переговоров распределено по показательному закону, среднее время составляет t минут. Информация об исходных данных приведена в таблице.

1.Описать состояния СМО, построить граф состояний.

2.Найти предельные вероятности состояний системы. Найти показатели эффективности работы АТС, проанализировать эти показатели.

3.Изучить зависимость среднего числа занятых каналов и абсолютной пропускной способности АТС от интенсивности входного потока, зависимости представить в виде таблиц и графиков.

4.Определить, сколько линий должна иметь АТС, чтобы вероятность отказа не превышала 0,01.

5.Содержание каждого канала в месяц обходится в 10 тысяч усл. ед. Каждая обслуженная заявка приносит доход в 1,5 усл. ед. Определить рентабельность АТС. Найти оптимальное число каналов, при котором прибыль АТС будет максимальной (или дефицит минимальным).

							№ группы в потоке
Вариант		1			2				3				4				5
	λ				λ			λ				λ				λ
	λ			t	λ		t	λ			t	λ			t	λ			t

1	2		3		4	5		6		7		8		9		10		11

3.1	0,9		2,5		1,1	2,5		1,3		2,5		0,9		2,7		1,9		1,5

3.2	0,7		2,4		0,9	2,4		1,1		2,4		0,7		2,6		1,7		2,1
3.3	0,8		2,9		1,0	2,9		1,2		2,9		0,8		3,1		1,8		1,9
3.4	0,6		3,5		0,8	3,5		1,0		3,5		0,6		3,3		1,6		2,5
3.5	0,7		3,5		0,9	3,3		1,1		3,4		0,7		3,3		1,7		2,5
3.6	0,8		2,2		1,0	2,3		1,2		2,2		0,9		2,4		1,8		3,2
3.7	0,9		2,6		1,0	2,7		1,2		2,6		0,8		2,8		1,8		1,9

3.8	0,9		2,1		1,1	2,2		1,3		2,1		0,8		2,3		1,9		2,1

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

Окончание табл.

							№ группы в потоке

Вариант		1			2				3				4				5
	λ				λ			λ				λ				λ
	λ			t	λ		t	λ			t	λ			t	λ			t
3.9	0,7		3,1		0,9	3,1		1,1		3,2		0,7		2,9		1,7		3,0
3.10	0,9		2,8		1,1	2,7		1,3		2,8		0,9		3,0		0,8		2,8
3.11	0,9		3,2		1,1	3,3		1,3		3,4		1,3		3,1		1,9		3,3
3.12	0,5		3,1		0,7	3,0		0,9		3,2		0,9		3,4		1,5		2,1
3.13	0,6		2,5		0,8	2,6		1,5		2,7		1,5		2,9		1,6		2,5

3.14	1,7		2,0		1,8	1,9		1,6		2,1		1,5		2,4		1,4		1,8

3.15	2,1		2,7		1,9	1,6		2,2		1,9		1,9		3,1		1,1		2,7

3.16	2,0		3,1		2,5	2,1		0,6		4,1		0,7		4,3		0,8		4,2

3.17	0,9		4,1		0,8	4,4		0,9		4,5		1,1		4,3		1,2		4,2

3.18	1,1		3,9		1,3	3,9		1,5		4,0		1,5		4,2		1,4		4,3
3.19	2,1		3,8		2,2	4,1		2,3		4,5		2,4		4,4		2,3		4,5
3.20	2,2		3,9		2,1	4,0		2,3		3,9		2,5		4,1		2,6		4,1
3.21	0,5		4,1		0,7	4,2		0,6		3,9		0,8		4,2		0,9		5,1
3.22	0,6		4,2		0,8	5,1		0,7		4,0		0,9		3,7		1,2		5,2
3.23	0,7		4,3		0,9	5,0		0,8		3,8		1,1		3,8		1,3		3,4

3.24	0,8		4,4		0,9	5,1		0,9		3,9		0,8		6,1		1,4		4,2

3.25	0,9		4,5		1,1	5,0		1,1		4,1		0,5		6,2		1,4		4,4

3.26	1,1		4,2		1,2	5,3		1,2		4,3		0,4		6,1		1,5		5,0

3.27	1,2		4,1		1,3	4,4		1,3		4,2		0,5		6,3		1,6		4,8
3.28	0,9		4,3		1,5	4,0		1,4		4,3		1,5		3,0		1,7		5,1
3.29	0,8		4,2		1,3	4,2		1,5		4,5		1,6		3,2		1,9		5,7
3.30	0,5		5,1		1,4	5,0		1,6		4,6		1,7		3,4		1,8		5,4

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]