Марковские случайные процессы в моделировании систем. Учебно-методическое пособие

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

Задание 4. Системы массового обслуживания с очередями

Вариант 1

В приемно-отправочный парк станции поступает простейший поток поездов со средней интенсивностью λ составов в час. Две бригады осмотрщиков обрабатывают состав со средней продолжительностью t (в минутах). Время обработки распределено по показательному закону. Очередь не ограничена. Исходные данные приведены в таблице.

1.Описать состояния системы, построить граф состояний.

2.Найти вероятности состояний для стационарного случая и показатели эффективности работы бригад осмотрщиков. Проанализировать эти показатели. Найти вероятность простоя СМО и процент составов, обслуженных без очереди.

3.Найти функциональную зависимость длины очереди от ин-

тенсивности потока r0 = j(l) и от времени обслуживания r0 = j(t ). Зависимости представить в виде таблиц и графиков.

4.Найти оптимальное число бригад, при котором функция

c(n) = c1 Чn +c2 Чzсист будет иметь наименьшее значение. Известно, что с1 = 200 усл. ед. — затраты на работу дополнительной бригады (к единице времени); с2 = 100 усл. ед. — цена ожидания обслуживания поезда (к единице времени).

5.Известно, что в летние месяцы интенсивность потока составов возрастает вдвое, время осмотра также возрастает в 1,5 раза за счет увеличения длины состава. Определить необходимое число бригад для нормальной работы станции.

6.Если в СМО ограничить очередь, сколько нужно оставить мест, чтобы среднее число составов в очереди уменьшилось приблизительно в два раза?

71

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

Вариант 2

На сортировочной станции работают две сортировочные горки. На расформирование прибывает простейший поток составов с интенсивностью λ составов в сутки. Горочный технологический интервал составляет t (в минутах). Время подчинено показательному закону. Очередь не ограничена. Исходные данные приведены в таблице.

1.Описать состояния системы, построить граф состояний.

2.Найти вероятности состояний СМО для стационарного случая и показатели эффективности работы сортировочной станции. Проанализировать эти показатели. Найти вероятность простоя СМО и процент составов, обслуженных без очереди.

3.Найти функциональную зависимость длины очереди от ин-

тенсивности потока r0 = j(l) и от времени обслуживания r0 = j(t ). Зависимости представить в виде таблиц и графиков.

4.На соседней станции проведена реконструкция, и она может

обработать дополнительно 1 часть составов сортировочной

4

станции. Можно ли в этом случае начать профилактический ремонт одного горочного механизма?

5. Определить оптимальное число горок, используя для расчетов

стоимостную функцию c(n) = c1 Чn +c2 Чr0 +c3 Чkсв , где kсв = n - k — среднее число простаивающих горок. Известно, что с1 = 400 усл.

ед. — затраты на работу одной дополнительной горки, отнесенные к единице времени; с2 = 150 усл. ед. — потери от ожидания составов в очереди в единицу времени; с3 = 50 усл. ед. составляют потери от простоя горки в единицу времени.

6. Если в СМО ограничить очередь, сколько нужно оставить мест, чтобы среднее число составов в очереди уменьшилось приблизительно в два раза?

72

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

Вариант 3

На контейнерную площадку с двумя кранами прибывает простейший поток автомашин с интенсивностью λ автомашин в час. Время погрузки-выгрузки распределено по показательному закону и составляет в среднем t (в минутах). Очередь не ограничена.

Исходные данные приведены в таблице.

1.Описать состояния системы, построить граф состояний.

2.Найти вероятности состояний СМО для стационарного случая и показатели эффективности работы контейнерной площадки. Проанализировать эти показатели. Найти вероятность простоя СМО и процент автомашин, обслуженных без очереди.

3.Найти функциональную зависимость длины очереди от ин-

тенсивности потока r0 = j(l) и от времени обслуживания r0 = j(t ). Зависимости представить в виде таблиц и графиков.

4.Один из кранов требует профилактического ремонта. Как будет работать контейнерная площадка с одним краном? Какую часть потока автомашин она сможет обслужить?

5.В летние месяцы интенсивность потока машин возрастает вдвое. Определить оптимальное число кранов, необходимое для нормальной работы площадки. Использовать для расчетов стои-

мостную функцию c(n) = c1 Чn +c2 Чr0 +c3 Чkсв , где kсв = n - k — среднее число простаивающих кранов. Здесь c1 = 300 усл. ед. — затра-

ты на работу одного дополнительного крана, отнесенные к единице времени; c2 = 100 усл. ед. — потери автомашины от ожидания в очереди в единицу времени; c3 = 25 усл. ед. составляют потери от простоя крана в единицу времени.

6. Если в СМО ограничить очередь, сколько нужно оставить мест, чтобы среднее число машин в очереди уменьшилось приблизительно в два раза?

73

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

Вариант 4

На железнодорожной станции имеется 4 кассовых аппарата. Поток пассажиров, желающих приобрести билеты, простейший с интенсивностью λ пассажиров в минуту. Время обслуживания распределено по показательному закону и составляет в среднем t (в секундах). Очередь не ограничена. Исходные данные приведены в таблице.

1.Описать состояния системы, построить граф состояний.

2.Найти вероятности состояний СМО для стационарного случая и показатели эффективности работы железнодорожных касс. Проанализировать эти показатели. Найти вероятность простоя СМО и процент пассажиров, обслуженных без очереди.

3.Найти функциональную зависимость длины очереди от ин-

тенсивности потока r0 = j(l) и от времени обслуживания r0 = j(t ). Зависимости представить в виде таблиц и графиков.

4.Найти оптимальное число кассовых аппаратов, при кото-

ром функция c(n) = c1 Чn +c2 Чzсист будет иметь наименьшее значение. Известно, что c1 = 500 усл. ед. — затраты на работу дополнительного аппарата (к ед. времени); c2 =100 усл. ед. — цена ожидания обслуживания одним пассажиром (к ед. времени).

5.В летние месяцы интенсивность потока пассажиров увеличивается в 1,5 раза. Сколько необходимо кассовых аппаратов для своевременного обслуживания пассажиров?

6.Если в СМО ограничить очередь, сколько нужно оставить мест, чтобы среднее число пассажиров в очереди уменьшилось приблизительно в два раза?

74

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

Вариант 5

Билетная касса обслуживается n кассирами. Поток пассажиров простейший с интенсивностью λ пассажиров в час. Время обслуживания распределено по показательному закону, среднее время обслуживания одного пассажира составляет t (в минутах).

Исходные данные приведены в таблице.

1.Описать состояния системы, построить граф состояний.

2.Найти вероятности состояний СМО для стационарного случая и показатели эффективности работы билетной кассы. Проанализировать эти показатели. Найти вероятность простоя СМО

ипроцент пассажиров, обслуженных без очереди.

3.Найти функциональную зависимость длины очереди от ин-

тенсивности потока r0 = j(l) и от времени обслуживания r0 = j(t ). Зависимости представить в виде таблиц и графиков.

4.Один из кассиров заболел. Будет ли касса справляться с потоком пассажиров без больших очередей?

5.В связи с юбилеем города поток пассажиров увеличился вдвое. Найти оптимальное число кассиров для этого времени, если известно, что затраты на работу еще одного кассира состав-

ляют c1 = 200 усл. ед. в единицу времени, а цена ожидания пассажира в единицу времени c2 = 100 усл. ед. Стоимостной показатель

c(n) = c1 Чn +c2 Чzсист должен быть минимальным.

6. Если в СМО ограничить очередь, сколько нужно оставить мест, чтобы среднее число пассажиров в очереди уменьшилось приблизительно в два раза?

75

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

Вариант 6

В депо железнодорожной станции на экипировку поступает простейший поток электровозов с интенсивностью λ электровозов в час. Время экипировки распределено по показательному закону, среднее время обслуживания одного электровоза составляет t (в минутах). Депо имеет n экипировочных мест. Очередь не ограничена.

Исходные данные приведены в таблице.

1.Описать состояния системы, построить граф состояний.

2.Найти вероятности состояний СМО для стационарного случая и показатели эффективности работы депо. Проанализировать эти показатели. Найти вероятность простоя СМО и процент электровозов, обслуженных без очереди.

3.Найти функциональную зависимость длины очереди от ин-

тенсивности потока r0 = j(l) и от времени обслуживания r0 = j(t ). Зависимости представить в виде таблиц и графиков.

4.Планируется ликвидация некоторых депо. В этом случае

вданном депо будет проходить экипировку вдвое большее число электровозов (l1 = 2l). Найти оптимальное число экипиро-

вочных мест в депо, при котором функция c(n) = c1 Чn +c2 Чzсист будет иметь наименьшее значение. Известно, что c1 = 250 усл. ед. —

стоимость работы дополнительного места в единицу времени; c2 = 170 усл. ед. — стоимостные потери электровоза при обслуживании в единицу времени.

5.Интенсивность потока электровозов увеличилась в полтора раза. Сколько необходимо экипировочных мест для своевременного обслуживания электровозов?

6.Если в СМО ограничить очередь, сколько нужно оставить мест, чтобы среднее число электровозов в очереди уменьшилось приблизительно в два раза?

76

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

Вариант 7

СМО представляет собой автозаправочную станцию (АЗС) с 4 колонками. Площадка возле АЗС позволяет ожидание в очереди не более m автомашин. Если вся площадка занята, то следующий автомобиль не обслуживается. Поток автомашин на заправку — простейший с интенсивностью λ автомашин в минуту. Время заправки распределено по показательному закону, среднее время обслуживания одной автомашины составляет t (в минутах). Исходные данные приведены в таблице.

1.Описать состояния системы, построить граф состояний.

2.Найти вероятности состояний СМО для стационарного случая и показатели эффективности работы АЗС. Проанализировать эти показатели. Найти вероятность простоя СМО и процент машин, обслуженных без очереди.

3.Найти функциональную зависимость длины очереди от ин-

тенсивности потока r0 = j(l) и от времени обслуживания r0 = j(t ). Зависимости представить в виде таблиц и графиков.

4.В условиях конкуренции нужно, чтобы отказ от обслуживания получили не более двух процентов автомашин, нуждающихся в заправке. Проверить, удовлетворяет ли АЗС этому условию. Если нет, то найти число колонок, при котором это условие будет выполняться.

5.В связи с тем, что закрылись ближайшие АЗС, очередь стала неограниченной. Сколько необходимо колонок для своевременной заправки машин?

6.Найти оптимальное число колонок АЗС, используя стоимост-

ную функцию c(n) = c1 Чn +c2 Чr0 +c3 Чkсв , где kсв = n - k — среднее число простаивающих колонок. Она должна иметь наименьшее зна-

чение. Известно, что c1 = 120 усл. ед. — стоимость установки одной колонки в единицу времени; c2 = 75 усл. ед. — цена ожидания заправки одной автомашиной в единицу времени; c3 = 30 усл. ед. — стоимость потерь от простоя одной колонки в единицу времени.

77

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

Вариант 8

На заводе выпускается продукция малыми партиями. Каждый будний день рабочие берут инструменты на складе. Выдают инструменты n кладовщиков. Поток рабочих на склад простейший с интенсивностью λ рабочих в минуту. Время обслуживания распределено по показательному закону, среднее время выдачи инструмента составляет t (в минутах). Очередь не ограничена. Исходные данные приведены в таблице.

1.Описать состояния системы, построить граф состояний.

2.Найти вероятности состояний СМО для стационарного случая и показатели эффективности работы склада. Проанализировать эти показатели. Найти вероятность простоя СМО и процент рабочих, обслуженных без очереди.

3.Найти функциональную зависимость длины очереди от ин-

тенсивности потока рабочих r0 = j(l) и от времени обслуживания r0 = j(t ). Зависимости представить в виде таблиц и графиков.

4.На завод поступил срочный заказ. Интенсивность потока рабочих увеличилась в 1,5 раза. Сколько кладовщиков необходимо взять дополнительно, чтобы рабочие долго не простаивали у склада?

5.Определить оптимальное число кладовщиков, используя

стоимостную функцию c(n) = c1 Чn +c2 Чr0 +c3 Чkсв , где kсв = n - k — среднее число простаивающих кладовщиков. Известно, что c1 = 120

усл. ед. — стоимость работы дополнительного кладовщика в единицу времени; c2 = 80 усл. ед. — цена ожидания в очереди рабочего в единицу времени; c3 = 40 усл. ед. — стоимость потерь от простоя одного кладовщика в единицу времени.

6. Если в СМО ограничить очередь, сколько нужно оставить мест, чтобы среднее число рабочих в очереди уменьшилось приблизительно в два раза?

78

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

Вариант 9

На пункт очистки и подготовки порожняка прибывает простейший поток составов с интенсивностью λ составов в час. Время очистки состава распределено по показательному закону, среднее время составляет t (в часах). Пункт имеет n мест очистки. Очередь не ограничена.

Исходные данные приведены в таблице.

1.Описать состояния системы, построить граф состояний.

2.Найти вероятности состояний СМО для стационарного случая и показатели эффективности работы пункта очистки. Проанализировать эти показатели. Найти вероятность простоя СМО

ипроцент составов, обслуженных без очереди.

3.Найти функциональную зависимость средней длины очере-

ди от интенсивности входного потока составов r0 = j(l) и от среднего времени очистки состава r0 = j(t ). Зависимости представить в виде таблиц и графиков.

4.Определить оптимальное число мест очистки порожняка,

используя стоимостную функцию c(n) = c1 Чn +c2 Чr0 +c3 Чkсв , где kсв = n - k — среднее число простаивающих мест очистки. Известно, что организация нового места очистки требует c1 = 100 усл. ед. в единицу времени. Потери от ожидания очистки одним составом

в единицу времени составляют c2 = 150 усл. ед. Потери от простоя канала в единицу времени c3 = 50 усл. ед. Функция должна иметь наименьшее значение.

5.В летние месяцы интенсивность потока составов увеличивается в 1,5 раза. Сколько необходимо мест очистки для бесперебойной работы пункта?

6.Если в СМО ограничить очередь, сколько нужно оставить мест, чтобы среднее число составов в очереди уменьшилось приблизительно в два раза?

79

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

Вариант 10

На прирельсовый склад общего пользования поступает простейший поток грузов с интенсивностью λ партий в минуту. Формирование партий грузов производится с помощью n погрузчиков. Время обслуживания распределено по показательному закону. Среднее время обслуживания одной партии грузов составляет t (в минутах). Очередь не ограничена.

Исходные данные приведены в таблице.

1.Описать состояния системы, построить граф состояний.

2.Найти вероятности состояний СМО для стационарного случая и показатели эффективности работы склада. Проанализировать эти показатели. Найти вероятность простоя СМО и процент партий груза, обслуженных без очереди.

3.Найти функциональную зависимость средней длины очере-

ди от интенсивности входного потока грузов r0 = j(l) и от среднего времени обслуживания r0 = j(t ). Зависимости представить

ввиде таблиц и графиков.

4.Интенсивность потока груза увеличилась в 2 раза. Сколько необходимо автопогрузчиков для своевременной разгрузки?

5.Найти оптимальное число автопогрузчиков, чтобы стоимост-

ная функция c(n) = c1 Чn +c2 Чr0 +c3 Чkсв имела наименьшее значение, где kсв = n - k — среднее число простаивающих автопогрузчиков. Известно, что c1 = 200 усл. ед. — стоимость работы дополнительного автопогрузчика в единицу времени; c2 = 120 усл. ед. — стоимость ожидания формирования одной партии груза в единицу вре-

мени; c3 = 60 усл. ед. — стоимость потери от простоя одного автопогрузчика в единицу времени.

6.Если в СМО ограничить очередь, сколько нужно оставить мест, чтобы среднее число партий грузов в очереди уменьшилось приблизительно в два раза?

80