Марковские случайные процессы в моделировании систем. Учебно-методическое пособие

7. ПОК А ЗАТЕ ЛИ ЭФФЕКТИВНОС ТИ СИС ТЕМ МАССОВОГО ОБС ЛУ ЖИВАНИЯ

tсист — среднее время пребывания заявки в СМО, как в очереди, если она есть, так и в момент обслуживания. Определяется по фор-

для ограниченной очереди.

На основе показателей эффективности работы СМО определяются экономические характеристики в виде стоимостных моделей. В этих моделях исследуются прибыль, получаемая за счет предоставления услуг, и потери прибыли, обусловленные задержками в предоставлении услуг.

Увеличение функциональной мощности обслуживающей системы приводит к сокращению времени пребывания заявки в очереди и более быстрому ее обслуживанию. При этом возрастают доходы за счет быстрого обслуживания, но и растут расходы на обслуживание СМО. Оптимальным уровнем обслуживания будет тот, при котором стоимостный показатель, оценивающий доход предприятия, будет наибольшим, либо показатель, отвечающий за потери прибыли, будет наименьшим.

Примеры стоимостных показателей будут рассмотрены в примерах различных моделей СМО.

31

8.МНОГОКАНАЛЬНАЯ СМО

СОТКАЗАМИ (ЗАДАЧА ЭРЛАНГА)

Задача Эрланга хронологически является одной из первых, классических задач массового обслуживания. Возникла она из нужд телефонии и была решена датским математиком Эрлангом.

Пусть в СМО с n каналами обслуживания поступает простейший поток заявок с интенсивностью l. Время обслуживания распределено по показательному закону, и известно среднее время обслуживания t . Если все каналы заняты обслуживанием заявок, то вновь поступающая заявка получает отказ в обслуживании и покидает СМО.

Опишем состояния системы по числу заявок в СМО. S0 — в СМО нет заявок, все каналы свободны,

S1 — в СМО одна заявка обслуживается,

S2 — в СМО две заявки обслуживаются,

…

Sn — в СМО n заявок обслуживаются, все каналы заняты. Размеченный граф состояний СМО с отказами имеет вид, изо-

браженный на рис. 9.

Рис. 9

32

8. МНОГОК АНА ЛЬНА Я СМО С ОТК А ЗАМИ (ЗА Д АЧА ЭРЛАНГА)

Здесь m = 1 . Заметим, что интенсивность обслуживания всей t

СМО кратна числу работающих каналов.

Найдем предельные вероятности состояний СМО. По виду графа определяем, что случайный процесс в СМО есть процесс гибели и размножения. Значит, для расчета предельных вероятностей воспользуемся соответствующими формулами. Имеем

Для удобства чтений формул следует ввести параметр r = l, ко- m

торый называют коэффициентом загрузки системы. Тогда формулы для предельных вероятностей примут вид:

Показатели эффективности определяем по известным формулам. Вероятность отказа Pотк = pn, относительная пропускная способность Q = 1 – Pотк, абсолютная пропускная способность A = Q·l,

среднее число занятых каналов k = A . m

Пример 4. На автоматическую телефонную станцию (АТС) с пятью линиями связи поступает простейший поток заявок интенсивностью l = 0,7 заявки в минуту. Среднее время обслуживания одной заявки 3,4 минуты. Если заявка приходит в момент, когда все каналы заняты, то она получает отказ в обслуживании.

1. Описать состояния СМО, построить ее граф.

33

8.МНОГОК АНА ЛЬНА Я СМО С ОТК А ЗАМИ (ЗА Д АЧА ЭРЛАНГА)

2.Найти предельные вероятности состояний и характеристики эффективности работы АТС. Оценить ее работу.

3.Найти зависимость среднего числа занятых каналов и пропускной способности АТС от интенсивности входного потока, сделать выводы.

4.Сколько потребуется каналов для того, чтобы удовлетворить не менее 99 % поступающих заявок?

5.Содержание каждого канала в течение месяца обходится в 10 тысяч условных единиц (усл. ед.). Каждая обслуженная заявка приносит доход в 1,5 усл. ед. Определить рентабельность АТС. Найти оптимальное число каналов, при котором прибыль АТС будет максимальным (или дефицит минимальным).

Решение

1.Опишем состояния СМО:

S0 — в системе все каналы свободны,

S1 — одна заявка обслуживается, 4 канала свободны, S2 — две заявки обслуживаются, 3 канала свободны, S3 — три заявки обслуживаются, 2 канала свободны, S4 — четыре заявки обслуживаются, 1 канал свободен, S5 — пять заявок обслуживаются, все каналы заняты.

Размеченный граф рассматриваемой системы массового обслуживания имеет вид (рис. 10):

Рис. 10

Здесь m = 1 = 1 = 0,294 заявки в минуту.

t3,4

34

8. МНОГОК АНА ЛЬНА Я СМО С ОТК А ЗАМИ (ЗА Д АЧА ЭРЛАНГА)

p3 = 0,215, p4 = 0,128, p5 = 0,061.

Как видно, АТС простаивает в 9,6 % случаях.

Находим показатели эффективности СМО. Вероятность отказа 0,061. Это значит, что в нашей АТС 6,1 % абонентов получают отказ. Относительная пропускная способность Q = 1 – Pотк = 0,939, абсолютная пропускная способность A = Q · l = 0,657 заявки в ми-

нуту, среднее число занятых каналов k = A = 2,235. Загруженность m

АТС: k Ч100% = 45%. n

3. Рассмотрим зависимости k = k (l) и A = A(l). Меняя параметр

l и оставляя неизменными остальные вводные данные n, t , проводим расчет, как меняются среднее число занятых каналов и абсолютная пропускная способность. Расчеты представлены в таблицах:

Графически зависимости представлены на рис. 11:

Обе рассматриваемые величины с ростом интенсивности входного потока возрастают, стремясь к некоторым предельным значениям. Среднее число занятых каналов стремится к числу каналов в СМО (n = 5), а пропускная способность стремится к некоторой

35

8. МНОГОК АНА ЛЬНА Я СМО С ОТК А ЗАМИ (ЗА Д АЧА ЭРЛАНГА)

величине около 1,47, больше которой при данном числе каналов и среднем времени обслуживания АТС пропускать не может. Отметим, что фактически при больших l СМО не работает из-за неприемлемых значений Pотк.

4. Теперь будем увеличивать параметр n (число каналов), оставляя другие неизменными, для получения условия Pотк Ј 0,01. Получим таблицу значений:

Следовательно, для того чтобы Pотк Ј 0,01, достаточно использовать 7 каналов.

5. Для исследования рентабельности АТС определим доход от обслуживания заявок. В среднем в минуту обслуживается A = 0,657 заявок, следовательно, прибыль за одну минуту будет 0,657 · 1,5 = 0,99 усл. ед. Тогда доход за месяц D = 0,99 · 60 · 24 · 30 =

=42 573,6 усл. ед. Вычисляем расходы АТС в связи с обслуживанием пяти каналов: R = 5 · 10 000 = 50 000 усл. ед. Следовательно, автоматическая телефонная станция не рентабельна, так как S = 42 573,6 – 50 000 = –7426,4 усл. ед.

Для нахождения оптимального числа каналов увеличим число линий связи АТС до шести и посчитаем абсолютную пропускную способность: A = 0,683 заявки в минуту, тогда доход предприятия за месяц будет D = 0,683 · 1,5 · 60 · 24 · 30 = 44 258,4 усл. ед. С учетом шести работающих каналов получаем дефицит S = 44258,4 – 60000 =

=–15741,6 усл. ед. Как видно, финансовая составляющая предприятия ухудшилась. Попробуем уменьшить число линий связи. Получим следующие расчетные данные, которые занесены в таблицу

Как видно из расчетов, оптимальное число каналов, при котором прибыль АТС будет максимальной, равно двум.

36

9.ОДНОКАНАЛЬНАЯ СМО

СНЕОГРАНИЧЕННОЙ ОЧЕРЕДЬЮ

Пусть в СМО с одним каналом обслуживания поступает простейший поток заявок с интенсивностью l. Время обслуживания распределено по показательному закону, и известно среднее время обслуживания t . Если канал занят, то поступающие заявки становятся в очередь. Число мест в очереди неограниченно.

Опишем состояния системы по числу заявок в СМО. S0 — в СМО нет заявок, канал свободен,

S1 — в СМО одна заявка обслуживается,

S2 — в СМО одна заявка обслуживается, одна находится в очереди,

S3 — в СМО одна заявка обслуживается, две находятся в очереди,

…

Sn + 1 — в СМО одна заявка обслуживается, n заявок находятся в очереди,

…

Теоретически число состояний неограниченно, но счетно. Размеченный граф состояний имеет вид (рис. 12), где m = 1 .

Рис. 12

37

9. ОДНОК АНА ЛЬНА Я СМО С НЕОГ РАНИЧЕННОЙ ОЧЕРЕ ДЬЮ

Найдем предельные вероятности состояний СМО для бесконечного числа состояний. Имеем

Исследуем значение p0. Выражение (1 + r + r2 +…+ rn +…) представляет собой бесконечную геометрическую прогрессию. Если

r < 1, то прогрессия имеет конечную сумму 1 , тогда p0 = 1 – r,

1 -r

и определяются все остальные предельные вероятности. Если r і 1, то прогрессия возрастает, сумма ее бесконечна. Следовательно, все предельные вероятности равны нулю. Практически обосновать это можно тем, что СМО не справляется с интенсивностью поступающих заявок, начинает скапливаться очередь, и с течением времени вероятности всех состояний стремятся к нулю, а очередь растет неограниченно. В этом случае считается, что СМО не работает, и дальнейшие расчеты не проводятся.

Значит, условием работы СМО будет неравенство r < 1 или l < m, т. е. интенсивность обслуживания заявок больше интенсивности поступления заявок.

Пусть выполняется условие r < 1. В результате предельные вероятности примут вид:

p0 = (1 – r), p1 = rp0, p2 = r2p0,…, pn = rnp0,…

38

9. ОДНОК АНА ЛЬНА Я СМО С НЕОГ РАНИЧЕННОЙ ОЧЕРЕ ДЬЮ

Показатели эффективности определяем по известным формулам. Вероятность отказа Pотк = 0, так как СМО справится со всеми заявками в силу записанного выше условия. Следовательно, относительная пропускная способность Q = 1, абсолютная пропуск-

ная способность A = l. Среднее число занятых каналов k = A = r m

играет в этой задаче формальную роль для вычисления среднего числа заявок в СМО.

Рассматривая дискретную случайную величину — число заявок в очереди — и вычисляя ее математическое ожидание, можно опре-

Окончательно находим среднее число заявок в СМО и среднее

Пример 5. На железнодорожную сортировочную горку прибывают составы с интенсивностью l = 2 состава в час. Среднее время, в течение которого горка обрабатывает состав, равно 24 минуты. Если состав приходит в момент, когда горка занята, то становится в очередь в парк прибытия, где есть три запасных пути для трех составов, или становится на внешний путь, если и парк занят.

1.Описать состояния СМО, построить ее граф.

2.Найти предельные вероятности состояний и характеристики эффективности работы сортировочной горки. Оценить ее работу. Найти вероятность попадания состава на внешний путь.

3.Найти зависимости длины очереди от интенсивности поступающих составов и от времени обработки состава.

4.Если интенсивность входящего потока увеличится в полтора раза, как будет работать СМО?

5.Рассмотрим экономический показатель СМО. Пусть скорость обслуживания m поддается регулированию. Найдем оптимальное значение скорости обслуживания, при котором стои-

мостный показатель c(m) = c1 Чm + c2 Ч zсист будет наименьшим. Здесь c1 = 50 усл. ед. — затраты на увеличение m на единицу за единицу времени, c2 = 100 усл. ед. — цена ожидания одного состава в единицу времени.

39

9. ОДНОК АНА ЛЬНА Я СМО С НЕОГ РАНИЧЕННОЙ ОЧЕРЕ ДЬЮ

Решение

1. Опишем состояния системы. S0 — на горке нет составов,

S1 — один состав обслуживается на горке,

S2 — один состав обслуживается на горке, один находится в парке прибытия,

S3 — один состав обслуживается на горке, два — в парке прибытия,

S4 — один состав обслуживается на горке, три — в парке прибытия,

S5 — один состав обслуживается на горке, три — в парке прибытия, один — на внешних путях,

S6 — один состав обслуживается на горке, три — в парке прибытия, два — на внешних путях,

…

Граф состояний аналогичен теории. Переводим в единую систему отсчета по времени параметры: t = 24 минуты = 0,4 часа.

Тогда m = 1 = 2,5 составов в час. t

2. Находим коэффициент загрузки СМО: r = 0,8. Проверяем условие работы СМО r = 0,8 < 1, значит, СМО работает.

Определяем предельные вероятности:

p0 = 1 – r = 0,2, p1 = r · p0 = 0,16, p2 = r2p0 = 0,128, …

Как видно, горка простаивает в 20 % случаях. Найдем вероятность P * того, что состав попадет на внешний путь.

P * = p4 + p5 + p6 + … = p0r4 + p0r5 + p0r6 + … =

= p0r4 (1 +r +r2 +…) = r4 (1 -r) = r4 = 0,410.

1 -r

Можно найти иначе: P* = 1 – (p0 + p1 + p2 + p3) = 0,410. Таким образом, в 41% случаев состав попадает на внешний путь.

Находим показатели эффективности СМО. Вероятность отказа Pотк = 0, относительная пропускная способность Q = 1, абсолютная пропускная способность A = l = 2 состава в час, среднее число занятых каналов k = 0,2.

40