Марковские случайные процессы в моделировании систем. Учебно-методическое пособие

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

Вариант 21

На автомойку поступает простейший поток машин с интенсивностью λ машин в час. Время мытья автомашины распределено по показательному закону, среднее время обслуживания одной машины составляет t (в минутах). Автомойка имеет n моечных мест. Очередь не ограничена. Исходные данные приведены в таблице.

1.Описать состояния системы, построить граф состояний.

2.Найти вероятности состояний СМО для стационарного случая и показатели эффективности работы автомойки. Проанализировать эти показатели. Найти вероятность простоя СМО и процент машин, обслуженных без очереди.

3.Найти функциональную зависимость средней длины очере-

ди от интенсивности входного потока машин r0 = j(l) и от среднего времени обслуживания r0 = j(t ). Зависимости представить

ввиде таблиц и графиков.

4.Найти оптимальное число моечных мест, используя сто-

имостную функцию c(n) = c1 Чn +c2 Чzсист . Известно, что c1 = 100 усл. ед. — стоимость работы дополнительного места в единицу вре-

мени; c2 = 150 усл. ед. — стоимостные потери при нахождении машины на мойке в единицу времени.

5.В осенний период интенсивность потока машин на мойку увеличилась в 2 раза. Сколько необходимо моечных мест для своевременного обслуживания машин?

6.Если в СМО ограничить очередь, сколько нужно оставить мест, чтобы среднее число машин в очереди уменьшилось приблизительно в два раза?

91

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

Вариант 22

СМО представляет собой автозаправочную станцию (АЗС) с n колонками. Площадка возле АЗС позволяет ожидание в очереди не более 4 автомашин. Если вся площадка занята, то следующий автомобиль не обслуживается. Поток автомашин на заправку простейший с интенсивностью λ автомашин в минуту. Время заправки распределено по показательному закону, среднее время обслуживания одной автомашины составляет t (в минутах).

Исходные данные приведены в таблице.

1.Описать состояния системы, построить граф состояний.

2.Найти вероятности состояний СМО для стационарного случая и показатели эффективности работы АЗС. Проанализировать эти показатели. Найти вероятность простоя СМО и процент машин, обслуженных без очереди.

3.Найти функциональную зависимость средней длины очереди

от интенсивности входного потока автомашин r0 = j(l) и от среднего времени обслуживания r0 = j(t ). Зависимости представить

ввиде таблиц и графиков.

4.В условиях конкуренции нужно, чтобы отказ от обслуживания получили не более пяти процентов автомашин, нуждающихся в заправке. Проверить, удовлетворяет ли АЗС этому условию. Если нет, то найти число колонок, при котором это условие будет выполняться.

5.Ремонт на трассе увеличил интенсивность машин на заправку в два раза. Сколько колонок нужно задействовать на АЗС, чтобы вероятность отказа возросла не более чем в полтора раза?

6.Найти оптимальное число колонок АЗС, используя стоимост-

ную функцию c(n) = c1 Чn +c2 Чr0 +c3 Чkсв , где kсв = n - k – среднее число простаивающих колонок. Известно, что c1 = 200 усл. ед. —

стоимость установки одной колонки в единицу времени; c2 = 100 усл. ед. – цена ожидания заправки одной автомашиной в единицу времени; c3 = 30 усл. ед. – стоимость потерь от простоя одной колонки в единицу времени.

92

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

Вариант 23

В поликлинике работают n терапевтов. Каждый будний день на прием записывается посетители с интенсивностью λ человек в минуту. Время обслуживания распределено по показательному закону, среднее время работы врача с пациентом составляет t (в минутах). Очередь не ограничена. Исходные данные приведены в таблице.

1.Описать состояния системы, построить граф состояний.

2.Найти вероятности состояний СМО для стационарного случая и показатели эффективности работы терапевтов. Проанализировать эти показатели. Найти вероятность простоя СМО и процент пациентов, обслуженных без очереди.

3.Найти функциональную зависимость средней длины очере-

ди от интенсивности входного потока больных r0 = j(l) и от среднего времени обслуживания r0 = j(t ). Зависимости представить

ввиде таблиц и графиков.

4.Летом интенсивность пациентов уменьшается в полтора раза. Можно ли одному из терапевтов уйти в отпуск?

5.Найти оптимальное число терапевтов, используя стоимост-

ную функцию c(n) = c1 Чn +c2 Чr0 +c3 Чkсв , где kсв = n - k — среднее число простаивающих специалистов. Известно, что c1 = 350

усл. ед. — стоимость работы дополнительного терапевта в единицу времени; c2 = 110 усл. ед. — цена ожидания в очереди больного в единицу времени; c3 = 60 усл. ед. — стоимость потерь от простоя одного врача в единицу времени.

6. Если в СМО ограничить очередь, сколько нужно оставить мест, чтобы среднее число больных в очереди уменьшилось приблизительно в два раза?

93

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

Вариант 24

В грузовой речной порт с тремя кранами круглосуточно прибывают λ сухогрузов в сутки. Поток простейший. Время разгрузки распределено по показательному закону, среднее время составляет t (в часах). Очередь не ограничена. Исходные данные приведены в таблице.

1.Описать состояния системы, построить граф состояний.

2.Найти вероятности состояний СМО для стационарного случая и показатели эффективности работы речного порта. Проанализировать эти показатели. Найти вероятность простоя СМО и процент сухогрузов, обслуженных без очереди.

3.Найти функциональную зависимость средней длины очереди

от интенсивности входного потока сухогрузов r0 = j(l) и от среднего времени разгрузки r0 = j(t ). Зависимости представить в виде таблиц и графиков.

4.Найти оптимальное число кранов в речном порту, используя

стоимостную функцию c(n) = c1 Чn +c2 Чzсист . Известно, что c1 = 250 усл. ед. — стоимость работы дополнительного крана в единицу вре-

мени; c2 = 500 усл. ед. — стоимостные потери при нахождении сухогруза в порту в единицу времени.

5.Из-за кризиса интенсивность сухогрузов уменьшилась в полтора раза. Можно ли беспроблемно начать ремонт одного крана?

6.Если в СМО ограничить очередь, сколько нужно оставить мест, чтобы среднее число сухогрузов в очереди уменьшилось приблизительно в два раза?

94

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

Вариант 25

Магазин получает ранние овощи из пригородных теплиц. Автомобили с грузом прибывают в разное время с интенсивностью λ машин в час. Подсобные помещения позволяют хранить товар, привезенный с m автомобилей, иначе автомашина с товаром уезжает в другой магазин. В магазине работают четыре фасовщицы, каждая из которых обрабатывает товар с одной машины в среднем в течении t (в минутах). Исходные данные приведены в таблице.

1.Описать состояния системы, построить граф состояний.

2.Найти вероятности состояний СМО для стационарного случая и показатели эффективности работы магазина. Проанализировать эти показатели. Найти вероятность простоя СМО и процент автомобилей, обслуженных без очереди.

3.Найти функциональную зависимость средней длины очере-

ди от интенсивности входного потока автомобилей r0 = j(l) и от среднего времени обслуживания r0 = j(t ). Зависимости представить в виде таблиц и графиков.

4.Найти оптимальное число фасовщиц, используя стоимост-

ную функцию c(n) = c1 Чn +c2 Чr0 +c3 Чkсв , где kсв = n - k — среднее число простаивающих фасовщиц. Известно, что c1 = 100 усл. ед. —

стоимость работы дополнительного работника в единицу времени; c2 = 300 усл. ед. — цена ожидания в очереди машины в единицу времени; c3 = 50 усл. ед. — стоимость потерь от простоя одного работника в единицу времени.

5.В условиях конкуренции нужно, чтобы отказ от обслуживания получили не более двух процентов пришедших с грузом машин. Проверить, удовлетворяет ли СМО этому условию. Если нет, то найти число мест для хранения овощей, при котором это условие будет выполняться.

6.В связи с увеличением потока автомашин в два раза и расширением площадей число мест на складе стало неограниченным. Сколько фасовщиц необходимо организовать на работу для бесперебойной поставки продукции на прилавки?

95

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

Вариант 26

Механическая мастерская с тремя постами выполняет ремонт малой механизации. В мастерскую поступает простейший поток заявок на ремонт с интенсивностью λ заявок в час. Время обслуживания распределено по показательному закону и составляет в среднем t (в минутах). Очередь не ограничена. Исходные данные приведены в таблице.

1.Описать состояния системы, построить граф состояний.

2.Найти вероятности состояний СМО для стационарного случая и показатели эффективности работы мастерской. Проанализировать эти показатели. Найти вероятность простоя СМО и процент заявок, обслуженных без очереди.

3.Найти функциональную зависимость длины очереди от ин-

тенсивности потока заявок r0 = j(l) и от времени обслуживания r0 = j(t ). Зависимости представить в виде таблиц и графиков.

4.В период уборочной кампании интенсивность потока техники увеличилась в 2 раза. Сколько необходимо постов в мастерской для своевременного обслуживания техники?

5.Найти оптимальное число постов в мастерской, используя

стоимостную функцию c(n) = c1 Чn +c2 Чzсист . Известно, что c1 = 250 усл. ед. — стоимость работы дополнительного поста в единицу вре-

мени; c2 = 150 усл. ед. — стоимостные потери при нахождении заявки в ремонте в единицу времени.

6. Если в СМО ограничить очередь, сколько нужно оставить мест, чтобы среднее число заявок в очереди уменьшилось приблизительно в два раза?

96

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

Вариант 27

В банке в отделе по работе с физическими лицами работают n специалистов. Поток клиентов простейший с интенсивностью λ клиентов в час. Время обслуживания распределено по показательному закону со средним временем t (в минутах). Очередь не ограничена.

Исходные данные приведены в таблице.

1.Описать состояния системы, построить граф состояний.

2.Найти вероятности состояний СМО для стационарного случая и показатели эффективности работы отдела. Проанализировать эти показатели. Найти вероятность простоя отдела и процент клиентов, обслуженных без очереди.

3.Найти функциональную зависимость числа клиентов в оче-

реди от интенсивности входного потока r0 = j(l) и от среднего времени обслуживания r0 = j(t ). Зависимости представить в виде таблиц и графиков.

4.Найти оптимальное число специалистов, используя стоимост-

ную функцию c(n) = c1 Чn +c2 Чr0 +c3 Чkсв , где kсв = n - k — среднее число простаивающих специалистов. Известно, что c1 = 100 усл.

ед. — стоимость работы дополнительного специалиста в единицу времени; c2 = 150 усл. ед. — цена ожидания в очереди клиента в единицу времени; c3 = 50 усл. ед. — стоимость потерь от простоя одного кассира в единицу времени.

5.В результате оптимизации подразделений банка интенсивность клиентов увеличилась в полтора раза. Сколько необходимо специалистов, чтобы отдел работал без перебоев?

6.Если в СМО ограничить очередь, сколько нужно оставить мест, чтобы среднее число клиентов в очереди уменьшилось приблизительно в два раза?

97

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

Вариант 28

В МакДональдс работают n кассиров. Поток людей, желающих поесть вредную пищу, простейший с интенсивностью λ желающих в час. Время обслуживания распределено по показательному закону со средним временем t (в минутах). Очередь не ограничена.

Исходные данные приведены в таблице.

1.Описать состояния системы, построить граф состояний.

2.Найти вероятности состояний СМО для стационарного случая и показатели эффективности работы МакДональдс. Проанализировать эти показатели. Найти вероятность простоя МакДональдс и процент посетителей, обслуженных без очереди.

3.Найти функциональную зависимость средней длины очере-

ди от интенсивности входного потока посетителей r0 = j(l) и от среднего времени обслуживания r0 = j(t ). Зависимости представить в виде таблиц и графиков.

4.Найти оптимальное число кассиров, используя стоимостную

функцию c(n) = c1 Чn +c2 Чzсист . Известно, что c1 = 100 усл. ед. — стоимость работы дополнительного кассира в единицу времени; c2 = 70

усл. ед. — цена нахождения посетителя в МакДональдс в единицу времени.

5.В выходные дни интенсивность потока посетителей увеличивается втрое. Найти число кассиров, при котором МакДональдс бесперебойно обеспечит питанием всех желающих.

6.Если в СМО ограничить очередь, сколько нужно оставить мест, чтобы среднее число посетителей в очереди уменьшилось приблизительно в два раза?

98

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

Вариант 29

Сервис-центр по ремонту бытовой техники имеет n опытных мастеров одной квалификации. В среднем в течение часа от населения поступает в ремонт λ аппаратов в час. Входной поток заявок простейший. Время ремонта одного аппарата одним мастером распределено по показательному закону со средним временем t (в часах). Очередь не ограничена.

Исходные данные приведены в таблице.

1.Описать состояния системы, построить граф состояний.

2.Найти вероятности состояний СМО для стационарного случая и показатели эффективности работы сервис-центра. Проанализировать эти показатели. Найти вероятность простоя СМО

ипроцент аппаратов бытовой техники, обслуженных без очереди.

3.Найти функциональную зависимость средней длины очереди от интенсивности входного потока заявок на ремонт r0 = j(l)

иот среднего времени обслуживания r0 = j(t ). Зависимости представить в виде таблиц и графиков.

4.В результате закрытия других сервисных центров интенсивность потока бытовой техники, отданных в ремонт в рассматриваемый сервис-центр, увеличилась в 2 раза. Сколько мастеров потребуется принять на работу, чтобы сервис-центр работал без перегрузки?

5.Найти оптимальное число мастеров сервис-центра, используя

стоимостную функцию c(n) = c1 Чn +c2 Чzсист . Известно, что c1 = 100 усл. ед. — стоимость одного часа работы дополнительного масте-

ра; c2 = 200 усл. ед. — стоимость простоя техники в сервис-центре

втечение одного часа.

6.Если в СМО ограничить очередь, сколько нужно оставить мест, чтобы среднее число заявок в очереди уменьшилось приблизительно в два раза?

99

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

Вариант 30

Вычислительный центр с тремя взаимозаменящимися компьютерами предназначен для решения трех задач. Другие поступающие задачи могут храниться в буфере (максимум m) и выполняться по мере освобождения компьютеров. Входной поток задач простейший с интенсивностью λ задач в минуту. Время обработки задачи распределено по показательному закону со средним значением t (в секундах).

Исходные данные приведены в таблице.

1.Описать состояния системы, построить граф состояний.

2.Найти вероятности состояний СМО для стационарного случая и показатели эффективности работы вычислительного центра. Проанализировать эти показатели. Найти вероятность простоя СМО и процент задач, обслуженных без очереди.

3.Найти функциональную зависимость средней длины очере-

ди от интенсивности входного потока r0 = j(l) и от среднего времени обслуживания r0 = j(t ). Зависимость представити в виде таблиц и графиков.

4.Найти оптимальное число компьютеров, используя стои-

мостную функцию c(n) = c1 Чn +c2 Чr0 +c3 Чkсв , где kсв = n - k — среднее число простаивающих компьютеров. Известно, что c1 = 100

усл. ед. — затраты на введение в работу одного компьютера, отнесенные к единице времени; c2 = 300 усл. ед. — потери от ожидания задачи в буфере в течение единицы времени; c3 = 50 усл. ед. — стоимость потерь от простоя компьютера в течение единицы времени.

5.Выполнение срочного заказа увеличило интенсивность входного потока задач в три раза. Сколько компьютеров нужно задействовать в вычислительном центре, чтобы вероятность отказа возросла не более чем в два раза?

6.При подключении дополнительных информационных ресурсов размер буфера стал неограниченным. Сколько компьютеров необходимо подключить к работе для своевременной обработки поступающих задач?

100