Марковские случайные процессы в моделировании систем. Учебно-методическое пособие

9. ОДНОК АНА ЛЬНА Я СМО С НЕОГ РАНИЧЕННОЙ ОЧЕРЕ ДЬЮ

Показатели, связанные с очередью, будут следующими: сред-

ожидания состава в очереди t0 = r0 =1,6 часа, среднее число соста- l

вов в СМО zсист = k + r0 = 4 состава, среднее время нахождения со-

става в СМО tсист = zсист = 2 часа. l

3. Рассмотрим зависимости r0 = r0 (l) и r0 = r0 (t ). Меняя параметр l в первом случае и параметр t во второй зависимости, получаем значения длины очереди. Но так как очередь в СМО неограниченна, возможно наступление момента, при котором СМО перестает работать. Найдем эти значения из условия r = 1. Для первой зависимости r0 = r0 (l) критическое значение интенсивно-

lкрит

m

чаем lкрит = m = 2,5 состава в час. Меняя интенсивность l в диапазоне от 2 до 2,5, получаем следующий расчет

Графически зависимость представлена на рис. 13.

41

9. ОДНОК АНА ЛЬНА Я СМО С НЕОГ РАНИЧЕННОЙ ОЧЕРЕ ДЬЮ

Аналогично действуем во второй зависимости r0 = r0 (t ). Критическое значение среднего времени обслуживания составов на-

часа. Меняя время t в диапазоне от 0,4 до 0,5, получаем следующий расчет

4. Увеличивая интенсивность входящего потока в полтора раза, получаем l1 = 3 состава в час. Проверим условие работы СМО:

r = l1 =1,2 >1, следовательно, горка не будет справляться с пото- m

ком составов, значит, СМО не работает.

ция c(m) принимает при m, найденном из уравнения сў(m) = 0.

42

10.МНОГОКАНАЛЬНАЯ СМО

СНЕОГРАНИЧЕННОЙ ОЧЕРЕДЬЮ

Пусть в СМО с n каналами обслуживания поступает простейший поток заявок с интенсивностью l. Время обслуживания распределено по показательному закону, известно среднее время обслуживания t . Если все каналы заняты обслуживанием заявок, то вновь поступившая заявка становится в очередь. Число мест в очереди неограниченно.

Опишем состояния системы по числу заявок в СМО. S0 — в СМО нет заявок, все каналы свободны,

S1 — в СМО одна заявка обслуживается,

S2 — в СМО две заявки обслуживаются,

…

Sn — в СМО n заявок обслуживаются,

Sn + 1 — в СМО n заявок обслуживаются, 1 заявка находится в очереди,

Sn + 2 — в СМО n заявок обслуживаются, 2 заявки находятся в очереди,

…

Теоретически число состояний неограниченно, но счетно. Раз-

меченный граф состояний имеет вид (рис. 15), где m = 1 .

Рис. 15

43

10. МНОГОК АНА ЛЬНА Я СМО С НЕОГ РАНИЧЕННОЙ ОЧЕРЕ ДЬЮ

Найдем предельные вероятности состояний СМО для бесконечного числа состояний. Имеем

Проводя аналогичные рассуждения, как и в случае с однока-

нальной СМО, существует также условие работы СМО: r <1 или n

l < n · m. При нарушении этого условия СМО не справляется с интенсивностью поступающих заявок, начинает скапливаться очередь, с течением времени вероятности всех состояний стремятся к нулю, а очередь растет неограниченно. В этом случае считается, что СМО не работает, дальнейшие расчеты не проводятся.

Пусть выполняется условие r <1. В результате предельные ве- n

роятности примут вид:

44

10. МНОГОК АНА ЛЬНА Я СМО С НЕОГ РАНИЧЕННОЙ ОЧЕРЕ ДЬЮ

Показатели эффективности определяем по известным формулам. Вероятность отказа Pотк = 0, так как СМО справится со всеми заявками в силу записанного выше условия. Следовательно, относительная пропускная способность Q = 1, абсолютная пропускная

способность A = l. Среднее число занятых каналов k = A = r играет m

вэтой модели важную роль, характеризуя загруженность системы. Рассматривая дискретную случайную величину (число заявок

вочереди) и вычисляя ее математическое ожидание, можно опре-

по формуле Литтла находится среднее время ожидания заявки

в очереди t0 = r0 . l

Окончательно находим среднее число заявок в СМО и сред-

нее время нахождения заявки в СМО: zсист = k + r0 и tсист = zсист . l

Пример 6. Ателье по ремонту аппаратуры имеет 5 опытных мастеров. В среднем в течение рабочего дня от населения поступает в ремонт 10 аппаратов. Общее число аппаратов, находящихся у населения, велико, и они выходят из строя независимо друг от друга. Все мастера имеет одинаковую квалификацию и в среднем могут отремонтировать 2,5 аппарата в день каждый. Если все мастера заняты ремонтом, то новые заявки становятся в очередь. Теоретически число мест неограниченно.

45

10.МНОГОК АНА ЛЬНА Я СМО С НЕОГ РАНИЧЕННОЙ ОЧЕРЕ ДЬЮ

1.Описать состояния СМО, построить ее граф.

2.Найти предельные вероятности состояний и показатели качества обслуживания в данном ателье. Найти процент заявок, которые будут обслужены без ожидания в очереди.

3.Найти зависимость длины очереди от интенсивности поступающих заявок на ремонт.

4.В связи с закрытием других ремонтных ателье в районе интенсивность заявок увеличилась в два раза. Сколько необходимо принять опытных мастеров в ателье, чтобы справиться с заказами?

5.Рассмотрим стоимостный показатель в виде с(n) = c1 · n + + c2 Чzсист (n), где n — число каналов, которое может меняться, c1 = 50 усл. ед. — затраты на работу одного дополнительного канала за единицу времени, c2 = 100 усл. ед. — цена ожидания одной заявки в единицу времени. Сколько необходимо мастеров в ателье, чтобы стоимостный показатель был минимальным?

Решение

1.Опишем состояния системы.

S0 — в ателье нет заявок, все мастера свободны, S1 — один аппарат ремонтируется,

S2 — два аппарата ремонтируются,

…

S5 — пять аппаратов ремонтируются, все мастера заняты,

S5+1 — пять аппаратов ремонтируются, один находится в очереди, S5+2 — пять аппаратов ремонтируются, два находятся в очереди,

…

Граф состояний ателье по ремонту аппаратуры имеет вид, представленный на рис. 16.

Рис. 16

2. Находим коэффициент загрузки СМО: r = 4. Проверяем условие работы r = 4 = 0,8 <1, значит, ателье работает.

n5

46

10. МНОГОК АНА ЛЬНА Я СМО С НЕОГ РАНИЧЕННОЙ ОЧЕРЕ ДЬЮ

Определяем предельные вероятности:

p0 = 0,013, p1 = 0,052, p2 = 0,104, …,

p5 = 0,111, p5 + 1 = 0,089, p5 + 2 = 0,071, …

Как видно, ателье простаивает редко (p0 = 0,013). Найдем вероятность P * того, что заявка, пришедшая в ателье, будет обслужена без ожидания в очереди.

P* = p0 + p1 + … + p4 = 0,447.

Таким образом, почти 45 % аппаратов поступят в ремонт без ожидания.

Находим показатели эффективности СМО. Вероятность отказа Pотк = 0, относительная пропускная способность Q = 1, абсолютная пропускная способность A = l = 10 аппаратов в день, среднее

число занятых каналов k = 4. Ателье загружено на 4 Ч100% = 80%.

5

Показатели, связанные с очередью будут следующими: среднее число заявок в очереди r0 = 2,216 аппарата, среднее время ожида-

ния в очереди t0 = r0 = 0,222 рабочего дня, среднее число заявок l

в ателье zсист = 6,216 аппаратов, среднее время нахождения заявки

в СМО tсист = zсист = 0,622 рабочего дня. l

3. Рассмотрим зависимость r0 = r0 (l). Меняя параметр l, получаем значения длины очереди. Но так как очередь в СМО неограниченна, возможно наступление момента, при котором СМО

перестает работать. Найдем это значение из условия r =1. Тогда n

критическое значение интенсивности входящего потока находится

из соотношения lкрит =1 . Получаем lкрит = n Чm =12,5 заявок в те- n Чm

чение рабочего дня. Меняя интенсивность l в диапазоне от 10 до 12,5, получаем следующий расчет.

47

10. МНОГОК АНА ЛЬНА Я СМО С НЕОГ РАНИЧЕННОЙ ОЧЕРЕ ДЬЮ

Графически зависимость представлена на рис. 17.

4. Увеличивая интенсивность входящего потока заявок в два раза, получаем l1 = 20 аппаратов в день. Находим новый коэффи-

циент загрузки системы: r1 = l1 = 8 . Тогда для выполнения усло- m

вия работы СМО необходимо n1 = 9 мастеров: r1 = 8 <1 . n1 9

5. Имеем стоимостный показатель c(n) = 50 Чn +100 Чzсист (n). Ателье работает минимум при пяти мастерах, так как r = 4.

Для n = 5 имеем c(5) = 50 · 5 + 100 · 6,216 = 871,6 усл. ед. Для n = 6 имеем c(6) = 50 · 6 + 100 · 4,57 = 757 усл. ед. Для n = 7 имеем c(7) = 50 · 7 + 100 · 4,18 = 768 усл. ед.

При дальнейшем увеличении числа мастеров стоимостный показатель будет расти неограниченно. Значит, оптимальное число мастеров будет шесть.

48

11.МНОГОКАНАЛЬНАЯ СМО

СОГРАНИЧЕННОЙ ОЧЕРЕДЬЮ

Пусть в СМО с n каналами обслуживания поступает простейший поток заявок с интенсивностью l. Время обслуживания распределено по показательному закону, известно среднее время обслуживания t . Если все каналы заняты обслуживанием заявок, то вновь поступившая заявка становится в очередь. Число мест в очереди ограниченно и равно m. Если все места в очереди заняты, то новые заявки получают отказ и покидают СМО необслуженными.

Опишем состояния системы по числу заявок в СМО. S0 — в СМО нет заявок, все каналы свободны,

S1 — в СМО одна заявка обслуживается,

S2 — в СМО две заявки обслуживаются,

…

Sn — в СМО n заявок обслуживаются,

Sn + 1 — в СМО n заявок обслуживаются, 1 заявка находится в очереди,

Sn + 2 — в СМО n заявок обслуживаются, 2 заявки находятся

вочереди,

…

Sn + m — в СМО n заявок обслуживаются, m заявок находятся

вочереди.

Больше состояний нет. Размеченный граф состояний имеет вид (рис. 18)

Рис. 18

49

11. МНОГОК АНА ЛЬНА Я СМО С ОГ РАНИЧЕСННОЙ ОЧЕРЕ ДЬЮ

Здесь m = 1 . t

Найдем предельные вероятности состояний СМО. Имеем

Так как очередь ограниченна, в выражении для вычисления p0 стоят конечные суммы. Таким образом, предельные вероятности вычисляются всегда, и нет никаких условий, ограничивающих ра-

боту СМО. Вводя параметр r = l, получаем m

Для вычисления вероятности p0 можно воспользоваться формулой, получаемой после преобразования суммы геометрической прогрессии в скобках

50