Марковские случайные процессы в моделировании систем. Учебно-методическое пособие

3. НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ С ЛУ ЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ…

t

Рис. 6

Задача 2 (для самостоятельного решения). В прибор входят два устройства А и В. Интенсивность отказа устройства А — l1 = 1, интенсивность отказа устройства В — l2 = 2. После выхода из строя устройство сразу начинают ремонтировать. Интенсивность ремонта устройства А — m1 = 2, устройства В — m2 = 3.

1.Описать состояния системы и составить граф состояний марковского процесса.

2.Записать дифференциальные уравнения вероятностей состояний системы.

3.Найти стационарное распределение и финальные вероятности.

4.Известно, что второе устройство более современно и имеет производительность вдвое больше, чем первое. Первое устройство приносит доход 5 условных единиц в единицу времени, а второе — 10 условных единиц. Вычислить доход, который приносят эти устройства.

21

4.ПРОЦЕСС ГИБЕЛИ

ИРАЗМНОЖЕНИЯ

Рассмотрим непрерывный марковский процесс с дискретными состояниями, в котором система может переходить за малый промежуток времени Dt только в соседние два состояния, и существуют крайние состояния. Граф этого процесса представлен на рис. 7.

Рис. 7

Такой случайный процесс называется процессом гибели и размножения, и этот термин заимствован из математической биологии, а также используется в других областях. Для таких моделей важно определить предельные вероятности состояний. Для этого найдем стационарное распределение.

По графу формируем матрицу интенсивностей переходов для (n + 1) состояний

22

4. ПРОЦЕСС Г ИБЕ ЛИ И РА ЗМНОЖЕНИЯ

Составляем систему алгебраических уравнений для нахождения стационарных вероятностей p0,…, pn:

l0 p0 = m1 p1;

(l1 +m1 )p1 = l0 p0 +m2 p2;

....................................

ln-1 pn-1 = mn pn .

Выразим из этой системы p1,…, pn через p0 и подставим в условие нормировки p0 + p1 +…+ pn = 1. После несложных преобразований получим окончательно

Эти формулы будут использоваться позже в моделях массового обслуживания. Отметим, что этот случайный процесс является регулярным, поэтому стационарные вероятности совпадают с предельными.

23

5.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

ИКЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Во многих областях производства и транспорта, информационного и бытового обслуживания, экономики и финансов важную роль играют системы, реализующие многократное выполнение однотипных задач для удовлетворения спроса. Подобные системы называют системами массового обслуживания. Примерами систем массового обслуживания (СМО) могут служить различные системы связи и компьютерные сети, погрузочно-разгрузоч- ные комплексы, логистические центры, автозаправочные и ремонтные станции, кассы и справочные бюро, больницы и парикмахерские и т. п.

Каждая СМО включает в свою структуру обслуживающие устройства, которые называют каналами обслуживания. Роль каналов могут играть кассиры и операторы, линии связи и процессоры, железнодорожные пути и бензоколонки, ремонтные бригады и краны, врачи и парикмахеры и т. п.

СМО предназначена для обслуживания заявок (или требований), поступающих в систему в случайные моменты времени. Обслуживание заявок также длится случайное время. После обслуживания канал освобождается и готов к приему следующей заявки. Случайный характер потока заявок и времени обслуживания приводит к неравномерной загрузке СМО: в некоторые промежутки времени на входе в СМО могут скапливаться необслуженные заявки (они становятся в очередь или покидают СМО необ-

24

5. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И К ЛАССИФИК АЦИЯ СИС ТЕМ…

служенными), в другие же периоды при свободных каналах заявок не будет, что приводит к простаиванию каналов СМО. Схематично СМО изображена на рис. 8.

Поток необслуженных заявок (покинувших очередь)

Рис. 8

Во всякой СМО можно выделить следующие основные элементы:

1)входящий поток заявок;

2)очередь;

3)каналы обслуживания;

4)выходящий поток обслуженных заявок.

Предметом изучения теории массового обслуживания являются СМО. Цель ТМО — выработка рекомендаций по рациональному построению СМО, рациональной организации их работы и регулирования потока заявок для обеспечения высокой эффективности функционирования СМО.

СМО делятся на типы по ряду признаков. По числу каналов СМО подразделяют на одноканальные (один канал обслуживания) и многоканальные. Здесь и далее будем полагать, что каждый канал одновременно может обслуживать только одну заявку, и каждая заявка обслуживается только одним каналом (если специально не оговорено).

По дисциплине обслуживания СМО подразделяют на СМО с отказами, СМО с неограниченной очередью и СМО с ограниченной очередью. В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает «отказ» и покидает СМО необслуженной. Для своего обслуживания она должна опять поступить на вход СМО. Примерами таких СМО являются автоматические телефонные станции (АТС).

25

5.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И К ЛАССИФИК АЦИЯ СИС ТЕМ…

ВСМО с неограниченной очередью заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, становится в очередь и ждет освобождения канала. Примеры таких СМО — кассы, операторы, банкоматы и т. д.

ВСМО с ограниченной очередью заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, становится в очередь, где число мест ограничено, и заявка тоже может получить «отказ». Примером может быть автозаправочная станция (АЗС) с ограниченной площадкой для ожидания. Ограничением очереди может служить и время ожидания заявки в очереди.

ВСМО с очередями применяются различные схемы обслуживания заявок. Обслуживание может быть упорядоченным, когда заявки обслуживаются в порядке их поступления, случайным, когда заявки обслуживаются в случайном порядке, с приоритетом, когда некоторые заявки поступают на обслуживание в первую очередь.

По ограничению потока заявок СМО делятся на замкнутые и открытые. В открытой СМО интенсивность поступающего в нее потока заявок не зависит от состояния самой СМО, так как круг «клиентов» (поступающих заявок) практически неограничен. Примерами таких СМО являются вокзальные кассы, метрополитен и т. д. В СМО замкнутого типа обслуживается ограниченный круг «клиентов», поэтому интенсивность потока заявок существенно зависит от состояния системы. Примеры — это различные ремонтные системы в автопарках, цехах и т. д.

По количеству этапов обслуживания СМО делятся на однофазные и многофазные. Если каналы СМО выполняют одинаковые операции обслуживания, то СМО однофазные. Если каналы расположены последовательно и выполняют разные операции, то СМО — многофазная. Далее будем рассматривать только однофазные СМО.

26

6. ПОТОКИ СОБЫТИЙ

Под потоком событий понимается последовательность однородных событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени (например, поток вызовов на АТС, поток автобусов, прибывающих на автовокзал). Поток характеризуется интенсивностью l — частотой появления событий, или средним числом событий, поступающим в СМО в единицу времени.

Определение 7. Поток событий назовем стационарным, если вероятность поступления некоторого числа заявок в СМО за время Dt зависит лишь от длины интервала Dt = (t + Dt) – t и не зависит от точки t отсчета этого интервала на оси времени Ot. Если выполнено условие стационарности, то интенсивность l постоянна. Это не означает, что фактическое число событий, появляющееся в единицу времени, постоянно (это свойственно регулярному потоку). Поток неизбежно имеет случайные сгущения и разрежения, но они не носят закономерного характера.

Определение 8. Поток событий назовем потоком без последействия, если для любых двух непересекающихся промежутков времени t1 и t2 число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попавших на другой. Это означает, что события, образующие поток, появляются независимо друг от друга. Например, поток пассажиров, входящих в метро, практически не имеет последействия.

Определение 9. Поток событий назовем ординарным, если вероятность появления за бесконечно малое время Dt более чем одной заявки пренебрежительно мала. Другими словами в ординарном потоке события появляются поодиночке, а не группами.

27

6. ПОТОКИ СОБЫТИЙ

Определение 10. Поток событий называется простейшим, если он одновременно стационарен, ординарен и не имеет последействия.

Для простейшего потока справедливы следующие утверждения. Утверждение 1. Для простейшего потока с интенсивностью l число событий, попадающих на любой фиксированный интервал времени, распределено по закону Пуассона. Это значит, что вероятность pi(t) наступления k событий за время t вычисляется по

формуле

pk (t ) = (lt )k e -lt , k !

т. е. вероятности pk(t) распределены по закону Пуассона с параметром lt. В связи с этим простейший поток часто называют пуассоновским потоком. В частности, вероятность того, что за время t не произойдет ни одного события, равна

p0(t) = e–lt.

Утверждение 2. Для простейшего потока с интенсивностью l интервал времени T между поступлениями двух последовательных заявок имеет показательное распределение с плотностью

f(t) = le–lt, (t > 0).

В ТМО предполагается (на основании наблюдений), что входящий поток и все потоки обслуживания простейшие. Для входящего потока интенсивность обозначим через l. Для определения интенсивности потоков обслуженных заявок рассматривается время обслуживания одной заявки, которое является случайной величиной, и обозначим через T. Закон распределения времени обслуживания предполагается показательным с параметром m

f(t) = me–mt, (t > 0).

Тогда среднее время обслуживания (математическое ожидание) можно найти по формуле

t = M (T ) = 1 . m

28

6. ПОТОКИ СОБЫТИЙ

Отсюда

m = 1 . t

Часто m называют интенсивностью потока обслуживания, которая означает среднее число заявок, обслуживаемых одним каналом в единицу времени. Под потоком обслуживания понимают поток заявок, обслуживаемых друг за другом одним непрерывно занятым каналом. Если T представляет собой случайную величину, имеющую показательное распределение, то поток обслуживания является простейшим.

Если входящий поток и все потоки обслуживания простейшие, то процесс, протекающий в СМО, является марковским случайным процессом с дискретными состояниями и непрерывным временем. Поэтому СМО, в которой все потоки простейшие, называют марковской СМО.

Таким образом, предположение о показательном законе распределения времени обслуживания и интервала времени между двумя последовательными поступлениями заявок играет исключительную роль в теории массового обслуживания, так как упрощает аналитическое исследование СМО, сводя его к исследованию цепей Маркова.

29

7.ПОКАЗАТЕЛИ ЭФФЕКТИВНОСТИ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Обычно практический интерес в теории массового обслуживания вызывают предельные средние характеристики системы, которые называются показателями эффективности СМО. В качестве показателей эффективности для стационарного (предельного) режима могут рассматриваться следующие:

A — среднее число заявок, обслуживаемое СМО в единицу времени. Эту характеристику называют абсолютной пропускной способностью СМО;

Q — вероятность обслуживания поступившей заявки, или от-

носительная пропускная способность СМО. Параметр связан с абсо-

лютной пропускной способностью соотношением Q = A ; l

Pотк — вероятность отказа, т. е. вероятность того, что поступившая заявка не будет обслужена, Pотк = 1 – Q;

k — среднее число занятых каналов; определяется как k = A ; m

r0 — среднее число заявок в очереди, если она есть (определяется в зависимости от типа СМО);

t0 — среднее время пребывания заявки в очереди. Определяет-

ся по формуле Литтла t0 = r0 для неограниченной очереди и t0 = r0 l A

для ограниченной очереди;

zсист — среднее число заявок в СМО (имеются в виду все заявки, как обслуживаемые, так и ожидающие очереди, если она есть),

zсист = k + r0 ;

30