Динамические системы. Руководство к практическому применению. Учебное пособие

№ 4496 МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

УНИВЕРСИТЕТ НАУКИ И ТЕХНОЛОГИЙ МИСИС

ИНСТИТУТ КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК

Кафедра автоматизированных систем управления

В. В. Куприянов

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

Руководство к практическому применению

Учебное пособие

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета

Москва 2024

Содержание

Предисловие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

1. Общие положения дисциплины «Динамические системы» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

1.1. Методы и средства, используемые в теории динамических систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 1.2. Роль групп Ли при описании

динамических систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36 1.3. Тензорное представление информации как характеристики динамических систем . . . . . . . . . . .47

Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

2. Рекомендации по применению общих положений теории динамических систем . . . . . . . . . . . . . .56

2.1. Практические аспекты моделирования динамических систем при решении задач управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56

2.2. Адаптивные динамические системы . . . . . . . . . . . . .85 Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95

Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96

3

ПРЕДИСЛОВИЕ

Проектирование современных систем автоматического управления, различных сенсоров все больше включает методы и средства, используемые в общей теории динамических систем. В предлагаемом учебном пособии нашли отражение вопросы от анализа линейных систем, синтеза непрерывных, нелинейных, адаптивных, комбинированных систем управления, теории чувствительности динамических систем до исследования инвариантности таких систем, оценки их качества, методов статистической динамики, основных положений теории оптимального управления, аналитического конструирования регуляторов, идентификации объектов управления и т.д. Эти вопросы относятся к классическим положениям прикладной теории динамических систем. Но в ряде случаев возникают проблемы с формализацией описания немалого числа динамических систем в рамках общепринятого математического аппарата.

В пособии дано обоснование применимости групп Ли и тензорного описания информации для моделирования любой динамической системы. Математическая модель в этом случае формируется на базе рандомизированной группы Ли, представленной в виде тензорных элементов. Основное условие коммутативности группы Ли приводит к структурной композиции, кратной тензору второго ранга, который является фундаментальным. Такое представление имеет существенное значение, позволяя сводить обобщенное пространство к информационному. Использование последнего в практических приложениях является более эффективным по сравнению с пространством состояний, так как описывается меньшим числом параметров. В случае когда его базой является гауссовское распределение, это число достигает минимума. Показано, что классические подходы к решению задач управления подвижными объектами, в частности летательными аппаратами самолетного типа, не обеспечивают выбора эффективных координат для управления.

4

Обоснована необходимость построения модели объекта, отвечающей описанию таких управлений, при минимуме потерь информации.

Основная причина издания данного учебного пособия – развитие аспирантских программ и методическое обеспечение новой дисциплины «Динамические системы». Основу учебного пособия составляют материалы лекций из дисциплины «Динамические системы», которые в течение ряда лет читались автором в НИТУ МИСИС аспирантам, обучающимся по направлению 09.06.01 «Информатика и вычислительная техника», профиль подготовки «Системный анализ, управление и обработка информации». Изложение материала учебного пособия за редкими исключениями нерецептурное. Изложены основные теоретические сведения, приведены при необходимости типовые примеры, а также контрольные вопросы для лучшего усвоения материала. В библиографический список включены наиболее доступные публикации, в том числе классические литературные источники.

5

1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ «ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ»

1.1.Методы и средства, используемые

втеории динамических систем

Динамические системы обладают свойством изменять параметры и показатели функционирования во времени.

Непрерывная система управления – это система управления, в частности система автоматического управления, состояние и управление которой можно представить переменными, непрерывно изменяющимися во времени. Чаще всего математическая модель непрерывной системы управления (НСУ) представляется в виде системы дифференциальных уравнений в обыкновенных или частных производных. Если состояние объекта обозначить вектором x t , а управление – вектором u t , то НСУ можно описать уравнением

dx f t,x,u , dt

где переменные t, x, u принимают значения из непрерывных множеств соответственно t0, T , R X , R U .

Если переменная t (время) – дискретная переменная, принимающая значения t0, t1, , tm , а состояние и управление квантованы по времени, т.е. имеют смысл только при t tk k 0, 1, 2, , m , то система управления называется дискретно-непрерывной. Как и в НСУ, x tk и u tk принадлежат непрерывным множествам R(X) и R(U). Для описания дискретно-непрерывных систем управления применяют ко- нечно-разностные уравнения, например, вида

xk 1 f tk, xk, uk , k = 0, 1, 2, …, n.

Если множества R(X), R(U) – дискретны, как и время, то говорят, что сигналы u и x квантованы по уровню и по времени, а система управления называется дискретной или цифровой. Фактически дискретная система управления пред-

6

ставляет собой автомат. Приведенная классификация носит условный характер, на практике часто встречаются комбинированные системы. Для перехода от непрерывной системы к дискретной и наоборот применяются аналого-цифровые преобразователи и цифро-аналоговые преобразователи, которые сами по себе представляют комбинированные системы.

Комбинированная система автоматического управления – система, в которой одновременно используется принцип управления по отклонению (отрицательная обратная связь) и принцип управления по возмущению (компаундирующая связь). В ней можно изменить наклон статической характеристики системы

F L ,

где – регулируемая величина; L – основное внешнее возмущение.

Кроме того, с помощью соответствующей настройки параметров замкнутого и разомкнутого контуров в ней можно обеспечить необходимое качество переходного процесса при требуемом статизме. Выбором параметров системы можно достичь выполнения условий инвариантности систем автоматического управления, при которых возможно теоретически устранение как переходной, так и установившейся ошибки системы управления, вызываемых возмущениями, по которым осуществляются компаундирующие связи (достигается полная или абсолютная инвариантность). Следовательно, основным преимуществом системы по сравнению с некомбинированными системами являются широкие возможности выбора их статических и динамических свойств путем соответствующей настройки.

Компаундирующие связи (от англ. compound – соединение, связь) в системах управления, связи по возмущению – это каналы для формирования и передачи на вход объекта регулирования воздействий, функционально связанных с действующими на объект возмущениями, с целью уменьшения (компенсации) влияния этих возмущений

7

на регулируемые величины объекта или установления зависимостей между регулируемыми величинами и возмущениями. Являются основой принципа регулирования по возмущению. В отличие от обратных связей компаундирующие связи не влияют на устойчивость системы, но уступают им

вточности регулирования. Эти связи реализуются только по основным возмущениям, доступным для измерения.

Обратная связь – воздействие выходной величины некоторой системы на вход этой же системы; в широком смысле – это воздействие результатов функционирования системы на характер этого функционирования. Принцип обратной связи (ОС) является одним из важнейших понятий кибернетики и теории динамических систем автоматического управления. Он используется в замкнутых системах управления,

вкоторых сами отклонения системы от определенного состояния служат для формирования управляющих воздействий. Если действие ОС направлено на уменьшение отклонения системы от первоначального состояния, то она называется отрицательной (коэффициент ОС при этом меньше нуля),

впротивном случае говорят о положительной ОС. Различают непрерывную и дискретную, статическую (жесткую) и динамическую (гибкую), а также линейную и нелинейную ОС. Часто используют дополнительную ОС для стабилизации систем или улучшения переходных процессов в них.

Уравнение статики динамической системы управления (ДСУ) – это зависимость между входной и выходной величинами этой системы в установившемся состоянии. График, выражающий эту зависимость, называется статической характеристикой ДСУ. В системах стабилизации

вкачестве выходной величины обычно принимается регулируемая величина, а в качестве входной – возмущение. Уравнение можно получить из дифференциального уравнения динамики системы путем приравнивания нулю производных в этом уравнении, в результате чего уравнение превращается в алгебраическое. По виду статической характеристики ДСУ делятся на статические и астатические.

8

У первых установившееся значение регулируемой величины зависит, а у вторых не зависит от установившегося значения возмущения.

Замкнутая система управления (ЗСУ) – это система автоматического управления (САУ), в которой используется принцип управления по отклонению (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Схема замкнутой системы управления: x0 – задающее воздействие; x(t) – регулируемая величина; (t) – отклонение (ошибка);

(t) – возмущающее воздействие, приложенное к объекту; z(t) – регулирующее воздействие; Р – регулятор; О – объект.

В ЗСУ регулируемая величина x сравнивается с задающим воздействие x0 и определяется отклонение , в зависимости от которого на объект подается регулирующее воздействие z, уменьшающее это отклонение. ЗСУ стремится уменьшить отклонение от заданного состояния независимо от того, какими возмущениями это отклонение вызвано. В связи с этим она менее чувствительна к изменениям параметров объекта, чем разомкнутая система управления, где уменьшаются отклонения, вызванные лишь теми факторами, по которым имеются компаундирующие связи. Недостатком ЗСУ является то, что при их разработке возникает проблема устойчивости. Тем не менее этот класс систем наиболее распространен.

Разомкнутая система управления (РСУ) – 1) система, состоящая из последовательно или параллельно включенных звеньев, не охваченных обратной связью; 2) система управления, в которой используется принцип управления по возмущению, т.е. управляющее воздействие формируется в функции измеренного тем или иным способом возмущения

9

сцелью его компенсации. Недостатком РСУ является то, что

сих помощью принципиально невозможно компенсировать действия других неизмеряемых возмущений, а также то, что они не способны на достаточно длительном промежутке времени управлять неустойчивыми объектами. В связи с этим на практике принцип управления по возмущению используется, как правило, в комбинации с принципом управления по отклонению.

Непрерывно-дискретная управляемая система – динамическая система, имеющая постоянные или переменные кусочно-непрерывные параметры и произвольное число дискретных особенностей. Поведение ее описывается дифференциальными уравнениями в частных производных с постоянными или переменными коэффициентами, а их решения

должны удовлетворять сложным условиям сопряжений

вместах наличия дискретных особенностей, что существенно усложняет исследование таких систем. Подобными системами являются, например, крыло и фюзеляж самолета, прокатный стан, подвесная канатная дорога, всевозможные платы и другие радиотехнические элементы, представляющие собой динамические системы с непрерывно-дискрет- ными параметрами. Если ставится задача, чтобы в процессе работы динамические характеристики таких систем (амплитуда колебаний, частоты и т.д.) находились в заданных интервалах, то для достижения заданной цели управления

втакой системе применяют управляющую функцию, которой может быть, например, скорость передвижения (для канатной дороги, прокатного стана и др.), скорость полета самолета или ракеты. При действии на динамическую систему управляющих функций надо исследовать, является данная система стационарной или нестационарной. Если на динамическую систему действуют управляющие функции, то она называется управляемой непрерывно-дискретной динамической системой.

Система автоматического управления (САУ) – комплекс устройств, предназначенный для автоматического измене-

10