Динамические системы. Руководство к практическому применению. Учебное пособие

которому должны удовлетворять функции j z , а C k являются тензорами второго ранга группы L. Поскольку эти тензоры однозначно определяют вспомогательные функцииj z , то выполнение условий интегрируемости (1.48) при

f

явно выраженных производных xg или условии (1.53) при

неявных производных обеспечивает существование локальный компактной группы Ли L в канонических координатах, т.е. наличие преобразований координат, характеризацией которых является симметричный фундаментальный тензор C k . Следовательно, существует преобразование M u,u , которое является положительно определенной квадратичной формой, заданной в векторном пространстве L . Как выше было показано, этому пространству мы сопоставляем рандомизированное, асимптотически определяемое гауссовским распределением. Используя алгебру Ли, основанную на разложениях функций в ряды Тейлора, можно получить цепочку все усложняющихся локальных групп Ли. Этому усложнению соответствует система тензоров все более высокого ранга, образуемых указанным выше преобразованием. Однако пока приведенные выше условия существования рандомизированных групп Ли выполняются методом свертки тензоров в (1.41)–(1.43) по существующим индексам, описание сложных групп можно свести к меньшему числу тензоров, в пределе к комбинациям из фундаментальных тензоров. Надо заметить, что в общем случае тензорное умножение некоммутативно. Мы же формулируем рандомизированную компактную группу Ли L в канонических координатах при условии коммутативности, следствием которого и являются формулы (1.41)–(1.43), а также структура группы, кратная фундаментальному тензору Cij . Такое представление не связано с потерей информации. Очевидно, что более детальное описание, основанное в пределе на бесконечном дифференцировании, теоретически должно доставлять большее количество информации. Количество информации, получаемое

51

при разбиении рандомизированной группы Ли на N независимых, локальных групп, описываемых фундаментальным тензором Cij , определяется формулой

мерений в каждой независимой выборке, i 1, 2, , r .

Поскольку N является конечным числом, будет иметь место некоторая потеря информации. На практике величина этой потери будет исчезающе малой. Оценка ее вполне реальна при диагональном представлении матриц, а оно и лежит в основе приведенных выражений. Кроме модели информации (1.54) могут быть использованы и другие разные ее варианты. Сопутствующие им преобразования должны быть линейными, чтобы не нарушать структуру группы Ли. Понятно, что оперировать со все усложняющимся рядом тензоров (1.43) на практике невозможно. Приходится иметь дело с ограниченным рядом (1.41), что связано с появлением некоторой ошибки. Но мы используем специальные системы координат, поэтому отвечающее информационному (1.54) алгоритму преобразование ищется не во всей области сразу, а только в зависимости от одного параметра t. Диагональное преобразование, являясь линейным, не приводит к дополнительным потерям информации. В этом случае мы имеем дело только с главными параметрами процесса или объекта, что резко сокращает объемы измерений и последующих вычислений. Целесообразно использовать на практике не все диагональные элементы матриц, а только достаточно информативные. Информативность можно определить на основе индивидуальных оценок количеств информации в элементах диагональной матрицы через введенное в [7] понятие эпси- лон-энтропийной дисперсии:

52

где 2x , 2n – дисперсии случайного параметра x и погрешности его определения, причем 2n 2 , 2 – средний квадрат случайной ошибки.

Доказано [7], что дисперсия эпсилон-энтропии (1.55) является конечной величиной для непрерывного случая, инвариантна к линейному изменению координат искомых параметров и виду законов распределения, а следовательно, потерь информации не происходит. Проведенное исследование укрепляет представление об информации как общей характеристике динамических систем. Теоретически это представление вытекает из самой сущности математических, наиболее общих, топологических объектов.

Контрольные вопросы

1.Дайте определение непрерывной системе управления и приведите уравнения, применяемые для ее описания.

2.Опишите особенности комбинированных систем.

3.Что такое компаундирующие связи?

4.Какие обратные связи вы знаете?

5.Как получить уравнение статики динамической системы управления?

53

6.Приведите сравнение замкнутой и разомкнутой систем управления.

7.Назовите признаки управляемой непрерывно-дискрет- ной системы.

8.Каковы основные свойства системы автоматического управления и уравнение ее динамики?

9.Дайте краткую характеристику теории чувствительности динамических систем. Как вы понимаете варьированное

идополнительное движения системы? Как используются частотные оценки?

10.В чем смысл условий инвариантности САУ? Что такое физически реализуемые системы? Какова идея «вилки» из обратных связей через объект управления?

11.В чем смысл синтеза непрерывных систем управления? Какие вы знаете направления формализованного синтеза?

12.В чем состоит различие автономной и неавтономной динамических систем?

13.Охарактеризуйте свойства адаптивных систем управления, их классы. Какие используются модели неопределенности параметров среды и объекта управления?

14.В чем смысл анализа и синтеза линейных систем управления?

15.Дайте определение нелинейной системы управления.

16.Перечислите применяемые методы анализа нелинейных систем управления. Дайте их краткую оценку.

17.К чему сводится синтез нелинейных динамических систем?

18.В чем смысл конечно-разностных методов? Приведите пример.

19.Дайте определение неминимально-фазовой системы.

20.Какие критерии оценки качества САУ вы знаете? Приведите их формализованные описания.

21.Определите понятия статических и динамических ошибок в системах управления.

22.Назовите основные задачи статистической динамики САУ. Каковы методы решения этих задач для линейных и нелинейных систем?

54

23.Как на практике применяется критерий устойчивости Михайлова для динамических систем, кривая Михайлова?

24.Какими методами решаются задачи идентификации объектов управления? Каковы способы получения данных об объекте? Приведите критерии близости объекта

иего модели.

25.В чем состоит сущность теории оптимального управления? Какова математическая постановка задачи оптимального управления? Какие вы знаете основные направления исследования этих задач?

26.В чем смысл метода аналитического конструирования регуляторов?

27.Какие задачи являются некорректно поставленными? Назовите особенности их решения.

28.Как определить время движения из произвольной точки траектории, имеющей экспоненциальные распределение, к нулю?

29.Докажите, что на основе топологических представлений можно построить наиболее общую математическую модель динамической системы.

30.Покажите, что преобразование (1.27) для группы Ли позволяет строить любые динамические системы.

31.В чем суть алгебры Ли?

32.Как осуществляется отображение многомерного ко-

ординатного пространства, в котором определен объект,

винформационное пространство?

33.С помощью какого соотношения логично описать изменения случайного наблюдения процесса X(t) в касательном пространстве?

34.Почему плотность распределения функции f(x) в (1.19) можно считать подчиняющейся гауссовскому закону? Какова запись дифференциального уравнения, получаемого однопараметрической группой с касательным отображением?

55

2. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРИМЕНЕНИЮ ОБЩИХ ПОЛОЖЕНИЙ ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

2.1. Практические аспекты моделирования динамических систем при решении задач управления

В подразделах 1.2, 1.3 была охарактеризована роль информации как адекватного отображения состояния динамической системы. Практическое применение полученных выражений является возможным при определенном решении, основанном на линейном преобразовании координатного пространства, в котором определена динамическая система. Допустимая при этом потеря информации, определяющая точность информационного представления системы, приводит к -информационному описанию динамической системы. В этом разделе кратко рассмотрим основные положения общей прикладной теории синтеза динамических систем исходя из общетеоретической тензорной характеристики информации. Математическое представление любой динамической системы в соответствии с рассмотренными выше определениями в общем виде описывается алгеброй Ли. Линейное отображение системы X t по t в любой точке t0 является касательным преобразованием (1.19):

и, следовательно, удовлетворяет дифференциальному векторному уравнению (1.27), описывающему однопараметрическую группу с направляющим вектором как оператором из (2.1):

dt

56

На основании свойств групп Ли R все внутренние преобразования, происходящие в системах, согласно (2.1) и (2.2), принадлежат автоморфизму по крайней мере локальный группы Ли G. Поскольку каждому элементу x G соответствует внутренний автоморфизм x группы Ли G, векторной операции

вчастности для центра группы G отвечает гомоморфизм

f группы R . Тогда для отображения f u ,u R в координатной форме, согласно (2.3), можно записать

Применяя разложение в ряды Тейлора с сохранением только членов не выше второго порядка малости, получим

локальную группу Ли R и ее алгебру, т.е. все ее преобразования.

Пример

В подразделе 1.2 векторному пространству R с установленной на нем операцией коммутирования мы сопоставляли рандомизированное пространство L, так как алгебра Ли существует над любым полем. При этом каждой действитель-

57

ной алгебре Ли R соответствует рандомизированная алгебра R L, которую можно рассматривать как рандомизированное расширение. Следовательно, каждому элементу x R ставится в соответствие вероятностное отображение p x L. Выше было показано, что группа Ли R полностью определяется ее тензорными элементами Cij из (2.6). Поэтому группа Ли L будет определяться асимптотически гауссовским распределением:

бражение группы Ли R в группу Ли L.

На основании свойства композиции рандомизированной группы Ли L для сложной динамической системы, математически моделируемой группой Ли R L , получим закон преобразования векторных координат из R в L в виде многомерного распределения:

где – вектор средних значений X .

Согласно (1.40) можно найти преобразования группы L для всех динамических систем из векторной группы Ли R в информационную группу:

разом, информационное представление (2.8) оказывается адекватным отображением состояния любой динамиче-

58

ской системы, математически моделируемой группой Ли R . Как видим, информация (2.8) возникает одновременно с преобразованием (2.1), и поэтому является первичным фактором для всех систем. На практике оперировать все усложняющимся рядом тензоров из (1.43) не представляется возможным. Приходится иметь дело с ограниченным рядом (1.41), что сопряжено с возникновением некоторой ошибки. В топологическом плане мы формулируем основы прикладной теории динамических систем для ортогональных координат. При этом отвечающее информационному соотношению (2.8) преобразование отыскивается не по всей области сразу, а только в зависимости от одного параметра t . Такое диагональное преобразование, являясь линейным, не приводит к дополнительной потере информации. В этом случае мы имеем дело только с главными параметрами объекта, поэтому необходимые объемы измерений и последующих вычислений сокращаются. В соответствии с конкретными условиями задачи применимы разные варианты моделей информации. На практике целесообразно использовать не все диагональные элементы матрицы, а только достаточно информативные. Информативность определяется на основании информационной эффективности элементов диагональной матрицы с помощью эпсилон-энтропии и ее второго момента, приведенных в подразделе 1.3.

Все это позволяет подойти к решению задачи построения-оптимальных по структуре и параметрам динамических систем, способных функционировать в едином масштабе времени с процессами в системе управления [15]. С решением этой проблемы связано развитие автоматических систем во всех отраслях деятельности человека. Поэтому эти вопросы продолжают находиться в центре внимания, хотя им посвящено немало работ. Для решения задач оптимизации были развиты и предложены многие хорошо известные в настоящее время методы, основанные на принципах максимума, динамического программирования, вариационного

59

исчисления и т.д. Предложено немало интересных практических приложений этих теоретических методов, составивших целое направление в теории построения динамических систем, именуемое аналитическим конструированием. Сюда прежде всего относятся основополагающие работы А. М. Летова, А. А. Красовского, Н. Н. Красовского, В. М. Зубова [4, 5, 17]. Представляя собой основу современных знаний по синтезу систем, эти работы не содержат вопросов, посвященных теории информации и практике ее применения. Поэтому, особенно в условиях широкой цифровизации сложных систем в самых различных отраслях промышленности, разработка принципов построения динамических систем и алгоритмов получения информации в едином с управлением времени приобретает важное значение. Как известно [1, 13], формулировка принципа максимума информации, по существу, соответствует минимизации квадратичного функционала как в пространстве состояний управляемого объекта, так и в пространстве управлений. Методы оптимизации управляющих динамических систем, отвечающие этому принципу, подробно изложены в [5, 11, 14, 17]. Рассматриваемый нами подход к оценке модели объекта, а также дискретной динамической системы стохастической природы, во многом совпадает с классическими трактовками, основанными в том или ином виде на минимизации квадратичных функционалов.

Пример

В связи с этим рассмотрим некоторый объект, описывае-

где A t и B t – матрицы коэффициентов; X , U – векторы координат и синтезируемых управлений.

В этих классических задачах синтезируемые управления ищутся исходя из условий минимизации квадратичного функционала вида

60