Динамические системы. Руководство к практическому применению. Учебное пособие

Заменяя корреляционную матрицу шума R среднеквадратическим отклонением в (2.56)

Из формулы (2.57) следует, что Ck – оператор несмещенной оценки ковариационной матрицы (2.56), так как при k Ck 0 . Ослабление корреляционной связи достижимо за счет разнесения измерений, определяющих оценку, во времени на интервал, превышающий время корреляции. При невыполнении этого условия надо учитывать, что матрица Ak оказывается коррелированной с шумами nk . Вследствие этого возникает отличная от нуля ошибка

поскольку вектор AkT Ak 1 AkTnk состоит из элементов, определяемых отношением двух полиномов, содержащих составляющие от nk . Само вычисление среднего при большом k вызывает затруднения, поэтому можно ограничиться исследованием характера ошибки при стремлении k . Запишем выражение ошибки:

и, добавив еще одно уравнение (для k + 1), получим матричное уравнение

81

Ошибка после (k + 1)-го измерения равна

Последнее уравнение (2.61) с учетом блочных матриц из (2.60) можно переписать в виде

Используя далее (2.59), из (2.62) окончательно найдем

где k , Nk – матрицы, определяемые из (2.63).

Относительно поведения ошибки k , описываемой уравнением (2.63), логично утверждать, что значение собственного ее вектора как следствие начального значения 0 с ростом k уменьшается. Ее вынужденное значение будет стремиться к нулю, если вектор суммы убывает с ростом k экспоненциально, что обычно наблюдается на практике. Можно показать, что собственное значение матрицы при всех k удовлетворяют условию:

Действительно, обозначая через X собственный вектор матрицы , получаем уравнение для нахождения ее собственных значений:

После умножения левой и правой частей уравнения (2.65) на XT получаем

XT AkT Ak X XT AkT Ak Zk ZkT X.

82

Поскольку в (2.66) матрица AkT Ak – положительно определенная, а неотрицательно определенная матрица Zk ZkT имеет ранг 1, то значения будут удовлетворять условию (2.64). Процесс устойчив для всех k, тогда

lim k 0.

k

Таким образом, на характер получаемой оценки вектора параметров объекта существенное влияние оказывают характеристики действующего на него шума. Отметим, что в целях упрощения выкладок при рассмотрении задачи построения обобщенной модели динамической системы (2.39) предполагалось, что шум, действующий на объект, имеет характеристики белого шума. Подобное утверждение в действительности возможно далеко не всегда, тем более что, как правило, характеристики шума обычно неизвестны, т.е. вектор nk в уравнении (2.52) неизмерим. Аналогично это относится и к vi в уравнении (2.21). В тех случаях, когда имеется некоторая информация о свойствах шума, например, когда известно, что его спектральная плотность описывается дробно-ра- циональной функцией, характеристики такого шума можно представить достаточно близкими к реальным, описав его белым шумом, пропущенным через соответствующий линейный фильтр. В этом случае шумовая составляющая приводит к расширенной матрице пространства координат объекта аналогично структуре матриц Ли с включением в них линейного фильтра для шума. Необходимые при этом рекуррентные соотношения переписываются по методу Ли [9].

Пример

Приведем теперь некоторые экспериментальные данные, полученные с помощью типовых рекуррентных алгоритмов, рассмотренных выше. На риc. 2.1 приведены

83

значения ошибки в зависимости от числа итераций N при разных значениях шума 2 и условиях ( A0T A0 ) = 100,0 . Видно, что ошибка уже после 50 итераций не превышает 1 %. На рис. 2.2 показаны значения ошибки при приложении к объекту воздействия в виде единичного скачка при ( A0T A0 ) = 100 и 2 0,5 . Сравнение расчетных данных показало, что шумовые воздействия на объект приводят к значительному увеличению ошибки в сравнении с детерминированными сигналами (единичный скачок). Важным выводом является тот факт, что при известной матрице И измерительной системы можно определять параметры объекта, а при неизвестной этой матрице для решения задачи необходимо увеличивать объем измерений и возрастает ошибка. Чем больше измерений, тем меньше сказывается влияние случайных помех.

Рис. 2.1. Зависимости ошибки при оценке координат объекта при разных уровнях шума

84

k

1,0

2 = 0,5

0,1

0,01

1 при t 0;

(t)

0 при t 0.

0,001

Рис. 2.2. Зависимость ошибки для оценки координат объекта при воздействии в виде скачка

2.2. Адаптивные динамические системы

Введенное понятие белого шума позволяет использовать его для анализа и синтеза нелинейных динамических систем.

Основанием для введения этого термина является понятие белого света, т.е. света, имеющего все частоты или волны одинаковой интенсивности. Иногда в литературе применяется понятие «окрашенный шум». Это шум, спектр которого непостоянен по частоте, т.е. некоторые гармоники преобладают и тем самым создают «окраску» шума. Физическая модель белого шума может быть наглядно представлена как совокупность малых случайных импульсов большой частоты. Белый шум определяется как стационарный случайный

85

процесс с бесконечной дисперсией, дельтаобразной корреляционной функцией и постоянной спектральной плотностью, а именно:

S const; m 0; R N0 ,

где S – спектральная плотность; m – математическое ожидание; R – функция корреляции; N0 – плотность энергетического спектра шума; – дельтафункция.

В общем случае он определяется как предел случайного процесса с нулевым средним и спектральной плотностью S , стремящийся к постоянной величине при n . Применяется широко благодаря простоте формальных действий с ним: в частотной области операции с белым шумом, например его преобразование линейной системой, следуют тем же правилам, что и операции с обычными случайными процессами. Иногда рассматривается гауссовский белый шум, т.е. белый шум, имеющий нормальное распределение импульсов по амплитуде. Белый шум хорошо приближает характеристики реальных процессов (шумы в радиотехнических устройствах, атмосферные шумы, шумы моря). Гауссовский белый шум определяется как обобщенная производная винеровского процесса. В теории случайных процессов стохастический интеграл

b

I f t d t ,

a

где t – винеровский процесс,

определяется как предел в среднем квадратичных случайных величин вида

b

In fn t d t ,

a

где ступенчатые функции fn t приближают в равномерном смысле функцию f(t).

86

Винеровский процесс – это процесс t , независимое приращение которого в интервале длины t есть нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием dt и дисперсией 2t .

На практике белый шум ограничивают по частоте и имеют дело с сигналами конечной мощности. Кроме белого шума используют понятие гауссовского шума. Гауссовским шумом называется случайный процесс, имеющий нормальное распределение. Физической моделью гауссовского шума может служить белый шум, прошедший через линейный фильтр.

Во многих случаях возникает необходимость синтезировать динамические системы по адаптивному принципу. К ним относят динамические системы, применяемые при управлении различными подвижными объектами, функционирующими при переменных внешних условиях или атмосферных шумах, описываемых белым гауссовским шумом. Многообразие режимов полета, значительные вариации параметров, характеризующих неустановившуюся турбулентную среду, в которой происходит полет, а также изменения параметров подвижного объекта и системы управления делают необходимым применение в авиации адаптивных динамических систем. Примерами турбулентностей атмосферной среды являются эффекты, создаваемые броуновским движением частиц (турбулентностей) или дробовые эффекты, спектральные плотности которых удовлетворяют условию

Si const и m 0,

где Si – спектральныеi плотности,

причем соответствующие корреляционные функции имеют вид

Ri ai ,

где ai – некоторые постоянные коэффициенты.

87

Решение задачи построения адаптивных систем для авиационных объектов является весьма актуальным, особенно в условиях специальной военной операции, потому что при скоротечности всех характерных для полета процессов экипаж буквально не в состоянии уследить за всеми изменениями, вовремя их оценить и предпринять соответствующее действие. При этом возникает необходимость автоматизации не только операций, связанных с измерениями определенных параметров внешней среды и положений летательного аппарата относительно земли или другого аппарата, но также и всех операций по оценке состояния летательного аппарата (повреждения, отказы и пр.) и отдельных его систем. Рассмотрим основные особенности подхода к созданию адаптивных динамических систем на примере построения бортовой системы. В качестве программных моделей объекта используем набор диагональных матриц, соответствующих основным режимам полета. Будем рассматривать режим управления продольным движением. В этом случае программной моделью является модель, описываемая матричным уравнением (2.39). Действительно, состояние летательного аппарата может отличаться от модели. Это различие в состояниях может быть как параметрическим, так и структурным. Первое возникает при несовпадении реального режима полета с моделируемым из-за каких-либо изменений внешней среды и других воздействий, например вражеской атаки или нападения в виде единичного детерминированного скачка, не предусмотренных моделью, а также в результате тех или иных изменений параметров самого объекта. Естественно, такие изменения могут быть устранимыми и неустранимыми. При устранимых параметрических отклонениях, являющихся следствием нестационарности процессов, необходима параметрическая коррекция состояния летательного аппарата, т.е. его стабилизация не заданном режиме полета. Стабилизация выполняется с помощью определенных средств регулирования, например автопилот по сигналам,

88

которые могут вырабатываться всережимной динамической системой или специальной автономной подсистемой. Такая корректировка или стабилизация осуществляются при небольших отклонениях. При отклонениях, превышающих допуск, на пилотируемых аппаратах включается соответствующая сигнализация. На аппаратах с полным автоматическим управлением при систематическом превышении допуска динамическая система меняет модель, приспосабливаясь к новому режиму полета. Структурное различие может быть либо следствием изменения режима полета, либо результатом нарушения структуры самого летательного аппарата. Смена модели – это программная операция. Она может выполняться пилотом (оператором беспилотного аппарата) или автоматически. В обоих случаях решение формируется адаптивной динамической системой. Таковы в кратком изложении основные функции адаптивной бортовой динамической системы. Эта система выполняет три класса информационных функций: измерение и параметрическая корректировка процесса стабилизации заданного режима полета, определение оптимального режима полета и контроль за состоянием летательного аппарата.

Пример

При решении задачи выбора оптимальных управлений следует исходить из заданной программной рандомизированной модели конкретного объекта. Далее ищется информационная функция, соответствующая данной модели. Используем основное функциональное уравнение [6]:

где Jk – потери информации; – пространство состояний из тройки ( , A , P ) – вероятного пространства, в котором состоянию Z0 соответствует событие A0 , а управлению ui – событие Ai A с вероятностной мерой P Ai ; k – индекс шага поиска u .

89

Согласно принципу Беллмана на каждом шаге k определяется значение информационного функционала, отвечающего рандомизированной модели объекта. Полагая в исходном уравнении (2.39) распределения случайных величин Z(t) и n(t) гауссовскими, можно найти условия, которым должны удовлетворять оптимальные значения матрицы B(t) управлений для безынерционной системы в соответствии с квадратной моделью информации:

где В t – матрица управлений; BT t – транспонированная матрица управлений; ui – ковариационная матрица (i = 1, 2); 1 и 2 – соседние выборки измерений;i – вектор средних значений измеряемых выборок;u u1 u2 ; Т u – транспонированная матрица к u ; k – число случайных выборок.

Оптимальные значения В t определяются из условий максимизации правой части выражения (2.68), которая, согласно (2.67), одновременно не может превышать значения

причем потери информации, соответствующие допустимой ошибке , можно вычислить по формулам Куллбака и Рузского [6, 15].

Максимизируя (2.68) известными методами дифференциального исчисления, находим, что матрица В t должна удовлетворять условию

90