Динамические системы. Руководство к практическому применению. Учебное пособие

изменения угла при небольших отклонениях руля высоты. Не учтено также малое влияние скоса потока при малом изменении скорости полета. Коэффициенты объекта из матрицы A в линеаризованной системе уравнений определяются согласно терминологии А. А. Красовского [4], например:

Первый индекс коэффициентов означает зависимую координату, второй – независимую. С учетом (2.31), объединяя уравнения (2.22) и (2.23), имеем на выходе динамической системы

где A GTИAИ 1G .

71

С помощью обратного преобразования Gz 1 получим матричное уравнение дискретной ортогональной модели, выраженное через выходные координаты динамической системы:

Тогда A ИT j Gj GjTИ . Поэтому для матрицы динамиче-

i

ской системы, выраженной в виде матрицы-столбца, имеем

Поскольку ij удовлетворяют условию (2.40), диагонализация матрицы A приводит к единственному значению И для каждой строки матрицы A .

Диагональные элементы 11, 22, 33 матрицы A , а также элементы b1, b2, b3 матрицы F при И 1 будут выражены через значения коэффициентов из (2.35), например:

b1 aV H; b2 0; b3 a H H.

Шум на выходе динамической системы можно предварительно оценить величиной дисперсии N с последующим уточнением при синтезе конкретной системы. Для примера

72

мы рассмотрели одну из возможных моделей динамической системы для продольного движения летательного аппарата как режима полета. Другие режимы полета будут описываться иными моделями. Метод их получения прежний, что и примененный выше для режима продольного движения. Матрицы этих других моделей, отвечающих иным режимам полета, находятся на основе соотношений, подобных (2.35), в которых должны быть учтены дополнительные связи между основными переменными x1, x2, , x5 , характерные для конкретного режима полета. В частности, некоторые из коэффициентов в (2.35) могут быть равны нулю. Отметим, что изложенный метод применим для определения обобщенных моделей объектов при построении любых динамических систем. При этом нам важна принципиальная новизна метода решения проблемы создания оптимальной динамической системы. Уравнению (2.39) при предельном переходе t 0 будет соответствовать матричное уравнение непрерывной системы:

которое можно записать в операторной форме:

Es A Z s FU s ,

где E – единичная матрица.

Определитель этой системы равен

Согласно (2.41) рассматриваемая модель динамической системы может быть представлена в виде цепочки моделей ортогональных элементарных подсистем, описываемых уравнениями в координатной форме:

73

Таким образом, каждому из элементов (2.42), отвечающих главным параметрам системы, соответствует случайная функция zi t Z с касательным отображением A в векторном пространстве R . Поэтому, согласно изложенному в подразделе 1.2, z t образует однопараметрическую группу Ли. Результат преобразования, соответствующий правой части (2.41), отвечает гомоморфизму f группы Ли R и, согласно (2.6), приводит к выражению

M f z ]i Cjki Mzj Mzk M z,z]i ,

где Cjki – тензор.

Как было показано в подразделе 1.3, структура группы Ли удовлетворяет тензорным соотношениям (1.41)–(1.43). Представляя собой квадратичную форму, тензор Cjk распределен асимптотически по нормальному закону. Согласно теории вероятностей распределение произведений нормально распределенных элементов является гауссовским. Следовательно, для каждого элемента (2.42) плотность распределения равна

Каждому из элементов (2.42), согласно (1.40), соответствует средняя по всем ki реализациям информация:

74

причем для безынерционных систем при И = I и N = 0 имеем

Z i (Z i )T p zi dz .

Это среднее количество информации, соответствующее i-му ансамблю объемом k, получается в процессе последовательных измерений случайных реализаций Z t , отображающих изменения состояний объекта. Информативность любого из элементов набора (2.42) обобщенной модели динамической системы можно оценить по формуле (1.55) либо из соотношений [9]:

по формуле (2.45) рассмотрены в [6, 15]. Информативность различных главных параметров системы неодинакова. Полная средняя информация (2.43) может быть получена лишь при измерениях всего набора главных параметров, отвечающих (2.42). Параметры с низкой информативностью мало влияют на результат измерений остальных параметров

сотносительно высокой информативностью. В соответствии

сэтим при известных информативностях определяется набор необходимых для управления главных параметров. Эти наборы, естественно, будут неодинаковыми для различных объектов. Они будут различаться и для разных режи-

75

мов работы одного и того же объекта. С помощью матрицы A в каждом отдельном случае можно определить, какие при этом необходимы физические измерения. Это следует из рассмотрения выражения (2.35) для коэффициентов матрицы A системы, которые зависят определенным образом от изменения указанных там физических величин. Но все эти физические величины изменяются случайным образом. Поэтому совместные законы их распределения можно найти согласно известной теореме композиции. Совместное распределение каждой пары случайных величин определяется по формуле

f z1 z2 z f z1 f z z1 dz1,

которая для гауссовских законов распределения принимает вид

В случае совместной зависимости отдельных физических величин z1,z2 , распределенных по гауссовскому закону, искомые распределения являются гауссовскими с параметрами [19]:

zi zj

трицы; rij –коэффициент корреляции величин zi и zj с суммированием по парным комбинациям.

76

В выражения для коэффициентов ai из (2.33)–(2.35) входят также различные функциональные зависимости. Учитывая, что они являются функциями от аргументов, распределенных по гауссовскому закону, то согласно свойству воспроизводимости (устойчивости) распределение линейной функции остается гауссовским.

Для некоррелированных величин z1, z2 параметры такого распределения вычисляются по формуле

Если и существует корреляция этих величин, то она, как правило, незначительна, и ею пренебрегают при расчетах. Часто используются полярные функции корреляции. Более нежелательно появление нелинейных зависимостей в выражениях для коэффициентов ai . Величину z представляют как кусочно-непрерывную функцию Z X , плотность распределения которой приближенно возможно вычислить по формуле [1]:

Определив совместные распределения, далее с помощью формул вида (2.45) вычисляют значения количеств информации, получаемых на выходе динамической системы, для каждого из элементов матрицы обобщенной модели системы. После оценки по формуле (2.44) информативности главных параметров определяется их набор. Для решения многих задач управления подвижными объектами можно достичь вполне достаточного качества при использовании только линейных моделей информации, например, в виде

77

Эта модель в случае равенства ковариационных матриц , что часто имеет место, совпадает с пол-

ij

ной информационной моделью. Реализация модели (2.46) значительно проще, так как для этого требуется только определение средних значений измеряемых реализаций. Выбор оптимального значения матрицы И динамической системы производится в общем случае согласно принципу максимума информации, при котором для уравнения

Выражения для и не приводим из-за их громоздкости. При законе изменения матриц F t F u t , вычисляемого в начале каждого измерения при u t 1 , оптимальные переходные матрицы для уравнения (2.41) имеют вид

Решение для матрицы И динамической системы при измеренных и находится с помощью итерационного

процесса. Это решение получается проще, например, при известных ковариационных матрицах . При этом

Используя итерационный алгоритм и уравнения (2.48), (2.49), удается вычислить матрицу

78

Применяя другие модели информации, можно найти формулы для расчета матрицы И динамической системы для многих практических приложений. Матрица (2.50) является частью динамической системы, относящейся к определению информации, отвечающей коэффициентам aij обобщенной модели (2.39), в частности, aV , a , изменяющимся случайным образом, причем aV a 11 . Приведенный вариант динамической бортовой системы строится по принципу предварительного формирования коэффициентов ij , соответствующих главным параметрам обобщенной модели системы с объектом. Может использоваться и другой принцип, например предварительного формирования информации, отвечающей физическим величинам ( V, , и т.п.) с последующим преобразованием, предписываемым алгоритмом образования коэффициентов aij .

Рассмотренные выше методы отличаются тем, что их основу составляют итерационные алгоритмы, которые, по существу, являются детерминированными. В то же время характеристики объекта, особенно в присутствии шумов, носят явно случайный характер. Поэтому вопрос о состоятельности получаемых оценок координат объекта имеет важное значение. В работе [9] показано, что определение вектора параметров объекта, получаемое в результате квадратичной минимизации и одного из известных методов обращения матриц, может быть записано в виде

79

где

причем z – измеримый вектор на выходе объекта; nk – матрица белого шума с нулевым средним и конечной дисперсией 2 ; – неособая матрица; Ak – матрица, элементы которой определяются значениями выходного процесса объекта в прошлом, и поэтому их нельзя признать детерминированными, при учете шума они являются явно недетерминированными из-за коррелированности с прошлыми значениями шума nk , независимость матрицы Ak от вектора nk достигается только на конечном интервале времени.

Рассмотрим ошибку, возникающую при определении оценки. Для этого уравнение (2.52) подставим в выражение (2.51):

Далее, находя математическое ожидание от (2.54), получим

что свидетельствует о несмещенности полученной оценки. Ковариационная матрица будет равна

80