Динамические системы. Руководство к практическому применению. Учебное пособие

деления некорректной при этом задачи ИОУ необходимо использовать ту или иную математическую модель этих неопределенностей, доопределяя ее. В настоящее время при решении задачи идентификации наибольшее распространение получили стохастические модели неопределенности, принятие которых ведет к разного рода стохастическим постановкам этой задачи. При ИОУ в качестве критериев близости объекта и его математической модели используют среднеквадратичную ошибку, абсолютную погрешность, максимум правдоподобия, статистическую дихотомию и т.д. Поскольку, как правило, при решении задачи параметрической идентификации стремятся получить решение, оптимальное в смысле принятого критерия близости (сходства), то для решения этой задачи используют различные методы поиска экстремума, например метод Ньютона – Канторовича, градиентный метод, методы случайного поиска экстремума и т.д. Особую роль при этом играют рекуррентные алгоритмы решения этой задачи, в частности рекуррентный метод наименьших квадратов.

Теория оптимального управления исследует свойства траекторий динамических систем, оптимальных по како- му-либо критерию (быстродействию, минимуму затрат, минимальному весу и т.п.). Задачи оптимального управления возникают всюду, где человек может воздействовать на ход процесса, например в распоряжении пилота самолета имеются средства, позволяющие ему по своему усмотрению менять процесс управления; на ход экономических процессов можно влиять с помощью таких управлений, как цены, развитие отдельных отраслей промышленности и т.д. При управлении каждым объектом ставится определенная задача. На практике всегда имеется определенный критерий, характеризующий «цену», которую приходится «платить» за достижение цели. Рассмотрение конкретных задач приводит к следующей математической постановке задачи оптимального управления. Задан объект, который описывается уравнением

31

X, U – l -мерного вектора управления и t – времени.

Если задано начальное состояние объекта X0 и функции управления U(t), то при некоторых предположениях система (1.11) однозначно определяет траекторию объекта X(t), которая называется фазовой траекторией. Как правило, на управление U наложены ограничения. В общем случае в каждый момент времени вектор управления U(t) должен принадлежать некоторому множеству WU . Пусть кроме того заданы начальная точка X0 и конечная точка X1 фазового пространства. Рассмотрим все возможные управления U(t) и

моменты времени t0 и t1 , WU U t для всех t0 t t1 такие, что траектория X(t) системы (1.1), соответствующая началь-

ному положению X t0 X0 и управлению U(t), попадает в момент времени t1 в точку X1 , т.е. X t1 X1 . Среди этих управлений требуется выбрать одно, для которого значение функционала

минимально. Управление и траектория, составляющие решение этой задачи (1.12), называются соответственно оптимальным управлением и оптимальной траекторией. Поскольку точки X0 и X1 являются фиксированными, сформулированная задача называется задачей оптимального управления с фиксированными концами. Здесь управление выбирается как функция времени. Менее изучена задача синтеза управления, когда требуется выбрать управление как функцию фазовых координат U X,t . Исследование задач оптимального управления ведется в трех направлениях. Первое направление – необходимых и достаточных условий оптимальности, возможно точнее характеризующих оптимальную траекторию. Второе направление – решение

32

задачи оптимального управления существует не всегда, поэтому необходимо формулировать некоторые достаточные условия, гарантирующие существование решения. Третье направление – разработка вычислительных методов для расчета оптимальных управлений. Один из подходов к решению перечисленных задач управления дает теория динамического программирования. Однако применимость ее в теоретическом плане ограничена, поскольку обычно неясно, обладает ли функция, существование которой требуется при этом подходе, нужными свойствами. Однако в ряде задач такой подход позволяет найти решение. Основан он на том факте, что отрезок каждой оптимальной траектории оптимален также среди всех траекторий, соединяющих начальную и конечную точки отрезка.

Аналитическое конструирование регуляторов – это раздел теории синтеза систем управления. Рассматривается решение задачи определения такого управления (регулятора):

где U – вектор управления, X – вектор фазовых координат,

которое на траекториях движения объекта управления, описывающегося уравнением вида

где F – в общем случае нелинейная вектор-функция,

минимизирует функционал

0

где T – время, T ; – неотрицательная функция своих аргументов.

В такой общей постановке эта задача не решена. Имеется решение этой задачи для случая линейных объектов управления (1.14), т.е. когда

33

где A(t), B(t) – матрицы соответствующих размерностей,

и для X, U, t в виде положительно определенной квадратичной формы, т.е. при

где Q t 0 и H t 0 – положительно определенные матрицы, а знак T означает операцию транспонирования.

В этом случае оптимальное управление (регулятор) оказывается линейным:

где C(t) – матрица обратной связи соответствующей размерности.

Известен также дискретный аналог этой задачи, разработанный для систем, описываемых разностным уравнением

Xn 1 AnXn BnUn, n 0, 1, 2,

при оценке качества работы динамической системы функционалом вида

N

I Xn,Un,n , N .

n 0

Вэтом случае оптимальным управлением является линейное уравнение

Un CnXn.

Решение некорректных задач – решение задач, не удовлетворяющих требованиям, которые характеризуют класс корректно поставленных задач. Задача определения z (решения) по входным данным u: z R u , причем R – некоторый оператор, называется корректно поставленный, если z и u принадлежат множеством F и U, для элементов которых определено понятие расстояния (метрика)

34

F z1,z2 и U u1,u2 , где z1,z2 F; u1,u2 U , и если удовлетворяются требования:

а) для всякого элемента u U существует решение z из F; б) решение определяется однозначно; в) решение должно непрерывно зависеть от входных дан-

ных, т.е. для всякого 0 можно указать такое , что если U u1,u2 и z1 R u1 , а z2 R u2 , то F z1,z2 .

К числу некорректных задач относятся многие важные задачи: численное дифференцирование; решение интегральных уравнений 1-го рода; аналитическое продолжение функций; решение линейных систем (если определитель системы равен 0); некоторые случаи линейного и нелинейного программирования и др.

Основная идея, на которой основаны различные методы решения некорректных задач, состоит в том, что для приближенных входных данных не обязательно решать ту же задачу, что и для точных данных. Решение некоторой вспомогательной задачи, построенное по приближенным входным данным, может оказаться (и действительно оказывается) ближе к искомому решению. Наиболее распространенными методами решения некорректных задач являются метод квазирешений, метод принципа невязки и метод регуляризации. Конкретная иллюстрация этих методов подробно приведена для задачи численного дифференцирования [18].

Экспоненциальное распределение (ЭР) – часто называют и как показательное распределение – распределение вероятностей неотрицательной случайной величины, характеризуемое плотностью вероятности e t при t 0 , 0 – параметр распределения; t – время. Применяется в динамических системах, теории массового обслуживания и других областях. Основное свойство ЭР: если продолжительность какого-либо процесса имеет ЭР, то время до окончания этого процесса не зависит от того, сколько он продолжается. Допустим, надо определить время переходаt к нулю из любой точки экспоненты. Тогда при e t 0

35

и известной скорости , м/с, найдем t . Отсюда имеем t . Другими словами, получим бесконечное вре-

мя перехода к нулю (к окончанию процесса, имеющего ЭР) из любой точки процесса. Можно оценить время перехода tk по экспоненте из точки 1 в точку 2 при известной скорости и величине невязки (рис. 1.3).

1

2

t

tk

Рис. 1.3. К оценке времени движения некоторой точки при процессе, имеющем Эр

Время до окончания процесса в точке 2 при движении из точки 1 можно найти из уравнения

1.2. Роль групп Ли при описании динамических систем

Общую теорию динамических систем, состоящих по своей структуре из многих элементов, можно рассматривать на базе топологии. С переходным процессом системы в топологической модели сопоставляется непрерывное преобразование. Такое состояние можно считать наиболее общим.

36

Следовательно, все динамические системы как математические объекты представляют собой группу непрерывных преобразований. При рассмотрении малого объема пространства эти преобразования являются евклидовыми. Так, на основе топологических представлений возникает наиболее общая математическая модель системы. Одновременно вводится рандомизация путем сопоставления каждому элементу x в соответствие отображения в вероятностной области. Получаемое вероятностное пространство представлено пространством элементарных событий: полем, заданным

вэтом пространстве, и вероятностной мерой. Мы, по существу, рассматриваем группы Ли L [9]. Общее представление этих групп задается алгеброй случайных процессов, поэтому соответствующие им математические объекты наиболее полно отвечают реальным. При этом информация является адекватным отображением полной математической структуры модели системы, которая описывается с помощью группы Ли. Следовательно, в основу описания математических объектов логично положить аксиоматику топологической группы, а она базируется на операциях умножения и предельного перехода. В силу этих операций появляется возможность сводить изучение сложных динамических систем к изучению более простых. Именно это делает топологические модели приспособленными для многочисленных задач практики.

Как известно [12], существует связь понятия информации с алгебраическим объектом, описываемым на основе теории множеств. В ее основу при этом закладывается алгебра Ли с ее расширением до рандомизированных групп. Любое изменение наблюдаемого процесса можно описать с помощью линейной алгебры. Эти изменения будем рассматривать как отображения рандомизированного пространства L

всебя, полное множество которых, определяемое алгеброй случайной типологии, представляет собой рандомизирован-

ную группу Ли. Рассматривая изменения процесса за время t 0 в некоторой малой области относительно x 0 , прихо-

37

дим к определению касательных к случайной функции x t отображений пространства L [15]:

где f x – плотность распределения случайной функции x t ; B – характеристический оператор, определяемый полем элементарных событий; M – оператор математического ожидания.

При этом элемент x определяется дифференцируемыми координатами x1,x2, ,xn , которым соответствуют вероятности p1, p2, , pn , i, j 1, , n. Заметим, что предел случайной величины в (1.19) не всегда имеет место с вероятностью 1. Для полного описания динамических систем необходимо определить оператор пространственного дифференцирования. Согласно [19] распределение сложного случайного процесса близко к нормальному. Для сложных систем, согласно центральной предельной теореме, тем более вероятным является нормальное распределение. Поэтому плотность распределения функции f x можно считать подчиняющейся нормальному закону. Тогда в случае трехмерного пространства для оператора (1.19) запишем

Bf x

Переходя к пространственному предельному переходу для некоторой окрестности C x C при ее стягивании в точке x , получим

38

Полагая C сферой радиуса с центром в x , можем записать

При интегрировании (1.23) по области C с центром в внутри локальной группы L левая часть становится равной f , а интегралы от членов xi i , i 1, 2, 3 из-за симметрии относительно верхней и нижней полусфер взаимно уничтожаются. Поэтому с учетом инвариантности вращений имеем

x1 1 2 dx x2 2 2 dx x3 3 2 dx

39

Отсюда на основании (1.23) получаем

где – оператор Лапласа; причем

С учетом (1.21)–(1.25) характеристический оператор примет вид

Bf x 1 f x , 3

где f x – функция, для которой в каждой точке x существует конечный предел (1.21).

В координатной форме выражению (1.19) соответствует для точки x 0 случайная величина

aji M dxji 0 , dt

где xji t – координатная запись вектора x t , отвечающая введению в L координатной системы с матрицей

40