Динамические системы. Руководство к практическому применению. Учебное пособие

Синтез линейных систем управления – раздел теории автоматического управления, изучающий и разрабатывающий методы определения структуры и параметров линейных САУ, при которых эта система удовлетворяет предъявляемым к ней требованиям.

Нелинейная система управления (НСУ) – система управления, математическое описание которой не удовлетворяет условиям линейности. Если движение системы описывается уравнением вида

где , – некоторые постоянные коэффициенты.

Условие линейности записывается в форме (1.2). Все реально существующие системы управления физическими процессами нелинейны, и только при достаточно малых отклонениях от какого-то исследуемого режима для анализа некоторых из них можно применять их линейные математические модели. Нелинейный характер вектор-функции F существенно затрудняет анализ таких систем, но одновременно и порождает наличие таких свойств, которыми не обладают линейные системы. НСУ благодаря присущим только им свойствам во многих случаях обладают по сравнению с линейными системами рядом существенных преимуществ, например простотой конструкции, дешевизной, лучшими динамическими свойствами и т.д. Нелинейные динамические системы находят широкое применение во многих областях физики и техники, в частности в нанотехнологиях, полупроводниковой технике. В НСУ при определенных условиях может возникать режим автоколебаний, используемый в радиотехнике.

21

Анализ нелинейных систем управления – раздел теории автоматического управления, изучающий характер возможных процессов в НСУ, а также их качественные и количественные характеристики. Задача анализа – определение условий существования и устойчивости установившихся режимов (состояний равновесия, периодических и почти периодических движений), оценка величины областей существования этих режимов в фазовом пространстве, характера вынужденных движений при различных внешних воздействиях и т.д. Наиболее полные результаты получены при использовании разных методов анализа (численных и графических). Методы Ляпунова являются строгими методами исследования устойчивости. Теоремы Ляпунова об устойчивости по 1-му приближению сводят вопрос об устойчивости нелинейных систем при малых возмущениях к анализу линейной модели системы. Метод гармонической линеаризации дает возможность приближенно определять условия существования и устойчивости периодических режимов НСУ, их амплитуды и частоты. Метод был развит для анализа устойчивости равновесия и качества переходных процессов. Частотный метод Попова позволяет определять достаточные условия устойчивости нелинейных систем некоторых классов. Метод припасовывания дает возможность анализировать кусочно-линейные (и другие кусочно-интегрируемые) свойства путем определения изменения координат системы во времени. Для НСУ применяют также метод малого параметра, метод фазового пространства, метод точечных отображений и др.

Синтез нелинейных систем управления – раздел теории автоматического управления, изучающий и разрабатывающий методы определения структуры и параметров САУ, при которых система удовлетворяет некоторым заранее сформулированным требованиям. Обычно при синтезе НСУ объект управления бывает задан. Поэтому синтез сводится к определению структуры и параметров управляющей части НСУ. Методы решения задач синтеза НСУ развиты недостаточно.

22

Более или менее удовлетворительно на основе метода Ляпунова решаются лишь задачи синтеза асимптотически устойчивых НСУ, описываемых дифференциальными

где X и Xn – соответственно векторы фазовых координат; n – номер шага; F – нелинейная вектор-функция; U и Un – соответствующие векторы управляющих воздействий.

Решение задач синтеза оптимального управления системами (1.3) или (1.4) можно получить с помощью принципа максимума Понтрягина. Методы решения задач синтеза оптимального управления с обратной связью вида

U U X, t и Un U Xn, n , минимизирующих функционалы вида

T

I X,U,t dt, T

0

и

N

I Xn,Un,n , N ,

n 0

где – заданные функции на решениях систем (1.3) и (1.4),

развиты недостаточно, и поэтому для их решения чаще используют численные методы, например конечно-разност- ные методы.

Конечно-разностные методы (КМ) – это численные методы решения алгебраических, дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, основанные на замене дифференциальных операторов разностными, интегралов – конечными суммами, а функций непрерывного аргумента – функциями дискретного аргумен-

23

та. Такая замена приводит к системе, вообще говоря, нелинейных алгебраических уравнений, которые обычно сводятся к линейной системе каким-либо итеративным методом. Если, например, исходная задача имеет вид

u Au f, x,t ,

t

lu g, x,t D T, u x,0 u0 x ,

где D T – область интегрирования; t T 0,t0 ; D – граница области D; u – искомая функция; A, l – операторы,

то КМ приводит ее к виду

un 1 un

1un 1 0un F, x,t h,

un G, x,t Dh T, u0 u0 ,

где un – сеточная функция, являющаяся решением разностного уравнения; 1, 0 , – разностные операторы, зависящие от параметров , h сетки; t h ; h – сеточная область, аппроксимирующая область ; Dh T – ее граница; F, G – сеточные функции, аппроксимирующие соответственно f, g.

Для линейных систем уравнений установлены теоремы сходимости, утверждающие, что сходимость разностного решения к решению исходного уравнения следует из аппроксимации и устойчивости разностной схемы. Если свойства аппроксимации, устойчивости и сходимости имеют место лишь при некотором соотношении между параметрами сетки , h, где h h , то их называют условными. Если же эти свойства справедливы при любом соотношении между и h, то их называют абсолютными. Указанная схема аппроксимирует исходное уравнение, если 1 0 аппроксимирует А, а l . Схема называется явной, если 1 0 , и неявной, если1 0 . Абсолютные сходящиеся схемы существуют лишь в классе неявных схем.

24

Неминимально-фазовая система (НФС) – это линейная динамическая система, для которой отсутствует взаимно однозначное соответствие между ее амплитудой и фазовой частотной характеристикой. Признаком НФС для непрерывных систем является наличие нулей ее передаточной функции в правой полуплоскости, а для дискретных систем – внутри окружности единичного радиуса на комплексной плоскости. Это свойство систем во многих случаях затрудняет решение задач управления ими. Для минималь- но-фазовой системы между амплитудой и фазовой частотной характеристикой имеется взаимно однозначное соответствие и в непрерывном случае отсутствуют нули передаточной функции системы в правой полуплоскости плоскости комплексной переменной.

Оценки качества САУ (интегральные) – косвенные критерии качества САУ, позволяющие без решения дифференциального уравнения движения системы приближенно оценить качество переходного процесса в системе путем вычисления интегралов по времени от некоторых функций координат системы. Простейшей (линейной) интегральной оценкой, характеризующей площадь под кривой переходного процесса, может служить величина

где x(t) – отношение регулируемой величины к новому установившемуся значению (после окончания переходного процесса).

Более распространена квадратичная интегральная оценка, не зависящая от знаков отклонений и от формы переходного процесса (монотонной или колебательной):

25

Иногда применяются более сложные оценки, например квадратичная оценка, характеризующая кроме площади под кривой переходного процесса колебательность процесса:

где T1, ,Tn – некоторые постоянные времени, выбираемые на основе дополнительных требований к системе,

или оценки, характеризующие «взвешенную» площадь под кривой переходного процесса:

Интегральные оценки можно выразить и другими способами, например через коэффициенты передаточной функции (дифференциального уравнения), через преобразование Фурье для x(t) и т.д. Но и оценки (1.5)–(1.8) являются общепринятыми.

Ошибки в системах управления (СУ) – отклонения показателя качества работы СУ от его заданного значения. В СУ этим показателем качества является совокупность заданных или требуемых значений регулируемых величин, а в самонастраивающихся системах – некоторая функция этих величин. Различают ошибки динамические и статистические. Под динамическими понимают все виды ошибок, имеющих место в динамических процессах, т.е. при меняющихся внешних воздействиях (возмущающих и управляющих) и во всех случаях переходных процессов. Под статическими ошибками понимают постоянные отклонения регулируемых величин в установившемся режиме. В линейных СУ в зависимости от источника различают две составляющие ошибки – вынужденную, определяемую действием возмущений или задания, и свободную, зависящую от начального отклонения показателя качества СУ. Динамические ошибки оцениваются либо

26

по их значениям, взятым в определенные моменты времени, например по максимальному значению, либо по интегральным критериям. Ошибки, связанные с действием случайных сигналов на объект управления, могут оцениваться с помощью статистических характеристик (математического ожидания, дисперсии и др.). Минимизация ошибок достигается выбором соответствующей структуры СУ.

Статистическая динамика САУ (СДСАУ) изучает влияние случайных возмущений на динамику САУ. В реальных условиях на работу САУ кроме полезных входных сигналов существенное влияние оказывают и случайные возмущения. Основными задачами СДСАУ являются статистический анализ точности работы САУ, а также синтез управления, обеспечивающего статистически оптимальное поведение системы в реальных условиях ее эксплуатации. Пусть динамика САУ описывается дифференциальным уравнением вида

Y t F Y t , X t ,t ,

где Y – вектор фазовых координат; F – нелинейная век- тор-функция; X(t) –входные переменные САУ.

Часть входных переменных может представлять собой случайные возмущения. В более общем случае связь между входными и выходными параметрами САУ можно записать в виде

Y G X,t ,

где G – некоторый функционал (оператор).

В математическом отношении статистический анализ точности САУ сводится к задаче нахождения законов распределения вероятностей (или других статистических характеристик) некоторых случайных функций, связанных с другими (заданными) случайными функциями линейными или нелинейными зависимостями. Эта задача наиболее полно решена для линейных систем, причем во многих случаях вместо законов распределения выходных параметров САУ

27

вычисляют их статистические моменты первого и второго порядков. В связи с этим широкое распространение получила теория линейных преобразований случайных функций, использующая следующие математические соотношения:

Y t GX t ; M Y t GM X t ;

Ryy t,t1 GGRxx t,t1 ,

где X t – заданная случайная функция; Y t – преобразованная случайная функция; G – линейный оператор преобразования; M и Rxx – математическое ожидание и корреляционная функция заданной случайной функции; Ryy – корреляционная функция преобразованной слу-

чайной функции; G – сопряженный оператор.

Для решения задач статистического анализа нелинейных САУ разработан ряд методов. Широкое распространение получили разнообразные варианты метода статистической линеаризации, основанного на идее замены нелинейных звеньев САУ линейными звеньями, обладающими эквивалентными статистическими характеристиками выходных координат. При этом можно получить аналитические выражения характеристик точности САУ. Другую группу методов образуют различные варианты метода Монте-Карло, сущность которого сводится к непосредственному вводу случайных возмущений на входы модели исследуемой САУ. В результате многократного ввода реализаций входных случайных возмущений удается получить совокупность (ансамбль) выходных координат САУ. Подвергая далее эту совокупность статистической обработке, найдем статистические характеристики выходных координат САУ.

Решение задачи синтеза СДСАУ разработано наиболее основательно лишь для линейных САУ. В общем случае эта задача сводится к построению системы, обеспечивающей достижение оптимального значения критерия качества ее работы с учетом воздействия случайных возмущений. Выбор критерия качества САУ представляет собой отдельную про-

28

блему, решаемую, как правило, вне рамок задачи синтеза САУ. Часто на практике роль такого критерия играет среднеквадратичная ошибка (погрешность) выходной координаты системы.

Критерий устойчивости Михайлова – графоаналитическая процедура проверки выполнения условий устойчивости динамических систем с помощью годографа характеристического вектора без определения корней характеристического уравнения кривой (годографа) Михайлова. Пусть характеристическое уравнение исследуемой системы имеет вид

где ai i 0, 1, 2, , n – действительные числа; a0 0 .

Рассматривая левую часть уравнения (1.9) как функцию комплексной переменной , получим характеристическую функцию F системы

jImF(j )

F(j ) ReF(j )

0= 0

n = 4

Рис. 1.2. Кривая Михайлова

Подставив в равенство (1.10) j , причем – действительная переменная; j – мнимая единица ( j2 1 ), получим функцию F j , годограф которой называется кривой Ми-

29

хайлова. Этот критерий формулируется так: для того чтобы линейная система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы вектор характеристической функции F j при изменении от 0 до повернулся, нигде не обращаясь в нуль, вокруг начала координат против часовой стрелки на угол n / 2 , т.е. последовательно прошел через n квадрантов комплексный плоскости (рис. 1.2).

Идентификация объектов управления (ИОУ) – процедура построения математической модели объекта управления по реализациям его входных и выходных сигналов. В общем случае включает я решение следующих задач: выбор класса математической модели, класса входных сигналов, критериев соответствия модели и объекта, метода и алгоритмов решения. В узком смысле под ИОУ понимают решение задачи нахождения лишь в определенном смысле оптимальных параметров объекта при уже фиксированной его математической модели. Отличительной особенностью решения задачи ИОУ является наличие, как правило, более или менее значительных помех при измерении входных и выходных сигналов, что в большинстве случаев превращает эту задачу в нетривиальную. Наименее формализован первый этап решения задачи ИОУ – выбор класса моделей, в качестве которых в теории управления используют дифференциальные, разностные и интегральные уравнения, частотные характеристики, интерполяционные ряды и другие модели.

По способу получения экспериментальных данных об объекте исследования различают методы активного и пассивного эксперимента. При активном эксперименте на вход объекта подаются заранее определенные и в каком-то смысле оптимальные сигналы, в то время как при пассивном эксперименте используются сигналы, полученные в процессе нормального (естественного) функционирования объекта. Поскольку задачи идентификации приходится решать при наличии тех или иных неконтролируемых помех (возмущений), т.е. в условиях неопределенности, то для доопре-

30