Динамические системы. Руководство к практическому применению. Учебное пособие

где C и D – квадратные матрицы.

При этом для функционала (2.10) предполагается минимизация по переходному процессу, чему в (2.10) отвечает первый интегральный член

n

ciixi2dt,

0i 1

атакже по затрачиваемой на управление работе, чему в (2.10) соответствует второй интегральный член

m

diiui2dt.

0 i 1

Для вектора U при указанных условиях решение [14]

U D 1BT FX

при ограничениях вида

где G BD 1BT – матрица; K – матрица коэффициентов.

Это решение найдено при предположении наличия идеальной информации и без учета влияния динамических характеристик входящих в систему устройств, в частности

61

датчиков. Решение задачи данным методом при учете шумов измерений не дает правильного ответа. Действительно, на основании того, что для «белых» шумов их среднее значение равно нулю, еще нельзя сделать вывод о независимости вектора синтезируемых управлений от шумов, так как ничего не говорится о роли дисперсии шумов. Но можно уточнить это обстоятельство. В данном случае получаемая на выходе датчиков информация при ограничении мощности сигналов равна

J log 2 e z log 2 e n , (2.13)

где z , n – дисперсии полезного сигнала и шумов соответственно.

Выражение (2.13) указывает на связь информации с энергией сигналов и шумов. Поэтому применение фильтров, согласно (2.13), будет приводить к потере информации, а значит, к возникновению ошибок при моделировании классическими методами. Действительно, в реальных условиях всегда наблюдается взаимное перекрывание спектров полезного сигнала и шумов [11].

Пример

Приведем теперь некоторые из наиболее известных результатов, в частности работы [9], содержащих попытки учета реальных характеристик датчиков. Покажем, что они также не содержат оценки информации. Рассматривается дискретная стохастическая система:

где Xk 1 – вектор координат, индекс k 1 соответствует отсутствию априорных данных; Ф, Г – квадратичные матрицы; uk – значения синтезируемого управления; zk – измеренные датчиками значения; d – некоторый коэффициент.

Характеристики безынерционных датчиков учитываются вектором h , шума измерений – вектором k , причем Ф , hT

62

являются канонической парой; hT 1,0, ,0 . Матрица Ф представляется в виде

0

I

где I – единичная матрица, которую для наилучших оценок получают методом наименьших квадратов.

При гауссовском входе минимизируемый на каждом шаге итерационной процедуры функционал является квадратичным:

где Q и R – соответствующие ковариационные матрицы шумов w и v , являющихся причиной случайных ошибок; – некоторая константа.

Решением (2.15) служит рекуррентный алгоритм

где C(n) – вектор коэффициентов; матрица R характеризует шумы v , возникающие при синтезе управлений.

На выбор оптимальных управлений влияют как характеристики датчиков (вектор hT ), так и шумы измерений w и процесса синтеза управлений v. Для стационарных шумов определение Q и R проводится по одной реализации. Поэтому считается, что для канонической пары Ф, h итерацион-

63

ный процесс обеспечивает отыскание значения управления uk в едином масштабе времени. Несмотря на это утверждение, все же отметим, что вычисление матриц S и Ф , а также их произведений при достаточно высокой размерности вектора X приведет к большому объему вычислений. Общее время, затрачиваемое на вычисления, определяется продолжительностью вычисления одной итерации, умноженной на их число. Последнее зависит от скорости сходимости алгоритма и от величины итерационного интервала. Данный метод позволяет учитывать случайный характер состояний объекта только в шумах. Поэтому этим методом в лучшем случае можно как-то оценить влияние потери информации. Неопределенность состояния самой системы при этом не уменьшается, т.е. информации мы не получаем. Расчет стохастической системы, по существу, ведется детерминированным методом. Подобные методы не дают также оснований для выбора координат объекта, по которым должно строиться эффективное управление. Ведь ясно, что по всей совокупности координат {xi } , i 1, 2, , n , которая входит в формулу управления (2.11), задаваемую в координатной форме как

n

Uk ki fij xj , j 1

строить управление бессмысленно, так как размерность координатного пространства xi или пространства состояний объекта равна n. Конструктивного же подхода к выбору действительно эффективных координат для управления эти методы не содержат. Произвольное же сокращение числа координат или выбор некоторой их части приводит к неконтролируемой потере информации. Таким образом, классические и им подобные методы синтеза системы управления не базируются на действительной информации, поэтому не обеспечивают выбора координат для эффективного управления. В связи с этим можно использовать информацион-

64

ный подход к решению практических задач оптимизации динамических систем. Главная цель – определить структуру и параметры этой системы, удовлетворяющей оптимальному управлению. Предлагаемый метод предназначается для практического применения при построении комплексных динамических систем. К подобным системам относятся динамические системы управления большими промышленными объектами, насчитывающими десятки различных подсистем в своем составе. Сюда же относятся единые бортовые динамические системы для всережимного управления летательными аппаратами. Для конкретизации рассмотрим основные положения синтеза всережимной динамической системы самолетного типа. Разработку таких систем целесообразно проводить в два этапа. На первом этапе намечается совокупность главных параметров объекта управления, подлежащих измерению на различных режимах функционирования летательного аппарата. При этом могут быть рассмотрены различные варианты системы. На втором этапе уточняются набор измеряемых параметров, а также режимы работы динамической системы в реальном времени с бортовым микрокомпьютером.

Пример

При построении динамической системы, предназначенной для многорежимного функционирования, необходима

математическая модель объекта. Очевидно, что эта модель должна быть изоморфна некоторой рандомизированной, отвечающей векторной группе Ли L . Это дает возможность учесть случайный характер изменений состояния объекта в условиях динамики. Физически такой характер изменений состояния объясняется не только присутствием в любом реальном процессе шумов, но и возникновением флуктуаций различного вида. В связи с этим уравнение объекта в матричной форме запишем в виде

65

где XT x1,x2, ,xn – n-мерный вектор координат объекта; UT u1,u2, ,um – m-мерный вектор управлений;

V T v1,v2, ,vr – r-мерный вектор шумов и флуктуаций; A и B – квадратные матрицы коэффициентов объекта и управлений.

Для динамической системы в первом приближении примем уравнение

w– r-мерный вектор шумов измерительной системы;

И– квадратная матрица измерительной системы.

Учитывая, что линейные преобразования координатного пространства не сопровождаются потерей информации, диагонализируем матрицу A t . В результате получим A0 , B0 t , И0 t . В дальнейшем вместо (2.17) и (2.18) будем пользоваться уравнениями

которым соответствуют уравнения, записанные в координатной форме:

рых – диагональная, а две последние – треугольные.

Таким образом, выражение (2.19) описывает модель объекта через его главные параметры, причем из-за инвариантных свойств при этом не возникают потери информации. Это обстоятельство позволяет в информационном аспекте объ-

66

ект любой сложности описывать более простыми моделями, определение собственных значений матриц которых требует гораздо меньшего объема вычислений по сравнению с исходной моделью вида (2.17). Задача синтеза динамической управляющей системы состоит в определении оптимальных управлений, т.е. вектора U в уравнении (2.19). Учитывая, что все расчеты, связанные с минимизацией функционала вида (2.10), выполняются на персональном компьютере, будем далее все необходимые уравнения записывать в дискретной форме. Поэтому вместо выражений (2.19) и (2.20) будем иметь

где Ai A0 i t , Bi B0 i t , Иi И0 i t ; t – интервал дискретизации по оси времени t при переходе от непрерыв-

ной шкалы (формы); A, И образуют каноническую пару.

Соответственно функционал (2.10) перепишем в виде

Решение системы уравнений (2.22), (2.23) проще всего находится методом динамического программирования. Для поглощающего марковского процесса, которому в данной задаче подчиняется вектор X , решение всегда имеет место. Воспользуемся известным результатом, полученным Аоки [1], который по содержанию совпадает с (2.16) и представляет собой алгоритм выбора оптимального вектора управлений для многошагового марковского процесса. Служащее для выбора управления uk решение (2.16) было получено при скалярной оценке шумов. Последовательно раскрывая значения входящих в (2.16) матриц, можно в итоге записать

67

где матрица

где для ковариационных матриц имеет место соотношение

Обращает на себя внимание сложный рекуррентный алгоритм для отыскания значения xk согласно (2.27), (2.28). Поэтому первым результатом является выбор алгоритма синтеза оптимального вектора управлений uk , k 1, 2, , m . Приведенный алгоритм вида (2.25), (2.26) можно считать -оптимальным, так как ради упрощения задачи он был получен при неполном учете реальных характеристик шумов w , в частности видов законов их распределений. Безусловно, рассмотренный метод позволяет получить решение и с учетом более полных характеристик шумов. Согласно основным теоретическим положениям, развитым в подразделах 1.2 и 1.3, можно считать, что математическая модель (2.17), изоморфная (1.21), сохраняется неизменной на всех режимах функционирования летательного аппарата. В зависимости от режима полета изменяться будут только матрицы модели и сами переменные. При этом основным режимам полета можно сопоставить определенные наборы этих матриц. Случайные изменения их значений в пределах каждого из предлагаемых режимов возмож-

68

но полагать относительно небольшими. Поэтому следующим шагом построения динамической системы является определение программируемого набора матриц математической модели (2.17). Закодированные наборы этих матриц можно хранить в памяти бортового микрокомпьютера. Значения матриц модели объекта для различных режимов полета можно определить как аналитическим путем с помощью известных уравнений движения летательного аппарата, так и по экспериментальным данным летных испытаний. Применим первый путь и рассмотрим в общем виде процесс определения искомых матриц только для продольного движения летательного аппарата. Для продольного движения в неподвижной атмосфере уравнения действующих на летательный аппарат сил и моментов имеют вид [4]:

где m – масса летательного аппарата; V – вектор скорости полета; Q – сила тяги двигателя; D – сила лобового сопротивления; L – подъемная сила; G mg – вес летательного аппарата; Iz момент инерции относительно оси Z; Mz – сумма аэродинамических моментов относительно оси Z; H – высота полета; , , – углы тангажа, атаки, наклона траектории полета соответственно;– расход топлива.

Система уравнений (2.29) обычно рассматривается при

ограничениях: H 0 , 0 max ; 1 H 2 – для угла отклонения руля высоты. Для силы тяги двигателя примем за-

висимость:

С учетом турбулентности атмосферы зависимость (2.30) рассмотрена в [4]. Аналогичные зависимости имеют место для

69

лобового сопротивления, подъемной силы с учетом плотности атмосферы. Сумма аэродинамических моментов Mz зависит от угла атаки , производных и угла тангажа , а также от скорости полета V и отклонения руля высоты H :

Mz Mz V, , , , H .

Впервом приближении ограничимся рассмотрением малых отклонений от невозмущенного движения и введем для них обозначения:

x1 V; x2 ; x3 ; x4 H; x5 x3 .

При этом дискретные матричные уравнения первого приближения, согласно (2.22), запишем в линеаризованном виде:

Нулевые элементы матриц появились из-за отсутствия связей, а также вследствие пренебрежения весьма малыми приращениями ускорения продольного движения и скорости

70