Динамические системы. Руководство к практическому применению. Учебное пособие

ты вектора a , касательного к X . В соответствии с понятием однопараметрической подгруппы она обладает локальным гомоморфизмом w , сущность которого состоит в том, что

Интервал t является областью существования однопараметрической группы w . Поэтому однопараметрические подгруппы связаны с группой Ли L и не зависят от выбора в ней системы координат. Согласно теории Понтрягина – Ли [12] однопараметрическая подгруппа с касательным отображением (1.19) приводит к существованию дифференциального уравнения

dt

Поскольку никаких специальных ограничений не накладывается, рассматриваемый процесс может, например, быть марковским. Определяя преобразование (1.27) как элементарное для группы Ли, получаем аппарат, позволяющий на базе простейших объектов (групп матриц) формировать топологические объекты достаточно общего вида. Это позволяет подойти к теории построения систем любой сложности с учетом их динамики. В [9] показано, что асимптотическим распределением на выходе любого объекта, описываемого координатным преобразованием вида (1.27), является нормальное. А оно полностью определяется квадратичной формой и матрицей ковариаций. В группе Ли им соответствуют коммутаторы (векторные произведения). Очевидно, что в n -мерном векторном пространстве R над полем S операции коммутирования векторов a и b отвечает условие

M a a b M a,b M a ,b ,

где для и S выполняется равенство

41

M a,b M b,a 0.

Коммутатор векторов x и y , которые являются элементами группы Ли, равен

Для записи выражения (1.28) в координатной форме применим разложение функций в ряды Тейлора, оставляя только члены второго или третьего порядка малости. Полагая элементы x и y достаточно близкими единице e , получим

Mfi M[fi x, y M[fi x1, ,xn ; y1, , yn .

Кроме того, имеем

M[fi x,e Mxi ; M[fi e, y Myi .

Разложение в ряды Тэйлора на основании (1.28) дает

Mzi M x, y i M xi yi ajki xj yk M xi yi akji xj yk

Для функций, зависящих от t , получаем тот же результат:

M z t Mx t My t M x t 1 M y t 1 .

Используя соотношение (1.29) с учетом, что

Mzi lim M zi t ,

z 0 t2

42

находим

С помощью закона ассоциативности умножения в алгебре Ли можно получить соотношение для трех элементов x , y , z из L , полагая их координаты трижды дифференцируемыми. Применим метод Понтрягина. Полагая u yz , v xy ,xu , vz , представили с помощью разложения Тейлора (1.29) равенство , удерживая члены не выше третьего порядка малости. Эти выражения из-за их громоздкости не приводим, однако отметим, что в них тождественно выполняется равенство членов первого и второго порядков, среди членов третьего порядка учитывались только те, которые одновременно зависят от координат всех трех элементов x , y и z. Сравнение коэффициентов в получаемом таким образом соотношении, а также перестановки всеми возможными способами индексов i , j , k с учетом четности (положительности) и нечетности (отрицательности) членов соответственно четности или нечетности перестановки индексов приводит к тензорному соотношению [9]:

При рассмотрении формул (1.30) и (1.31) можно заключить, что соотношения структурных констант коммутативной группы Ли равны нулю. Следовательно, локальная структура группы Ли определяется приведенными тензорными соотношениями. Одновременно группа Ли изоморфна n -мерной векторный группе. Эти результаты важны. Действительно, наши оценки неизвестного состояния, значений неизвестных параметров всегда носят вероятностный характер, т.е. это те или иные приближения. Реальный нано-ато- момолекулярный мир, определяющий своими законами все характеристики наблюдаемого макромира в статистическом аспекте, определим только по вероятности. Поэтому вероятностная оценка ситуаций, событий, процессов является

43

единственной, которой в действительности мы пользуемся, сознавая это или нет, во всех наших суждениях, оценках, измерениях реального. Динамика процессов определяется переходом от одного состояния к другому. Ненулевые приращения или ненулевые производные, когда они существуют, характеризуют движение. Алгебра непрерывных групп Ли, расширенная до L , является именно тем математическим описанием, которое наиболее полно характеризует рандомизированные процессы. Информация является первичным отображением этого математического описания. Формирование этой информации основано на свойствах компактных групп Ли. Условие компактности выполняется, если в векторном пространстве R инвариантное относительно группы Ли скалярное произведение u,v превращает L в евклидово пространство, т.е.

Скалярное произведение M u,v двух векторов u,v представляет собой симметричную билинейную форму и определяется, согласно (1.29), через тензоры:

Инвариантным относительно выбора системы координат является след Sp p p , причем pjj – матрица, отвечающая преобразованию p в некоторой координатной системе. Поэтому инвариантной билинейной формой может быть только след линейного отображения pu pv пространства L в себя:

Инвариантность скалярного произведения для трех произвольных элементов u,v,w как следствие билинейной формы дает

44

В координатной форме (1.35) будет равно

Cijk Muj Mvk Mwi Cijk Mvi Muj Mwk

Muj Mvk Mwi Cijk Ckji 0; Cijk Cjki

Сучетом (1.36) получаем свойство кососимметричности Cijk по каждым двум индексам: и т.д. (1.36)

На основании соотношений (1.33) и (1.37), найденных согласно аксиоматике Понтрягина, для данной координатной системы логично показать, что скалярный квадрат в L равен

Следовательно, вектор x принадлежит центру рандомизированной группы Ли, который определяется через M a,b 0 ( a,b L, a,b – векторы). Эти выводы совпадают с содержанием характеристического оператора (1.28). В случае принадлежности x к центру преобразование px 0 и при произвольном x1в L получим, что M x1,x1 Sp ( px px ) . Отсюда L0 – центр рандомизированной группы Ли, а произведение (1.39) является положительно определенной квадратичной формой. В связи с этим появляется возможность построения группы Ли L любой сложности. Для этого в алгебре Ли можно использовать канонические координаты, а также структурное свойство каждой группы Ли, в том числе и компактной. Это свойство действительно в алгебре Ли над любым полем, поэтому применим его и для рандомизированного поля. При этом свойство композиции представляет собой сумму центра L0 и простых некоммутатив-

45

ных групп Ri , которые допускают скалярное произведение M u,v , преобразующее L в евклидово пространство. Указанные выше ортогональные преобразования пространства L образуют группу всех автоморфизмов в L , положительность детерминантов которых является признаком инвариантности векторных произведений и вращения евклидова пространства. Одним из наиболее важных результатов тео-

рии групп Ли L является возможность декомпозиции, позволяющей исследовать группы Ли произвольной сложности

на основе анализа простых подгрупп Ли, на которые распадается исходная сложная группа. Это является ключевым

моментом как в описании, так и в синтезе динамических систем любой сложности. Свойству композиции групп Ли отвечает аддитивность информации, отображающей тензорную структуру математического описания динамической системы и ее изменения. Это свойство рандомизированных групп Ли, к которым относятся модели различных, а возможно, всех известных динамических систем, а также изоморфность группы Ли n -мерной векторной группе, позволяет применить центральную предельную теорему теории вероятностей и рассматривать при n закон преобразования векторных координат из R в L в виде многомерного нормального распределения:

где X x1, x2, , xn – n -мерная случайная величина; Cij –

n n

матрица тензорных элементов; Cij xi мi Ф xj мj –

i j

положительно определенная квадратичная форма; – вектор средних значений; – индекс транспонирования.

Информация об изменениях состояния динамической системы, математически моделируемой группой Ли, согласно [6], определяется как

46

Первичное значение информации является следствием ее представления через положительно определенные квадратичные формы, преобразование которых отражает изменения состояния системы. Можно говорить о наличии некоторого информационного пространства, возникшего в результате воздействия оператора (1.19) и отображения законов преобразования алгебры Ли. Его использование на практике будет более полезным по сравнению с пространством состояний (координатным пространством), так как описывается меньшим числом параметров.

1.3. Тензорное представление информации как характеристики динамических систем

Обобщенную математическую теорию динамических систем можно сформулировать на основе рандомизированной группы Ли L, представленной бесконечным рядом тензорных структурных соотношений вида (1.31). Поэтому обобщенную теорию динамических систем можно называть тензорной. Используя локальную рандомизированную группу Ли в качестве основного элемента обобщения, на основе свойства ассоциативности в этой группе для m раз дифференцируемых координат, по аналогии с изложенными в подраз-

47

Полный ранг тензора группы Ли L определяется размерностью пространства и может быть очень большим. Из формул (1.41)–(1.43) следует, что условия существования и коммутативности группы Ли L приводят к структуре, кратной тензору второго ранга. Такое представление позволяет сводить обобщенное пространство в евклидову. Поэтому тензоры вида Cij являются фундаментальными. В рассматриваемой обобщенной теории динамических систем важным является вопрос существования преобразований, обеспечивающих инвариантность фундаментального тензора. Известно [16], что условием этого является тождественное обраще-

или в эквивалентном виде

48

Система (1.44) является частным случаем системы уравнений

f i f1, ,fn ; x1, ,xr ; 1, , w; i 1, , r, (1.45)

xi

где f – точка с искомыми координатами f1, , fn ; x – точка с независимыми координатами x1, , xr ; функцииi определены в w -мерной области Rw при значенияхf и имеют непрерывные первые частные производные по всем аргументам.

на основании (1.46) условие интегрируемости системы (1.44) можно записать в виде

f

В случае если производные xi не выражены явно, то для определения условий интегрируемости можно приме-

49

нить известный метод Понтрягина [12], который сводится к введению некоторых дифференцируемых по всем аргу-

ментам вспомогательных функций j z j z1, , zw , детерминант матрицы которых j z 0 во всей области Z .

С помощью этих функций удается записать следующую систему уравнений:

j f df j j x dxj , 1, 2, , w, (1.49)

где df j и dxj – полные дифференциалы функции f j x и пе-

где ej – единичная матрица.

Дифференцирование выражения (1.50) по zl дает соотношение

просуммировать по , то после перемены индексов ее можно привести к виду (1.45):

Аналогично (1.48) для системы (1.52) можно найти условие интегрируемости. Промежуточные выкладки не приводим из-за их громоздкости. Окончательно это условие записывается как

50