Динамические системы. Руководство к практическому применению. Учебное пособие

ния одной или нескольких координат объекта управления с целью поддержания желаемого режима работы объекта. Под желаемым следует понимать такой режим, при котором достигается цель управления: обеспечивается поддержание заданных значений регулируемых величин (системы стабилизации, программного и следящего управления) или оптимизируется определенный критерий качества управления (системы экстремального регулирования или системы автоматической оптимизации). При значительных изменениях параметров объекта управления, характеристик возмущений и помех применяются самонастраивающиеся (адаптивные) САУ. Для управления сложными объектами разрабатываются сложные системы управления различной структуры. По принципу управления, положенному в основу САУ, их делят на замкнутые САУ, работающие по принципу управления по отклонению, разомкнутые САУ, работающие по принципу управления по возмущению, и комбинированные, использующие оба принципа. В зависимости от свойств элементов системы могут быть линейными и нелинейными, системами с сосредоточенными или распределенными параметрами, системами с постоянными или переменными параметрами и с переменной структурой. По способу преобразования сигналов САУ делятся на непрерывные, импульсные и цифровые (дискретные).

Уравнение динамики САУ – уравнение, определяющее зависимость выходной величины САУ (регулируемой величины) от входной величины (регулирующего или управляющего воздействия), возмущений и времени. Сложную систему управления всегда можно представить состоящей из простейших взаимосвязанных систем-звеньев, каждое из которых имеет свой вход и выход и описывается своим уравнением динамики. Уравнение динамики системы управления получается из системы уравнений динамики звеньев путем исключения промежуточных переменных.

Теория чувствительности динамических систем – раздел теории автоматического управления, изучающий влия-

11

ние вариации параметров на динамические свойства систем. Под вариацией параметров понимают любые отклонения их от значений, принятых за исходные. Вариации параметров могут быть конечными или бесконечно малыми, при этом порядок дифференциального уравнения, описывающего их, либо остается неизменным, либо меняется. В теории чувствительности исходной динамической системой называют систему, параметры которой равны заданным и не претерпевают изменения; движение в ней называют основным движением. Ту же систему при измененных значениях параметров называют варьированной, а движение в ней – варьируемым. Разность между варьируемым и основным движением называется дополнительным движением. Основная задача теории чувствительности – анализ дополнительного движения, вызванного вариацией параметров. Применительно к линейным системам введено понятие чувствительности как отношение относительной вариации параметра ai к вызванной им относительной вариации передаточной функции W(s):

В качестве прямых оценок чувствительности используют функции чувствительности u t, ai , определяемые в случае бесконечно малых вариаций параметров следующим образом. Пусть исходная динамическая система описывается дифференциальным уравнением

При изменении a0 на величину a изменяется уравнение

F y, y, y, t, a0 a 0

12

полнительное движение. Предел отношения этой разности

решив дифференциальные уравнения, называемые уравнениями чувствительности, которые легко получить из исходных уравнений (1.1), если решения их являются непрерывными функциями параметров. Особенностью эти уравнений является то, что они всегда линейны, даже если исходное уравнение (1.1) является нелинейным. Для анализа чувствительности применяются косвенные, например частотные, оценки:

где K j – амплитудно-фазовая характеристика всей системы; W j – амплитудно-фазовая характеристика варьируемого звена.

Теорию чувствительности широко применяют в САУ. Важной задачей является синтез систем, обладающих минимальной чувствительностью к вариации параметров. Такой синтез можно осуществить при определенных условиях, налагаемых на некоторый функционал I y t , характеризующий дополнительное движение. На основе требования равенства нулю этого функционала синтезируются системы, обладающие свойством параметрической инвариантности, т.е. нечувствительные к вариации параметров. Теоретическим фундаментом теории чувствительности являются классические методы теории малых возмущений. Поэтому существует связь между чувствительностью и теорией устойчивости в малом по Ляпунову. Теорию чувствительности применяют при построении беспоисковых адаптивных систем.

13

Инвариантность САУ – свойство САУ, заключающееся в независимости (инвариантности) вынужденных движений одной или нескольких управляемых координат от действующих на систему внешних возмущений. Теория инвариантности САУ предложена проф. Г. В. Щипановым и развита работами В. С. Кулебакина, Б. Н. Петрова, Н. Н. Лузина и других ученых. При линейной трактовке задачи систему управления можно описать системой дифференциальных уравнений:

A p y t F t ,

где y t , F t – векторы-столбцы переменных системы и возмущений соответственно; A p – матрица, элементы которой aij aij p , p d / dt .

Необходимым и достаточным условием независимости (инвариантности), например величины y1 t от внешнего воздействия F1 t , является тождественное равенство нулю минора определителя системы уравнений, соответствующего элементу a11 p :

Условия инвариантности аналогичны и для других переменных y2 t , y3 t , … относительно возмущений F2 t , F3 t , … Вопрос о физической осуществимости систем, удовлетворяющих условиям инвариантности, является главным для теории инвариантности. В одноконтурных системах по отклонению с одной регулируемой координатой условие инвариантности в общем случае нельзя реализовать абсолютно точно, а лишь с точностью до некоторой величины , поскольку для такого рода систем условие инвариантности может вступить в противоречие с условиями устойчивости.

14

В зависимости от числа контуров обратных связей условия инвариантности могут включать параметры объекта или вовсе не содержать их. В первом случае условия инвариантности называются слабыми, и для их реализации требуется по крайней мере два канала распространения воздействий между точкой приложения возмущения и точкой измерения регулируемой координаты, которая должна быть инвариантной относительно этого возмущения. Например, условие инвариантности можно выполнить, если ввести в систему дополнительные связи по возмущению, т.е. преобразовав систему в комбинированную. Затруднений при решении задачи инвариантности для таких классов систем, как правило, не возникает, так как в данном случае нет противоречия между требованиями, вытекающими из условий инвариантности и условий устойчивости. Другими словами, такие системы физически реализуемы. В этом существенное преимущество комбинированных систем управления. Однако сложность реализации условий инвариантности в таких системах заключается в необходимости непрерывного измерения величины возмущений, а это довольно часто невыполнимо. Иногда для создания второго канала применяют косвенное измерение возмущений при помощи «вилки», образуемой отрицательной обратной связью и положительной обратной связью, включенными навстречу друг другу и охватывающими объект управления. Во втором случае условия инвариантности называются сильными (щипановскими). Для их реализации требуется особая настройка контуров, в которые параметры объекта управления не входят, но, как правило, для нее необходимы дополнительные средства обеспечения устойчивости, например управления по производным.

Для методов инвариантности важнейшей и присущей именно им особенностью является то, что синтез инвариантных систем возможен при отсутствии информации относительно внешних возмущений, а в многоконтурных системах – и относительно изменений структуры и параметров объекта. Проблема инвариантности системы стабилизации

15

состоит в синтезе САУ при условии равенства нулю ошибки, вызванной действием внешних возмущений. В системах программного управления ставится задача передачи управляющего воздействия без искажений и запаздывания. Синтез таких систем осуществляется из условия равенства нулю ошибки воспроизведения. Методы синтеза в этом случае эквивалентны методам решения задачи инвариантности для систем стабилизации.

Синтез непрерывных систем управления – определение структуры, значений параметров и состава элементов непрерывной системы управления (СУ), при которых она удовлетворяет предъявленным к ней требованиям. Задачами синтеза являются построение математической модели системы (определение структурной схемы и значений параметров) и реализация модели средствами автоматики. Определение значений параметров при известной структуре (параметрический синтез) можно вести методами анализа. Поскольку объект управления обычно задан, задача синтеза сводится к синтезу управляющей части системы. Синтез СУ начинается с изучения объекта и формулирования требований к системе. Из анализа математической модели объекта определяют его программные движения. В реальных условиях программные движения абсолютно точно выполнить невозможно. Поэтому следующим этапом является построение управляющей системы, обеспечивающей при наличии начальных отклонений и внешних воздействий выполнение программы с необходимой точностью. Синтезируемая модель должна быть устойчивой и удовлетворять требованиям качества переходных процессов. Ряд требований, предъявляемых к СУ, например точность и стоимость, находится в противоречии; некоторые требования (удобство эксплуатации и др.) с трудом поддаются формализации. Однако ряд задач синтеза можно формализовать. Одно из направлений формализованного синтеза состоит в следующем. Исходя из требований к динамическому качеству системы определяют желаемую (эталонную) модель системы, например ее пе-

16

редаточную функцию. Сравнивая желаемую модель с моделью неизменяемой части системы, подыскивают физически реализуемые модели корректирующих элементов, позволяющие приблизить синтезируемую систему к эталонной. Такие методы наиболее подробно разработаны для линейных систем, но применяют их и для нелинейных систем.

Другое направление формализованного синтеза состоит в построении систем, оптимальных по какому-либо критерию. Теория оптимальной фильтрации Колмогорова – Винера позволяет синтезировать системы, обеспечивающие воспроизведение полезного сигнала на фоне шума с наименьшей ошибкой. Принцип максимума Понтрягина и метод динамического программирования дают возможность синтезировать системы, оптимальные по быстродействию или расходу энергии и т.п. Метод аналитического конструирования регуляторов позволяет синтезировать управление из условия минимизации интеграла от квадратичной формы переменных. При использовании этого метода основную проблему составляет выбор весовых коэффициентов минимизируемого функционала. Этот выбор осуществляется по дополнительным критериям качества процессов в системе либо определяется физическим содержанием задачи. Особым разделом является синтез адаптивных систем управления, без применения которых не удается удовлетворительно решать задачу управления объектами в том случае, когда априорные оценки их параметров заведомо весьма грубые, либо известно, что они изменяются во времени. Специфическим методом синтеза СУ является метод, обеспечивающий инвариантность СУ по отношению к тем или иным возмущениям. О нем было сказано выше. Для многомерных СУ иногда возникает необходимость выбора регулятора, обеспечивающего автономность системы. Синтез оптимальных систем иногда приводит к труднореализуемым моделям. В таких случаях -оптимальная система может служить эталоном для оценки близких к ней и легкореализуемых квазиоптимальных систем. Однако методы таких оценок разработаны еще недостаточно.

17

Система автономная – 1) динамическая система с постоянными параметрами, свободная от влияния внешних воздействий. В математике термин «автономная система» применяется для определения класса систем дифференциальных уравнений вида

X t F X t , X t0 X0 , t t0 ,

где X(t) – вектор фазовых координат; F – нелинейная век- тор-функция, не содержащая в явном виде независимой переменной t;

2) в автоматическом управлении – многосвязная САУ, обладающая свойством автономности.

Система неавтономная – 1) динамическая система с переменными во времени параметрами и/или находящаяся под влиянием переменных внешних воздействий. Процессы, происходящие в такой системе, описываются уравнением вида

X t F X t ,t , X t0 X0 , t t0 ,

где X(t) – вектор фазовых координат; F – нелинейная, как правило, вектор-функция, зависящая не только от ее начального состояния X0 , но и от величины t;

2) в автоматическом управлении этим термином обозначают иногда системы управления, для которых условия автономности не выполняются.

Адаптивная система – система, которая может приспособляться к изменениям внутренних и внешних условий при помощи изменения своей структуры и значений параметров. В сложных многоконтурных системах управления с жесткой структурой адаптация не требуется, так как специальная настройка контуров обеспечивает инвариантность.

Адаптивная система управления – САУ, способная в процессе выполнения основной задачи управления восполнять недостаток априорной информации об объекте управления (ОУ) и действующей на него среде и благодаря этому

18

улучшать качество своего функционирования. Чаще всего основной задачей адаптивной системы управления (АдСУ) является уточнение достаточно грубых априорных оценок неизвестных, но постоянных параметров ОУ, или построение непрерывной последовательности оценок этих параметров в случае их заранее непредсказуемого изменения во времени по произвольным законам и использования их при формировании управления. Применение АдСУ является наиболее эффективным средством решения задач управления объектами с плохо изученными априорными свойствами либо нестационарными объектами. Все известные АдСУ принято разделять на два больших класса: параметрические и непараметрические АдСУ. В параметрических АдСУ используется устройство управления (УУ) или алгоритм управления с фиксированной (с точностью до параметров ОУ) структурой, далее на основании получаемых в ходе идентификации параметров ОУ организуется процесс изменения (подстройки) этих параметров с целью приближения их к оптимальной настройке. В непараметрических АдСУ структура (алгоритм функционирования) УУ заранее не фиксируется, а текущее значение управления определяют из решения задачи оптимизации функционала качества работы системы управления, используя уже имеющиеся в этих моментах времени оценки параметров ОУ. По мере уточнения оценок параметров ОУ изменяется и алгоритм управления им.

Структура и алгоритмы функционирования АдСУ существенно зависят от положенных в основу их построения математических моделей той неопределенности, которая присуща либо свойствам ОУ (его параметрам), либо свойствам воздействующей на него среды. В настоящее время в большинстве известных АдСУ используется стохастическая модель неопределенности, в соответствии с которой все неопределенные (неизвестные) величины и процессы отождествляются со случайными величинами и случайными процессами. Все шире распространяются АдСУ с нестохастическими моделями неопределенности. При этом в ряде

19

случаев внешней среде (природе) приписываются «злокозненные» намерения в том смысле, что в пределах принятых ограничений природа стремится действовать так, чтобы максимизировать тот критерий качества работы САУ, который должен быть минимизирован выбором соответствующего управления. Таким образом, целесообразно использование игрового подхода к организации процесса адаптации. Типичным примером технических систем, обладающих свойством адаптации, служит адаптивный автопилот, изменяющий свои параметры при изменении аэродинамических свойств летательного аппарата в связи с изменяющимися условиями полета (скорости, высоты, углов тангажа, атаки, наклона траектории полета, подъемной силы, силы лобового сопротивления и т.д.). В результате сохраняются неизменными (или почти неизменными) динамические свойства всей замкнутой системы «летательный аппарат + автопилот».

Линейная система управления (ЛСУ) – система, в которой процессы описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными или переменными коэффициентами. В ЛСУ выполняется принцип суперпозиции (аддитивности), т.е. ее реакция на некоторое суммарное входное воздействие равна сумме ее реакций на каждую из составляющих этого суммарного воздействия.

Анализ линейных систем управления – раздел теории автоматического управления, изучающий характер возможных процессов в ЛСУ и получение различных качественных и количественных характеристик. Задачи анализа – определение условий существования и устойчивости тех или иных режимов работы систем управления (состояний равновесия, периодических режимов и т.д.), определение реакций ЛСУ на те или иные воздействия, определение качества переходных процессов. Если воздействия носят случайный характер, подробное изучение таких задач является предметом рассмотрения специального раздела теории управления – статистической динамики САУ.

20