Динамические системы. Руководство к практическому применению. Учебное пособие

в котором множители Лагранжа равны

функцией матрицы управления B t , то задачу определения

ее оптимального значения необходимо решать итерационным способом. Если положить коэффициент пропорциональ-

Итерационный процесс продолжается до выполнения условия

где 0 – заданное число.

91

Из условия минимизации функционала (2.24) для оп-

u

где ковариационная матрица вычисляется из рекуррент-

где V ; W – ковариационные матрицы шумов измерений и всевозможных помех, флуктуаций.

Используя (2.75) и (2.76), получим следующие зависимости:

u M[U t ] – M[U]

92

где t – матрица, которая определяется формулой

u1 u

(2.76). Применяя в данном итерационном процессе значения (2.77), (2.76) и (2.79), определяемые на каждом шаге k, удается найти оптимальную матрицу коэффициентов управлений B и вектор управлений v . В результате воздействия

ний будет приведен в требуемое состояние, определяемое программной моделью (2.39). Формулы (2.68)–(2.80) логично значительно упростить, если вместо квадратичных применить линейные информационные модели вида (2.45) или (2.46). Это скажется на упрощении структуры динамической системы, что может оказаться решающим фактором в условиях управления движущимся объектом в реальном масштабе времени. Ошибки управления надо снижать, как и потери информации, возникающие при ограничениях в описании объекта из-за сокращения объема характеризующих его признаков, их низкой информативности, а также вследствие шумов. Но надо снижать и время принятия ращений по маневрам, изменениям параметров объекта, его состояния.

Контрольные вопросы

1.Приведите процедуру нахождения ошибки при определении вектора параметров объекта на основе соотношений (2.51)–(2.53) в условиях влияния шума и корреляции выходного процесса с прошлыми значениями шума.

2.Как вычисляется оператор несмещенной оценки ковариационной матрицы (2.56)? За счет чего достигается ослабление корреляции матрицы Ak и шума nk?

3.Покажите, что собственные значения матрицы из (2.63) при всех k удовлетворяют условию 0 < <1.

4.В каких случаях, учитывая, что вектор шума неизмерим, возможно его характеристики описать белым шумом?

93

Какие изменения при этом надо внести в матрицу пространства координат объекта?

5.Приведите зависимость ошибки моделирования объекта при разных уровнях шума.

6.Каковы физическая и математическая модели белого шума? В чем смысл понятия белого шума? Что такое винеровский процесс и гауссовский шум?

7.По каким причинам состояние объекта, например летательного аппарата, можно отличать от его модели и как эти причины устранить?

8.Приведите основные функции адаптивной бортовой динамической системы.

9.Покажите последовательное выполнение итерационного процесса при определении матрицы управлений B(t).

10.Как записываются средние значения вектора управ-

t ] и матрица ковариаций с учетом динами-

u

ки через текущий вектор измерений и матицу измерительной системы?

11. Приведите условия, которым должны удовлетворять оптимальные значения матрицы управлений B(t).

94

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Анализ совокупности научно-технических проблем, возникающих в процессе научных исследований, позволяет сделать вывод, что большинство из них находится в области развития и применения математических основ общей теории динамических систем, их моделирования и выбора методов проектирования, механизмов функционирования при решении широкого круга задач: от управления технологическими процессами и объектами в условиях случайных воздействий до создания гибких автоматизированных производств. В данном учебном пособии акцент сделан не только на овладение аспирантами теоретическими принципами определения формальных аппаратов описания динамических систем при проведении междисциплинарных исследований. Автор попытался сделать некоторое руководство по практическому применению этих математических формализмов, т.е. языков описания динамических систем любой сложности и назначения. Достаточное внимание уделено основным положениям топологической теории описания таких систем, в основе которой лежат рандомизированные группы Ли и тензорное представление информации как характеристики динамических систем в специализированной системе координат. Это позволяет подойти к решению задач построения -оптимальных по структуре и параметрам систем управления.

Учебное пособие отражает основное содержание дисциплины «Динамические системы». Основной образовательной задачей дисциплины является развитие у аспирантов способности видения проблем применения математической теории систем в разных аспектах – методологическом, инструментальном, стоимостном, внедренческом на основе сформированных у них компетенций по направлению подготовки 09.06.01 «Информатика и вычислительная техника».

95

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Аоки, М. Оптимизация стохастических систем / М. Аоки. – М.: Наука, 1971. – 424 с.

Винограй, Э.Г. Основы общей теории систем / Э.Г. Винограй. – Кемерово, 1993. – 290 с.

Волкова, В.Н. Основы теории систем и системного анализа / В.Н. Волкова, А.А. Денисов. – СПб.: ИПЦ СПбГТУ, 1997. – 290 с.

Красовский, А.А. Аналитическое конструирование контуров управления летательными аппаратами / А.А. Красовский. – М.: Наука, 1967. – 423 с.

Красовский, Н.Н. Теория оптимальных управляемых систем / Н.Н. Красовский. – М.: Наука, 1968. – 244 с.

Куллбак, С. Теория информации и статистика / С. Куллбак. – М.: Наука, 1967. – 423 с.

Куприянов, В.В. Методологические аспекты диспетчерского контроля газовоздушных ситуаций на участках шахты / В.В. Куприянов, И.В. Баранникова // Горный ин- формационно-аналитический бюллетень. – 2016. – №9. – С. 46–58.

Куприянов, В.В. Тензорные методы для построения измерительных устройств и систем / В.В. Куприянов // XVIII Всероссийская научная конференция «Нейрокомпьютеры и их применение»: тез. докл. – М.: ФГБОУ ВО МГППУ, 2020. – С. 237–238.

Ли, P. Оптимальные оценки, определение характеристик и управление / Р. Ли. – М.: Наука, 1968. – 412 с.

Луценко, Е.В. Математическая сущность системной теории информации / Е.В. Луценко. – Краснодар: Кубанский государственный университет, 1990. – 466 с.

Петров, В.В. Основы динамической точности автоматических информационных устройств и систем / В.В. Петров, А.А. Усков. – М.: Машиностроение, 1976. – 216 с.

Понтрягин, Л.С. Непрерывные группы / Л.С. Понтрягин. – М.: Наука, 1973. – 325 с.

96

Пугачев, В.С. Основы статистической теории автоматических систем / В.С. Пучагев, И.Е. Казаков, Л.Г. Евланов. – М.: Машиностроение, 1974. – 400 с.

Розенберг, Я.И. Автоматическое управление / Я.И. Розенберг. – М.: Наука, 1971. – 396 с.

Рузский, Ю.Е. Теория информации и вопросы управления. Ч. II / Ю.Е. Рузский. – М.: МАИ, 1973. – 193 с.

Сокольников, И.С. Тензорный анализ / И.С. Сокольников. – М.: Наука, 1971. – 412 с.

Фельдбаум, А.А. Основы теории оптимальных автоматических систем / А.А. Фельдбаум. – М.: Наука, 1966. – 623 с.

Фильчаков, П.Ф. Численные и графические методы прикладной математики / Ф.П. Фильчаков. – Киев: Наукова думка, 1987. – 794 с.

Химмельблау, Д. Анализ процессов статистическими методами / Д. Химмельблау. – М.: Мир, 1983. – 957 с.

Шеннон, К. Работы по теории информации и кибернетике / К. Шеннон. – М.: ИИЛ, 1963. – 827с.

Guiasu, S. Information theory with applications / S. Guiasu. – New Yourk: McGraw-Hill, 2017. – 312 p.

97