Алгебра системы линейных уравнений, арифметические пространства, многочлены с комплексными коэффициентами. Курс лекций. Учебное пособие

Министерство просвещения Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования «Московский педагогический государственный университет»

Л. М. Цыбуля, Е. Е. Ширшова

Алгебра:

системы линейных уравнений, арифметические пространства,

многочлены с комплексными коэффициентами

Курс лекций

Учебное пособие

МПГУ Москва ∙ 2022

УДК 512(075.8) ББК 22.14я73 -2 Ц938

Рецензенты:

А. А. Фомин, профессор, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой алгебры Московского педагогического государственного университета

И. А. Пинчук, доцент, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей алгебры, элементарной математики и методики преподавания математики Московского государственного областного университета

Цыбуля, Лилия Михайловна.

Ц938 Алгебра: системы линейных уравнений, арифметические пространства, многочлены с комплексными коэффициентами. Курс лекций : учебное пособие / Л. М. Цыбуля, Е. Е. Ширшова. — Москва : МПГУ, 2022. — 100 с.

ISBN 978 -5 -4263 -1053 -7

Учебное пособие содержит конспективное изложение части основного курса алгебры в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом высшего образования, а также перечнем профессиональных компетенций, установленных в качестве обязательных. В пособии отражены темы: системы линейных уравнений, отношения на множествах, подстановки и определители, арифметические пространства, комплексные числа, теория делимости целых чисел и многочленов с комплексными коэффициентами.

Пособие подготовлено на кафедре алгебры МПГУ и предназначено для студентов учреждений высшего образования, изучающих математические дисциплины.

УДК 512(075.8) ББК 22.14я73 -2

Оглавление

2.4.Метод Гаусса исследования и решения систем линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5.Матрицы системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . 24

4.1.Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2.Композиция функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3.Обратимые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.1.Определители квадратных матриц . . . . . . . . . . . . . . 41

5.2.Свойства определителей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.3.Алгебраическое дополнение элемента определителя . . . . 47

3

7.1.Элементарные преобразования систем векторов . . . . . . 59

7.2.Строчный и столбцовый ранги матрицы . . . . . . . . . . . 61

7.3.Ранги матриц системы уравнений . . . . . . . . . . . . . . 66

7.4.Теорема о ранге матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

8.1.Построение модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

8.2.Тригонометрическая форма комплексного числа . . . . . . 75

8.3.Правила действий над комплексными числами в тригоно-

метрической форме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

8.4.Извлечение корня -й степени из комплексного числа . . . 79

8.5.Корни -й степени из единицы . . . . . . . . . . . . . . . . 80

9.3.Деление нацело . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

9.4.Наибольший общий делитель . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4

Предисловие

Поскольку изучение свойств абстрактных алгебр вызывает у студентов определенные трудности, то основной целью авторов пособия является попытка преодолеть эти трудности. Прежде всего, авторы стараются избежать излишней формализации.

Материал данного учебного пособия строится как естественное продолжение школьного курса математики. В теме «Целые числа» систематизируются знания студентов, приобретенные ими в школе. С другой стороны, на теоремы этой части мы опираемся при изложении раздела «Многочлены».

При изучении систем линейных уравнений, определителей матриц, арифметических пространств используются действительные числа. Приведенные доказательства в идейном смысле просты и носят по существу вычислительный характер.

А с другой стороны, авторы обращают особое внимание на свойства действий над подстановками, классами вычетов, векторами, комплексными числами, подготавливая почву к введению абстрактных понятий: групп, колец, полей и т.д. Это обусловлено тем, что материал данного пособия послужит основой построения всего курса алгебры.

Учебное пособие может быть использовано как для чтения лекций и проведения практических занятий, так и для самостоятельной работы студентов, так как содержит большое количество подробно разобранных примеров.

Искренне благодарим своих коллег, которые способствовали написанию данного пособия.

5

Сначала несколько слов о терминологии, которую будем использовать.

Первое необходимое нам основное понятие — понятие множество. Это понятие неопределенное. Можно описать множество как совокупность некоторых предметов, явлений, понятий, которые называются элементами данного множества. Множества обозначаются большими ла-

тинскими буквами, элементы — малыми латинскими буквами.

Если является элементом множества , то будем писать . Еслине принадлежит , то будем писать / .

Определение 1. Говорят, что множество включено в множество ( является подмножеством ) и пишут , если любой элемент из принадлежит .

Если , но ̸= , то пишут .

Определение 2. Множество называется равным множеству ( = ), когда каждое из них является подмножеством другого (если эти множества состоят из одних и тех же элементов).

Принято рассматривать также пустое множество ?.

Задать множество можно различными способами: перечислить элементы, описать характерные свойства.

Считаем, что вы знакомы с понятиями целые, рациональные и действительные числа.

Например: 1) {1, 2, 3, 4, 5} — множество натуральных чисел от единицы до пяти.

2) 2Z = { Z | = 2 } — множество четных чисел.

Буквами N, Z, Q, R принято обозначать множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел соответственно.

1. Целые числа

1.1. Метод математической индукции

Рассмотрим принцип доказательства по индукции.

Пусть в тексте теоремы содержится натуральное число .

1)Доказать, что теорема верна при = 1.

2)Допустить, что теорема верна для = .

6

3) Доказать, что если теорема верна для = , то она верна для числа = + 1.

Делается вывод: теорема верна для всех натуральных чисел.

Теорема 1.1.1. В любом непустом подмножестве множества N существует наименьшее число.

Доказательство. Если 1 , то утверждение верно, так как 1 6 для любого числа N.

Пусть 1 / .

Рассмотрим подмножество множества N, в котором каждое число меньше любого числа из множества .

Так как 1 , то ̸= ?.

Если для любого число + 1 , то = N, что неверно. Значит, существует , для которого + 1 / .

Тогда + 1 , и оно является наименьшим.

Теорема 1.1.2. Если теорема верна для единицы, и из допущения, что теорема верна для всех чисел < ( > 1), следует, что теоремаверна для числа , то теорема верна для всех натуральных чисел.

Доказательство. Пусть, от противного, есть натуральные числа, для которых теорема неверна.

Обозначим буквой множество чисел, для которых теорема неверна. По доказанному выше, в существует наименьшее число . При

этом > 1, так как для единицы теорема верна по условию.

Таким образом, для всех чисел строго меньших числа , теорема верна. Следовательно, по условию, теорема верна для числа . Но это противоречит выбору числа .

1.2. Деление с остатком

Теорема 1.2.1. Для любых чисел , Z, где ̸= 0, существует единственная пара чисел , Z, удовлетворяющая условиям:

В этом случае, — делимое, — делитель, — (неполное) частное, — остаток.

Доказательство. 1) Если = 0, то = · 0 + 0, т.е. = = 0. 2) Если 0 < , 0 < , проведем индукцию по числу .

7

Пусть = 1. Если = 1, то = 1 · 1 + 0, т.е. = 1 и = 0. Если > 1, то = · 0 + 1 , т.е. = 0 и = 1.

Для = 1 теорема верна.

Допустим, что теорема верна для числа = , т.е.

= + и 0 6 < | | = .

Рассмотрим число = + 1.

Учитывая индуктивное предположение, заключаем, что

= − 1 − 1 + ( − ) = (− 1 − 1) + ( − 1)

и0 6 − 1 < = | |.

4)Допустим, что < 0. Тогда − > 0.

По доказанному = (− ) + = (− ) + и 0 6 < | − | = | |. Для доказательства единственности допустим, что

Отдельный интерес представляет случай нулевого остатка.

Деление нацело

Определение 1.2.1. Говорят, что число делится на число ( | ), если = для некоторого Z.

8

Теорема 1.2.2. Для целых чисел верны следующие утверждения.

1)Если число делится на число , а число делится на число , то число делится на число .

2)Если | и | , то |( ± ).

3)Если | и — произвольное число, то | .

Доказательство. 1) По условию = и = для некоторых

, Z. Отсюда = ( ) = ( ) для Z.

2)По условию = и = . Значит, ± = ± = ( ± ) для

± Z.

3) По условию = . Откуда = ( ) = ( ) для Z.

1.3. Наибольший общий делитель

Определение 1.3.1. Пусть , Z. Их наибольшим общим делителем называется такой натуральный общий делитель ( , ), который делится на все другие общие делители этих чисел.

Таким образом, = ( , ), если выполняются условия:

1)| и | ;

2)если | и | , то | ;

3)> 0.

Если ( , ) существует, то он единственный.

Лемма 1.3.1. Если = + для , , , Z, то ( , ) = ( , ).

Доказательство. Пусть = ( , ) и = ( , ).

Тогда | , | и = − . Значит, | , т.е. — общий делитель и . Поэтому | .

С другой стороны, | , | . По условию это означает, что | . Т.е. — общий делитель чисел и . Поэтому | .

Так как > 0 и > 0, то = .

Теорема 1.3.1. Для любых чисел , Z ( ̸= 0 или ̸= 0) существует ( , ) и линейно через них выражается, т.е. найдутся числа , Z, для которых ( , ) = + .

Доказательство. Если = 0 и ̸= 0, то ( , ) = | |. Если ̸= 0 и = 0, то ( , ) = | |.

Пусть ̸= 0 и ̸= 0. Будем строить алгоритм Евклида. Разделим на с остатком. Получим

= 1 + 1, где 0 6 1 < | |. (*)

9

Если 1 = 0, то ( , ) = | |.

Если 1 ̸= 0, то разделим на 1 с остатком. Получим

Если 2 = 0, то процесс завершен.

Если 2 ̸= 0, то разделим 1 на 2 с остатком. Получим

Может ли процесс продолжаться бесконечно? Существует последовательность неравенств

| | > 1 > 2 > 3 > · · · > 0.

Так как число натуральных чисел, меньших наперед заданного числа, конечно, то процесс оборвется.

Пусть

Если ̸= 0, то разделим −1 на с остатком. Получим

Применяя лемму 1.3.1 к равенствам, отмеченным звездочкой, получим последовательность равенств

( , ) = ( , 1) = ( 1, 2) = ( 2, 3) = . . .

= ( −2, −1) = ( −1, ) = ( , 0) = .

Докажем, что существуют числа , Z, для которых = + . Проведем индукцию по числу равенств со звездочкой для нахожде-

ния .

Если = 1, то 1 = 1 + 1, где 1 = 1, 1 = − 1.

Допустим, что утверждение верно для числа равенств, строго меньшего .

Рассмотрим равенств. По индуктивному предположению выполнены равенства −2 = −2 + −2 и −1 = −1 + −1.

Из предпоследнего равенства, отмеченного звездочкой, получаем

−2 + −2 = ( −1 + −1) + .

Положив = −2 − −1 и = −2 − −1 , получим нужное равенство.

10