Алгебра системы линейных уравнений, арифметические пространства, многочлены с комплексными коэффициентами. Курс лекций. Учебное пособие

Взаимно простые числа

Определение 1.3.2. Целые числа и называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице.

Теорема 1.3.2 (критерий взаимной простоты). Числа и являются взаимно простыми в том и только том случае, когда существуют целые числа и , для которых имеет место равенство

+ = 1.

Доказательство. Необходимость следует из возможности линейного выражения ( , ).

Пусть имеет место равенство. Если | и | , то |1. Значит, = ±1

и ( , ) = 1.

Следствие 1.3.1. Пусть = ( , ), т.е. = и = . Тогда

( , ) = 1.

Доказательство. Для найдутся числа и , для которых имеет место равенство = + = + . Отсюда следует, что 1 = + . Остается применить критерий взаимной простоты.

Следствие 1.3.2. Если ( , ) = 1, где = 1, 2, . . . , , то

( 1 2 . . . , ) = 1.

Доказательство. Проведем индукцию по числу сомножителей. 1) Если = 2, то 1 1 + 1 = 1 и 2 2 + 2 = 1 для , Z.

Перемножив равенства почленно, получим 1 2( 1 2) + = 1, где

= 1 2 + 1 2 + 1 2. Значит, имеет место условие взаимной простоты.

2)Допустим, что теорема верна для любого числа сомножителей меньшего .

3)Рассмотрим сомножителей. К первым двум сомножителям применяем пункт 1). Получим ( , ) = 1, где = 1 2.

Теперь к числам , 3, . . . , можно применить индуктивное предположение.

Следствие 1.3.3. Если | и ( , ) = 1, то | .

Доказательство. Из равенства + = 1, умножая его на , получим ( ) + ( ) = . Каждое слагаемое слева от знака равенства делится на , но тогда и сумма делится на .

11

1.4. Простые и составные числа

Определение 1.4.1. Натуральное число называется простым, если оно имеет ровно два натуральных делителя.

Натуральное число называется составным, если оно имеет больше двух натуральных делителей.

Предложение 1.4.1. Пусть — целое число, а — простое число. Тогда | или числа и взаимно просты.

Доказательство. Если = ( , ), то | .

По определению простого числа существуют две возможности. 1) = , тогда | .

2) = 1, т.е. и взаимно просты.

Следствие 1.4.1. Пусть | 1 2 . . . для Z, где — простое число. Тогда найдется индекс {1, 2 . . . }, при котором | .

Доказательство. Индукция по числу сомножителей. 1) Пусть = 2. Тогда | 1 2.

По предложению 1.4.1, если не делит 1, то ( 1, ) = 1. Отсюда, по свойству взаимной простоты следует, что | 2.

2)Допустим, что утверждение верно, если число сомножителей, строго меньше .

3)Рассмотрим произведение из сомножителей и пусть | 1 2 . . . .

Можно считать, что 1 2 . . . = 1 , где = 2 . . . .

По пункту 1) заключаем, что | 1 или | . В первом случае все доказано. Во втором случае можно применить индуктивное предположение.

Предложение 1.4.2. 1) Если и простые числа, и | , то = .

2)Если — составное число, то существуют и , для которых =

и1 < , < .

Теорема 1.4.1 (основная теорема арифметики). Всякое натуральное число ̸= 1 можно представить в виде произведения простых чисел

= 1 2 . . .

однозначно, с точностью до порядка следования сомножителей. Доказательство. I. Докажем возможность представления. Приме-

ним индукцию по числу .

1) Пусть = 2, тогда является произведением из одного простого сомножителя.

12

2)Допустим, что утверждение верно для всех чисел строго меньших числа .

3)Пусть = . Имеются две возможности.

a)Число является простым. Тогда смотри случай 1).

b)Число является составным. По предложению 1.4.2 имеем = , где < и < .

По индуктивному предположению = 1 2 . . . и = 1 2 . . . для

Отсюда 1( 2 . . . ) = 1 2 . . . . Значит, 1| 1 2 . . . . По следствию 1.4.1 найдется индекс , для которого 1| . Переставим сомножители, чтобы= 1. Таким образом, 1| 1. По предложению 1.4.2 имеем 1 = 1.

После сокращения из равенства (1) получим

= 2 . . . = 2 . . . , где < .

По индуктивному предположению можно переставить сомножители так, чтобы = для всех = 2, 3, . . . и − 1 = − 1. Тогда = .

1.5. Сравнения по модулю числа

Зафиксируем натуральное число .

Определение 1.5.1. Говорят, что число сравнимо с числом по модулю и пишут ≡ (mod ), если | − .

Теорема 1.5.1. ≡ (mod ) тогда и только тогда, когда и имеют одинаковые остатки от деления на число .

Доказательство. Пусть ≡ (mod ). Выполним деление с остатком чисел и на , тогда

Отсюда − = ( 1 − 2) + ( 1 − 2). Значит, | 1 − 2, но это возможно лишь при 1 − 2 = 0.

Обратно, пусть остатки равны. Тогда | − , т.е. ≡ (mod ).

13

Предложение 1.5.1. Для любых и из Z и N справедливы утверждения:

1)≡ (mod );

2)если ≡ (mod ), то ≡ (mod );

3)если ≡ (mod ) и ≡ (mod ), то ≡ (mod ).

Доказательство. 1) Утверждение верно, так как − = 0 и |0.

2)Так как − = , то − = −( − ) = (− ).

3)Из условия следует, что − = и − = . Тогда разность

− = ( − ) + ( − ) = ( + ).

Предложение 1.5.2. Сравнения можно почленно складывать.

Доказательство. Пусть ≡ (mod ) и ≡ (mod ). По определению − = и − = .

Отсюда, ( + ) − ( + ) = ( − ) + ( − ) = ( + ). Значит, + ≡ + (mod ).

Предложение 1.5.3. Сравнения можно почленно умножать.

Доказательство. Пусть ≡ (mod ) и ≡ (mod ). По определению − = и − = . Тогда

− = + ( − ) − = ( − ) + ( − ) = ( + ). Следовательно, ≡ (mod ).

Предложение 1.5.4. Обе части сравнения можно сократить на общий делитель, взаимно простой с модулем, т.е. если ≡ (mod )

и ( , ) = 1, то ≡ (mod ).

Доказательство. По определению − = . Тогда | ( − ). Далее воспользуемся свойством взаимной простоты.

Предложение 1.5.5. Если ≡ (mod ), то ≡ (mod ). Доказательство. Так как − = , то − = .

Предложение 1.5.6. Если ≡ (mod ) и | , то ≡ (mod ). Доказательство. Так как = , то − = = ( ).

2. Системы линейных уравнений

2.1.Основные понятия и определения

Сэтого момента мы будем опираться на знакомые вам свойства множества действительных чисел R.

14

из которой можно получить любое другое решение данного уравнения, придавая свободным неизвестным любые числовые значения.

Определение 2.1.4. Выпишем несколько уравнений

11 1 + 12 2 + · · · + 1 = 1,

21 1 + 22 2 + · · · + 2 = 2,

(2)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

+ + · · · + = .

1 1 2 2

Набор уравнений (2) называется системой линейных уравнений с действительными коэффициентами ( = 1, 2, . . . , , = 1, 2, . . . , ),и — целые положительные числа.

Если 1 = 2 = · · · = = 0, то система уравнений (2) называется

однородной.

Определение 2.1.5. Решением системы (2) называется набор чисел1, 2, . . . , R, который удовлетворяет всем уравнениям системы (2).

Определение 2.1.6. Если система (2) не имеет ни одного решения, она называется несовместной.

Если хоть одно решение системы (2) существует, она называется совместной.

Если система (2) имеет ровно одно решение, ее называют определенной, если у нее более одного решения — неопределенной.

Предложение 2.1.2. Однородная система уравнений всегда совместна.

Возникают следующие вопросы:

1)Как узнать какой является данная система линейных уравнений?

2)Как найти решения данной системы линейных уравнений?

2.2.Элементарные преобразования систем линейных уравнений

Определение 2.2.1. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются следующие действия:

1)перестановка двух уравнений в системе;

2)умножение всех коэффициентов и свободного члена уравнения на действительное число, отличное от нуля;

16

3) прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на действительное число.

Определение 2.2.2. Две системы линейных уравнений называются равносильными (эквивалентными), если они обе несовместны, или если они имеют один и тот же набор решений.

Теорема 2.2.1. Если к системе линейных уравнений (2) применить элементарное преобразование типа 1) — 3), то получится система уравнений, равносильная системе (2).

Доказательство. Для преобразования 1) утверждение очевидно по определению решения.

Для преобразования 2) рассмотрим систему уравнений.

11 1 + 12 2 + · · · + 1 = 1,

21 1 + 22 2 + · · · + 2 = 2,

(3)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 + 2 2 + · · · + = .

Здесь ̸= 0 — действительное число.

Пусть 1, 2, . . . , R — решение системы (2). Тогда имеется следующий набор верных числовых равенств

11 1 + 12 2 + · · · + 1 = 1,

21 1 + 22 2 + · · · + 2 = 2,

(4)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 + 2 2 + · · · + = .

Умножив первое равенство набора (4) на , получим набор верных числовых равенств

11 1 + 12 2 + · · · + 1 = 1,

21 1 + 22 2 + · · · + 2 = 2,

(5)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 + 2 2 + · · · + = .

Верность равенств набора (5) показывает, что числа 1, 2, . . . , образуют решение системы уравнений (3).

17

Таким образом, доказано, что любое решение системы (2) является решением системы (3). Для доказательства обратного утверждения следует перейти от набора верных числовых равенств (5) к набору (4), умножив первое равенство из набора (5) на число −1.

Следовательно, системы уравнений (2) и (3) имеют одни и те же решения.

Проверка остального аналогична.

Пример 2. Проверим свойства преобразования 3) на примере. Рассмотрим систему уравнений

1 + 2 2 − 3 3 − 4 4 = 1,

2 1 + 2 − 3 − 2 4 = 3,

(6)

3 1 + 3 2 − 4 3 − 6 4 = 4,

− + 2 + 2 = 2.

1 2 3 4

Пусть набор чисел 1, 2, 3, 4 является решением системы (6). Тогда существует система верных числовых равенств

1 + 2 2 − 3 3 − 4 4 = 1,

2 1 + 2 − 3 − 2 4 = 3,

(7)

3 1 + 3 2 − 4 3 − 6 4 = 4,

− + 2 + 2 = 2.

1 2 3 4

Преобразуем систему (6), прибавив к первому уравнению второе уравнение, умноженное на число 2. Получим систему уравнений

5 1 + 4 2 − 5 3 − 8 4 = 7,

2 1 + 2 − 3 − 2 4 = 3,

(8)

3 1 + 3 2 − 4 3 − 6 4 = 4,

− + 2 + 2 = 2.

1 2 3 4

Преобразуем систему числовых равенств (7), прибавив к первому равенству второе равенство, умноженное на число 2.

18

Получим систему верных числовых равенств

5 1 + 4 2 − 5 3 − 8 4 = 7,

2 1 + 2 − 3 − 2 4 = 3,

(9)

3 1 + 3 2 − 4 3 − 6 4 = 4,

− + 2 + 2 = 2.

1 2 3 4

Верность равенств набора (9) показывает, что числа 1, 2, 3, 4 образуют решение системы уравнений (8).

Таким образом, доказано, что любое решение системы (6) является решением системы (8).

Для доказательства обратного утверждения следует перейти от набора верных числовых равенств (9) к набору (7), вычитая из первого равенства из набора (9) второе равенство, умноженное на число 2.

Следовательно, системы уравнений (6) и (8) имеют одни и те же решения.

2.3.Приведение системы линейных уравнений к ступенчатому виду

Спомощью указанных выше элементарных преобразований можно преобразовывать системы линейных уравнений, упрощая их вид.

Определение 2.3.1. Первое по счету неизвестное в уравнении, коэффициент при котором отличен от нуля, называют главным (ведущим).

Определение 2.3.2. Говорят, что система уравнений называется

ступенчатой, если:

1)все тривиальные уравнения в ней расположены ниже нетривиальных;

2)в каждом последующем уравнении номер главного неизвестного больше, чем в предшествующем.

Рассмотрим систему уравнений.

11 1 + 12 2 + · · · + 1 + · · · + 1 = 1,

22 2 + · · · + 2 + · · · + 2 = 2,

(10)

. . . . . . . . . . . .

+ · · · + = .

19

Если 11 ̸= 0, 22 ̸= 0, . . . , ̸= 0, то система уравнений (10) является ступенчатой.

Теорема 2.3.1. Всякая ступенчатая система непротиворечивых уравнений совместна.

Доказательство. I. Начнем с рассмотрения ступенчатой системы, в которой число нетривиальных уравнений равно числу неизвестных. Такие системы будем именовать треугольными.

11 1 + 12 2 + · · · + 1 = 1,

22 2 + · · · + 2 = 2,

(11)

. . . . . .

= .

Здесь 11 ̸= 0, 22 ̸= 0, . . . , ̸= 0. Из последнего уравнения находим

= = ,

затем из предпоследнего уравнения получаем

−1 = −1 − −1, = −1.−1, −1

Через конечное число шагов будет найдено единственное решение системы уравнений (11).

Пример 3. Решим ступенчатую систему уравнений

2 1 − 3 2 − 3 + 4 4 = 1,

3 2 + 2 3 − 4 = 2,

2 3 + 4 = 1,

3 = 2.

4

Из последнего уравнения получаем 4 = 2/3. Из третьего уравнения, подставляя найденное значение, заключаем, что 3 = 1/2 − 1/2 4 = 1/6.

С учетом найденного, из второго уравнения выводим

2 = 2/3 − 2/3 3 + 1/3 4 = 7/9.

Наконец, 1 = 1/2 + 3/2 2 + 1/2 3 − 2 4 = 5/12.

Набор чисел 5/12, 7/9, 1/6, 2/3 является единственным решением данной системы уравнений.

20