Алгебра системы линейных уравнений, арифметические пространства, многочлены с комплексными коэффициентами. Курс лекций. Учебное пособие

Предложение 8.5.1. Произведение двух значений корня из единицы является значением корня из единицы. Число обратное значению корня из единицы является значением корня из единицы. Если — значение корня -й степени из , а — значение корня -й степени из единицы, то— значение корня -й степени из .

Доказательство. Если 0 < , < − 1, то

( ) = = 1 · 1 = 1.

Далее

( −1) = ( )−1 = 1−1 = 1.

И, наконец,

( ) = = · 1 = .

Определение 8.5.1. Первообразным корнем -й степени из единицы назовем такое значение корня -й степени из единицы, которое не является значением корня из единицы никакой меньшей, чем степени.

Сначала покажем, что такие значения существуют. Для этого рассмотрим 1.

Предложение 8.5.2. Если — первообразный корень -й степени из единицы, то

1= 0, , 2, . . . , −1

—все значения корня -й степени из единицы.

Доказательство. Достаточно показать, что указанные выше числа попарно различны. Для этого рассмотрим частное и убедимся, что оно отлично от единицы. Следствием получаем способ нахождения значений корня -й степени из комплексного числа. Для него необходимо иметь одно значение

корня из числа и первообразный корень -й степени из единицы.

√

Пример 5. Найти 3 −8.

√

Решение. Сначала вычислим 3 1.

81

Таким образом,

Так как 21 = 2, то = 1 — первообразный корень третьей степени

из единицы.

√

Легко заметить, что одно значение 3 −8 равно 1 = −2. Тогда

82

Значит, эти корни не являются первообразными корнями шестой степени из единицы.

С другой стороны, 1 = ̸= 1 для = 1, 2, 3, 4, 5.

Таким образом, = 1 — первообразный корень шестой степени из единицы. √

Мы знаем, что одно значение 6 64 равно числу 2. Следовательно, набор чисел

2, 2 , 2 2, 2 3, 2 4, 2 5

√

представляет все значения 6 64.

9. Многочлены

9.1. Основные понятия

Определение 9.1.1. Выражение вида

( ) = + −1 −1 + · · · + 1 + 0,

где — коэффициенты (комплексные числа), — переменная, > 0

и ̸= 0, называется многочленом -й степени.

— старший одночлен, — старший коэффициент. Будем считать многочленом (без степени) и число 0.

Два многочлена равны (тождественно равны), если равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной.

Будем обозначать символом C[ ] множество всех многочленов с комплексными коэффициентами.

Пусть ( ) = + −1 −1 + · · · + 1 + 0.

Определение 9.1.2. Суммой многочленов ( ) и ( ) назовем многочлен

( ) + ( ) = ( + ) + ( −1 + −1) −1 + · · · + ( 1 + 1) + ( 0 + 0),

если 6 .

Внимание! Так как сложение многочленов сводится к сложению комплексных чисел, то на множестве всех многочленов сложение ассоциативно и коммутативно, роль нуля играет 0 C, у каждого многочлена есть противоположный.

83

Определение 9.1.3. Произведением многочленов ( ) и ( ) называется многочлен

( ) ( ) = + + + + −1 + −1 + · · · + 1 + 0,

где = 0 + −1 1 + · · · + + · · · + 1 −1 + 0 при + = . Из этого определения следует

Предложение 9.1.1. Умножение многочленов коммутативно; степень произведения равна сумме степеней сомножителей; произведение многочленов равно нулю, только если один из них равен нулю.

Теорема 9.1.1. Умножение многочленов ассоциативно.

Доказательство. Пусть ( ) = + −1 −1 + · · · + 1 + 0.

( )

Найдем коэффициент в многочлене ( ) ( ) ( )

Предложение 9.1.2. Умножение многочленов дистрибутивно относительно сложения.

Предложение 9.1.3. Многочлен 1 = 1 · 0 играет роль единицы при умножении многочленов.

( ) ( ) = 1 тогда и только тогда, когда ( ), ( ) C {0}.

Доказательство. По определению умножения многочленов имеем

+ = 0.

Внимание! Все утверждения останутся верными, если рассмотреть множество многочленов Z[ ], или Q[ ], или R[ ].

84

9.2. Деление с остатком

Определение 9.2.1. Говорят, что многочлен = ( ) разделили с остатком на многочлен = ( ), если найдены многочлены = ( ) и = ( ), такие что

1) = + ; 2) deg < deg или = 0.

— делимое, — делитель, — (неполное) частное, — остаток. Если

= 0, то говорят, что делится на .

Теорема 9.2.1. Деление с остатком многочлена на многочлен однозначно выполнимо.

Доказательство. I. Докажем однозначность деления. Допустим, что сумели разделить на двумя способами. Существуют многочлены1, 2, 1, 2, для которых = 1 + 1 и = 2 + 2, причем deg < deg , если ̸= 0. Тогда 1 + 1 = 2 + 2, откуда ( 1 − 2) = 2 − 1 = .

Вычислим степень многочлена . С одной стороны, она не меньше, чем степень , если частные различны; с другой стороны, она строго меньше степени делителя, т.е. степени . Полученное противоречие показывает, что 1 = 2. Остальное тривиально.

II. Докажем возможность деления. Пусть

= + −1 −1+· · ·+ 1 + 0 и = + −1 −1+· · ·+ 1 + 0.

1)Если = 0 или deg < deg , то = · 0 + .

2)Если deg 6 deg , то начнем строить алгоритм деления. Найдем

многочлен

Вычислим старший одночлен вычитаемого

−1 − · = .

Получили старший одночлен многочлена . Тогда deg 1 < deg . Возможны ситуации:

а) Если deg 1 < deg или 1 = 0, тогда алгоритм завершен. б) Если deg 6 deg 1, то найдем полином

85

Здесь — старший одночлен многочлена 1. Тогда deg 2 < deg 1. Если deg 2 < deg или 2 = 0, тогда алгоритм завершен. В противном

случае находим полином 3.

Не будет ли наш процесс бесконечным? Рассмотрим последовательность неравенств:

> deg 1 > deg 2 > deg 3 > · · · .

Но множество натуральных чисел, меньших наперед заданного числа,

где deg < deg или = 0.

Сложив равенства, отмеченные звездочкой, получим

Осталось обозначить = . Внимание! Отметим, что если многочлены и принадлежат R (или Q), то все многочлены также принадлежат R (или Q), поэтому и

найдутся в R (или Q).

Более того, для и из Z также найдутся и из Z при условии: старший коэффициент многочлена равен 1 или −1.

9.3. Деление нацело

Частный случай деления с остатком, представляющий особый интерес — случай нулевого остатка.

Пусть многочлены ( ), ( ) C.

Предложение 9.3.1. Многочлен ( ) является делителем многочлена в том и только в том случае, когда существует многочлен , для которого = .

Доказательство. Необходимость следует из теоремы о делении с остатком.

Обратно. Пусть для многочлена справедливо равенство = . Воспользуемся единственностью частного и остатка. В следующем предложении перечислены некоторые свойства делимости, доказательства которых аналогичны доказательствам в теоре-

ме 1.2.2.

86

Предложение 9.3.2. 1) Если многочлен делится на многочлен ,

амногочлен делится на многочлен , то делится на .

2)Если | и | , то |( ± ).

3)Если | и — произвольный многочлен, то | .

4)Если | 1, | 2 , . . . , | , то | 1 1 + 2 2 + · · · + для любых .

5)Всякий многочлен делится на любой многочлен нулевой степени.

Определение 9.3.1. Ассоциированными называются многочлены, отличающиеся друг от друга ненулевым числовым множителем.

Если и — ассоциированные многочлены, будем писать . Например, 2 + 1 (1 + ) 2 + (1 + ).

Предложение 9.3.3. 1) Каждый многочлен делится на все многочлены, ассоциированные с ним.

2) Ассоциированные многочлены делятся друг на друга.

Доказательство. Пусть = ( ) и = ( ) для ̸= 0 C. Тогда = 1 · = −1 = ( ) −1 = −1.

9.4. Наибольший общий делитель

Определение 9.4.1. Если ( )| ( ) и ( )| ( ), то ( ) — общий делитель многочленов ( ) и ( ).

Определение 9.4.2. Пусть , — многочлены. Их наибольшим общим делителем называется такой их общий делитель = ( , ), который делится на все другие общие делители этих многочленов.

Из определения не следует, что такой многочлен существует, но имеет

определению | и | . Но тогда deg 6 deg и deg 6 deg . Значит, deg = deg .

Так как = и = , то = , т.е. deg = deg + deg + deg .

87

Теорема 9.4.1. Для любых двух многочленов , , где хотя бы один из многочленов отличен от нуля, их наибольший общий делитель ( ) существует и линейно через них выражается, т.е. = ( ) = + для некоторых многочленов , .

Доказательство. 1) Если один из многочленов равен нулю, то равен второму многочлену.

2) Пусть оба многочлена не равны нулю. Будем строить алгоритм Евклида.

По теореме о делении с остатком можно один из многочленов разделить на другой с остатком.

Во втором случае мы алгоритм завершили. Если же остаток не равен нулю, делим прежний делитель на остаток.

Рассуждаем как при первом делении и т.д. Рассмотрим цепочку неравенств: deg > deg 1 > deg 2 > · · · . Так как такая цепочка конечна, то на некотором конечном шаге получится нулевой остаток.

Пусть

Далее применяем лемму 9.4.1.

= ( , ) = ( , 1) = ( 1, 2) = · · ·

=( −2, −1) = ( −1, ) = ( , 0) = .

Докажем, что существуют многочлены = ( ), = ( ), для которых

= + .

Для этого выпишем систему равенств алгоритма, кроме последнего равенства:

= 1 + 1,= 1 2 + 2,

−3 = −2 −1 + −1,−2 = −1 + .

88

Проведем индукцию по числу равенств этой системы. Если = 1, то 1 = 1 + 1, где 1 = 1, 1 = − 1.

Пусть утверждение верно для числа равенств, строго меньшего . Рассмотрим равенств. По индуктивному предположению

−2 = −2 + −2 и −1 = −1 + −1.

Подставляя правые части этих равенств в последнее равенство системы (1), получаем

−2 + −2 = ( −1 + −1) + .

Положив = −2 − −1 и = −2 − −1 , приходим к нужному равенству.

Пример 1. Пусть

= ( ) = 2 4 − 3 −6 2 +10 +15 и = ( ) = 2 4 +3 3 +2 2 +5 +3.

Найти линейное выражение ( , ). Решение. Разделим ( ) на ( ) с остатком.

Значит, 2 ( ) = − 1( ) 2( ) + 2( ), где 2( ) = − 1/2

Разделим − 1( ) на 2/13 2( ) с остатком.

89