Алгебра системы линейных уравнений, арифметические пространства, многочлены с комплексными коэффициентами. Курс лекций. Учебное пособие

Умножив равенство на −1/4, получим

2 + 3 = (131 2 + 133 ) + (−131 2 + 132 − 132 ).

Предложение 9.4.2. Если у многочленов = ( ) и = ( )

( , ) = 1, то существуют многочлены = ( ) и = ( ), удовлетворяющие условиям:

1)+ = 1;

2)deg < deg ;

3)deg < deg .

Доказательство. По условию существуют многочлены = ( ) и = ( ), для которых + = 1.

Разделим ( ) на ( ) с остатком. Получим = ( ) + ( ), где deg ( ) < deg . Отсюда следует, что ( ( ) + ( )) + = 1. Откуда

( ) + ( ( ) + ) = 1.

Положим = ( ), = + . Для этих многочленов условия 1) и 2) выполняются. Кроме того,

deg + deg = deg = deg = deg + deg < deg + deg .

Пример 2. Пусть = 4 и = 3 2 + 4 + 5 . Найти линейное выражение ( , ).

Решение. Очевидно, ( , ) = 1. По предложению 9.4.2 найдутся многочлены = + и = 3 + 2 + + , для которых

4( + ) + (3 2 + 4 + 5)( 3 + 2 + + ) = 1.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной, получим систему уравнений

+ 3 = 0,

+ 4 + 3 = 0,

5 + 4 + 3 = 0,

5 + 4 + 3 = 0,

5 + 4 = 0,

5 = 1.

91

Вычисляя, получим

= 15, = −254 , = 1251 , = 62556 , = −239625, = −168625.

Таким образом,

4(−168625 − 239625) + (3 2 + 4 + 5)(62556 3 + 1251 2 − 254 + 15) = 1.

Для сравнения, предлагаем читателю самостоятельно убедиться, что применение алгоритма Евклида в данном примере приводит к большим вычислениям.

9.5. Взаимно простые многочлены

Определение 9.5.1. Многочлены 1 = 1( ) и 2 = 2( ) называются

взаимно простыми, если ( 1, 2) = 1.

Теорема 9.5.1 (критерий взаимной простоты). Многочлены 1 и 2 являются взаимно простыми в том и только в том случае, когда существуют многочлены 1 = 1( ) и 2 = 2( ), для которых имеет место равенство

1 1 + 2 2 = 1.

Доказательство. Необходимость следует из возможности линейного выражения ( 1, 2) многочленов.

Пусть имеет место равенство. Если | 1 и | 2, то |1. Значит, ̸= 0 C по предложению 9.1.3.

Следствие 9.5.1. Пусть = ( , ), т.е. = и = . Тогда

( , ) = 1.

Доказательство. Для найдутся многочлены и , для которых имеет место равенство = + = + . Отсюда следует, что 1 = + . Остается применить критерий взаимной простоты.

Следствие 9.5.2. Если ( , ) = 1, где = 1, 2, . . . , , то

( 1 2 . . . , ) = 1.

Доказательство. Проведем индукцию по числу сомножителей. 1) Если = 2, то 1 1 + 1 = 1 и 2 2 + 2 = 1 для , C[ ].

Перемножив равенства почленно, получим 1 2( 1 2) + = 1, где= 1 2 + 1 2 + 1 2. Значит, имеет место условие взаимной простоты.

92

2)Допустим, что теорема верна для любого числа сомножителей, меньшего .

3)Рассмотрим сомножителей. К первым двум сомножителям применяем пункт 1). Получим ( = 1 2, ) = 1. Теперь к многочленам

, 3, . . . , можно применить индуктивное предположение.

Следствие 9.5.3. Если | 1 2 и ( 1, ) = 1, то | 2.

Доказательство. Из равенства 1 + = 1, умножая его на 2, получим ( 1 2) + ( 2) = 2. Каждое слагаемое слева от знака равенства делится на , но тогда и сумма делится на .

9.6. Корни многочленов

Определение 9.6.1. Число C называется значением многочлена

( ) = + −1 −1 + · · · + 1 + 0

в точке , если

= ( ) = + −1 −1 + · · · + 1 + 0.

Число C называется корнем многочлена ( ), если ( ) = 0.

Теорема 9.6.1 (теорема Безу). Число является корнем многочлена( ) тогда и только тогда, когда ( ) делится на двучлен − .

Доказательство. Пусть — корень . По теореме о делении с остатком многочлен можно разделить на двучлен − с остатком, получим

Подставив в равенство (2), получим 0 = ( ) = 0 + .

Обратно, пусть выполняется деление на двучлен, т.е. имеет место равенство ( ) = ( − ) ( ). Отсюда, ( ) = 0.

Следствие 9.6.1. Остаток от деления многочлена ( ) на двучлен− равен значению многочлена в точке .

Схема Горнера

Схема позволяет выполнить деление многочлена ( ) на двучлен − .

Пусть

( ) = + −1 −1 + · · · + 1 + 0,

93

а полученное частное равно

( ) = −1 −1 + −2 −2 + · · · + 1 + 0.

Подставляя многочлены ( ) и ( ) в формулу (2), пользуясь следствием 9.6.1, приравняем соответствующие коэффициенты при одинаковых степенях переменной в левой и правой частях этой формулы. Получим

−1 = ,−2 = −1 + −1,

0 = 1 + 1,( ) = 0 + 0.

Вычисление коэффициентов частного ( ) и значения ( ) по формулам (3) удобно представлять в виде таблицы, которая и носит название

схемы Горнера.

Рациональные корни целочисленных многочленов

Пусть дан многочлен ( ) = + −1 −1 + · · ·+ 1 + 0 с целыми коэффициентами.

Теорема 9.6.2. Если несократимая дробь / является корнем многочлена ( ), то | 0 и | .

Из равенства (4) следует, что делит произведение 0 . Так как, по условию, ( , ) = 1, то ( , ) = 1. По свойству взаимно простых чисел | 0.

Из равенства (4) следует, что делит произведение . Аналогично предыдущему, ( , ) = 1, поэтому | .

94

Следствие 9.6.2. 1) Если старший коэффициент целочисленного многочлена равен единице, то все рациональные его корни являются числами целыми.

2) Целые корни целочисленного многочлена следует искать среди делителей свободного одночлена.

Пример 3. Найти рациональные корни многочлена 4 + 3 + 5 2 + +3 + 6.

Решение. В силу следствия, многочлен может иметь только целые корни.

Выпишем все делители свободного члена: ±1, ±2, ±3, ±6. Воспользуемся схемой Горнера для проверки.

Вывод. Данный многочлен не имеет рациональных корней.

Так как предполагаемых корней может оказаться достаточно много, то хорошо бы иметь способ отсева лишних чисел до применения схемы Горнера.

Теорема 9.6.3. Если несократимая дробь / является корнем многочлена ( ), то для любого числа Z значение ( ) делится на − .

Доказательство. Разделим ( ) на − с остатком, получим

( ) = ( − ) ( ) + , где = ( ).

95

Следовательно, второе слагаемое делится на скобку. Докажем, что и скобка взаимно просты.

Пусть = ( − , ). Тогда | − и | , т.е. | . Но это возможно лишь при = 1.

По свойству взаимной простоты ( − , ) = 1.

9.7. Кратные корни многочлена

Определение 9.7.1. Число называется -кратным корнем многочлена ( ), если многочлен делится на ( − ) , но не делится на ( − ) +1. Если кратность равна единице, корень называется простым.

Например, 2 − 2 + 1 = ( − 1)2.

Теорема 9.7.1. Если числа 1, 2, . . . , являются корнями многочлена ( ) с кратностями 1, 2, . . . , соответственно, то многочлен ( ) делится на произведение скобок

( − 1) 1 ( − 2) 2 . . . ( − ) .

Доказательство. Докажем теорему методом математической индукции по числу корней.

1)В случае = 1 применяем определение кратного корня.

2)Допустим, что теорема верна для всех многочленов, имеющих меньше чем корней.

3)Рассмотрим ситуацию условия, забыв о последнем корне, тогда

где ( ) — некоторый многочлен.

С другой стороны, по определению кратного корня для имеет место равенство

для некоторого многочлена ( ), причем, многочлен ( ) не делится на двучлен ( − ).

Из равенства (5) следует, что

0 = ( − 1) 1 ( − 2) 2 . . . ( − −1) −1 ( ).

96

Так как все скобки отличны от нуля, то является корнем многочлена( ). Пусть ( ) = ( − ) ( ), где — порядок кратности корня для многочлена ( ). Тогда многочлен ( ) не делится на двучлен ( − ).

Из равенств (5) и (6) следует, что

( − ) ( ) = ( − ) ( ),

где ( ) = ( − 1) 1 ( − 2) 2 . . . ( − −1) −1 ( ). Полагая, что > ( < ), приходим к противоречию, т.е. = .

Теорема 9.7.2 (теорема о наибольшем возможном числе корней многочлена). Многочлен, отличный от нулевого, имеет не больше корней, чем его степень, даже с учетом кратностей всех его корней.

Доказательство. Пусть элементы 1, 2, . . . , являются корнями многочлена ( ) с кратностями 1, 2, . . . , соответственно.

Из равенства

( ) = ( − 1) 1 ( − 2) 2 . . . ( − ) ( )

исвойства степени произведения многочленов

deg = 1 + 2 + · · · + + deg ,

где deg > 0, имеем 1 + 2 + · · · + 6 deg .

Следствие 9.7.1. Если deg 6 и deg 6 , и имеют место равенства ( ) = ( ), где для = 1, 2, . . . , + 1 числа попарно различны, то = .

Доказательство. Для доказательства составим многочлен = − . Если ̸= 0, то его степень не больше , и он имеет + 1 корень.

Рассмотрим многочлен ( ) с комплексными коэффициентами. Определим функцию : C → C, по правилу: ( ) = ( ) (каждое

число переходит в значение многочлена в данной точке).

Определение 9.7.2. Говорят, что два многочлена равны функционально, если они равны как функции.

Предложение 9.7.1. Из алгебраического равенства многочленов всегда следует их функциональное равенство.

Теорема 9.7.3. Из функционального равенства многочленов с комплексными коэффициентами следует их алгебраическое равенство.

97

Доказательство. Так как число комплексных чисел бесконечно, поэтому существует нужное число элементов, для которых значения многочленов окажутся равными.

Пример 4. Найти многочлен четвертой степени ( ) со старшим коэффициентом, равным 1, у которого число −2 является трехкратным корнем и остаток которого при делении на + 3 равен числу −1.

Решение. Положим ( ) = 4 + 3 + 2 + + . Разделим полученное частное на + 2.

Получим систему уравнений

8 − 4 + 2 − = 16,

12 − 4 + = 32,

6 − = 24,

27 − 9 + 3 − = 82.

Преобразуем расширенную матрицу системы

98

Таким образом,

( ) = 4 + 10 3 + 36 2 + 56 + 32.

Литература

1.ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976. 648 с.

2.Винберг Э.Б. Курс алгебры. М.: МЦНМО, 2011. 591 с.

3.Компанцева Е.И., Туганбаев А.А. Алгебра. Т. 1. М.: Academia, 2017. 224 с.

4.Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч. 1. Основы алгебры. М.: МЦНМО, 2009. 273 с.

5.Кочетова Ю.В., Ширшова Е.Е. Алгебра. Конечномерные пространства. Линейные операторы: курс лекций. М.: Прометей, 2013. 80 с.

6.Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979. 559 с.

7.Курош А.Г. Курс высшей алгебры. СПб.: Лань, 2008. 431 с.

8.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. СПб.: Лань, 2010. 475 с.

9.Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. СПб.: Лань, 2007. 416 с.

10.Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре. СПб.: Лань, 2008. 288 с.

11.Фрид Э. Элементарное введение в абстрактную алгебру. М.: Мир, 1979. 260 с.

99