Алгебра системы линейных уравнений, арифметические пространства, многочлены с комплексными коэффициентами. Курс лекций. Учебное пособие

II. Теперь рассмотрим ступенчатую систему вида (10). Перепишем систему, оставив слева от знака равенства только слагаемые, содержащие

1, 2, . . . , .

11 1 + 12 2 + · · · + 1 = − 1, +1 +1 − · · · − 1 − 1,

22 2 + · · · + 2 = − 2, +1 +1 − · · · − 2 − 2,

(12)

. . . . . . . . . . . .

= − − · · · − − .

, +1 +1

Придадим неизвестным правой части конкретные числовые значения

Подставив эти числа в систему уравнений (12), получим систему уравнений типа (11), которая, по доказанному в пункте I, имеет единственное решение.

Так как существует бесконечно много способов выбора чисел набора (13), то система уравнений (10) имеет бесконечно много решений.

Пример 4. Решим ступенчатую систему уравнений

2 1 − 3 2 + 3 + 2 4 − 5 = 3,

3 + 4 + 2 5 = 1,

4 + 5 = 2.

Оставив слева только слагаемые с неизвестными 1, 3, 4, перепишем систему

2 1 + 3 + 2 4 = 3 + 3 2 + 5,

3 + 4 = 1 − 2 5,

4 = 2 − 5.

Если заменить неизвестные 2 и 5 числами, получится треугольная система уравнений, которая имеет единственное решение.

Теорема 2.3.2. Всякую совместную систему уравнений можно превратить в равносильную ей ступенчатую систему уравнений.

Доказательство. Если все уравнения системы тривиальны, то она имеет нужный вид.

Рассмотрим систему уравнений (2), в которой хотя бы в одном уравнении коэффициент при 1 отличен от нуля. Пусть это будет 11 ̸= 0.

21

Тогда ко второму уравнению системы (2) прибавим первое уравнение,

1)Все уравнения системы (15) тривиальны. Тогда, отбросив из системы (14) уравнения системы (15), получим искомую систему из одного уравнения.

2)Система (15) содержит противоречивое уравнение. Тогда система

(14)несовместна, что противоречит условию теоремы, так как системы уравнений (2) и (14) равносильны. То есть такой случай невозможен.

3)Слева от знаков равенства имеются ненулевые коэффициенты. Пусть ′22 ̸= 0. Прибавим ко всем уравнениям системы, начиная со второго, первое уравнение, умноженное на число

Продолжая процесс, каждый раз переставляя вниз тривиальные уравнения, если они встречаются, через конечное число шагов получим искомую ступенчатую систему.

22

2.4.Метод Гаусса исследования и решения систем линейных уравнений

Пусть дана система уравнений (2).

Шаг I. С помощью элементарных преобразований 1) — 3) попробуем

привести систему уравнений (2) к ступенчатому виду.

Заметим, учитывая теорему 2.2.1 и предложение 2.1.2, что все системы уравнений, получающиеся в результате преобразований, будут иметь точно такие же решения, как система (2).

а) Если в процессе преобразований в одной из новых систем встретится противоречивое уравнение, то система (2) несовместна. На этом процесс решения закончен.

б) Если система (2) является совместной, то по теореме 2.3.2 заключаем, что наша цель будет достигнута через конечное число шагов.

Шаг II. По виду ступенчатой системы уравнений можно заключить, сколько решений у системы (2) (см. теорему 2.3.1).

Если получена треугольная система, то ее решение находим как в пункте I доказательства теоремы 2.3.1.

Если система (2) имеет бесконечное число решений, каждое из которых мы будем называть частным решением системы (2), то все их предъявить нельзя, поэтому поступаем следующим образом.

Перейдем от полученной системы (10) к системе уравнений (12).

Определение 2.4.1. Неизвестные, стоящие в левой части уравнений системы (12), окажутся главными, а неизвестные из правых частей называют свободными.

Таким образом, 1, 2, . . . , являются главными неизвестными, а +1, +2, . . . , — свободные неизвестные.

Определение 2.4.2. Совокупность формул, выражающих главные неизвестные через свободные, называется общим решением системы линейных уравнений.

Цель шага II — нахождение общего решения системы уравнений.

Придавая свободным неизвестным конкретные числовые значения, подставляя их в общее решение, можно получить конкретные частные решения системы уравнений.

23

Существуют различные схемы решения систем линейных уравнений методом Гаусса. Познакомимся с некоторыми.

2.5. Матрицы системы линейных уравнений

Определение 2.5.1. Прямоугольную таблицу действительных чисел будем называть матрицей.

С системой линейных уравнений (2) можно связать две матрицы. Одна из них состоит из коэффициентов при неизвестных

Она носит название основной матрицы системы. Вторая матрица

содержит столбец свободных членов и называется расширенной матрицей системы.

Для решения системы линейных уравнений методом Гаусса можно преобразовывать не саму систему уравнений, а ее расширенную матрицу.

Недостаток метода заключается в том, что он не дает возможности сформулировать условия совместности и определенности системы с помощью ее коэффициентов, не дает способа выразить решение через коэффициенты и свободные члены.

3. Бинарные отношения

3.1. Множества, действия над множествами

Напомним понятие пустого множества и рассмотрим его свойства.

24

Определение 3.1.1. Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается символом ?.

Принято считать, что пустое множество является подмножеством любого другого множества.

Предложение 3.1.1. Пустое множество единственно.

Доказательство. Пусть это не так, т.е. существуют два пустых множества. Но тогда каждое из них включено в другое, откуда следует их равенство. Все рассматриваемые в данной теории множества можно считать подмножествами «большого» множества, которое для данной теории назы-

вается универсальным и обозначается буквой .

Определение 3.1.2. Пересечением множеств и называется множество ∩ общих элементов данных множеств (см. рис. 3.1)

∩ = { | и }.

Определение 3.1.3. Объединением множеств и называется множество элементов, входящих хотя бы в одно из данных множеств (см. рис. 3.1)

= { | или }.

Рис. 3.1

Определение 3.1.4. Разностью множеств и называется множество , содержащее элементы множества , но не содержащее элементы множества (см. рис. 3.2)

= { | и / }.

25

Определение 3.1.5. Дополнением к множеству называется разность = , где есть универсальное множество данной теории (см. рис. 3.2).

Рис. 3.2

Заметим, что дополнение к дополнению множества совпадает с :

= .

Теорема 3.1.1. Для любых подмножеств , , множества справедливы следующие тождества:

При доказательстве теоремы используются понятие равенства множеств и все понятия данного параграфа.

3.2. Бинарные отношения

Пусть ̸= ? и ̸= ?.

Определение 3.2.1. Назовем упорядоченной парой элементов ( , )

множество из двух элементов и , если элементам приписываются порядковые номера. Будем считать, что ( , ) = ( , ) только, если = , = .

26

Определение 3.2.2. Прямым (декартовым) произведением множеств и называется множество × всех упорядоченных пар вида

( , ), где , .

Декартовым квадратом множества называется прямое произведение этого множества на себя.

Определение 3.2.3. Бинарным (двуместным) отношением, определённым на паре множеств и , называется любое подмножество

× .

Бинарным отношением на множестве называется подмножество декартова квадрата × .

Запись ( , ) или читается находится в отношении с .

Определение 3.2.4. Отношение = × называется универсальным (полным) на множестве , отношение = ? называется пустым отношением на множестве , отношение = {( , ) | } называется тождественным отношением на множестве .

В случае, когда бинарное отношение задается на R, его легко изобразить множеством точек плоскости, что дает наглядную геометрическую характеристику.

Пример 1. Прямое произведение

R × R = {( , ) | , R},

являющееся полным отношением, есть плоскость.

Пример 2. Отношение = {( , ) | < ; , R} — множество точек над прямой = (см. рис. 3.3).

Рис. 3.3

Определение 3.2.5. Областью определения отношения называется множество , где

= { | для некоторого , ( , ) }.

27

Областью значений отношения называется множество , где

= { | для некоторого , ( , ) }.

Свойства бинарных отношений на множестве

Определение 3.2.6. Отношение на множестве называется рефлексивным, если ему принадлежат все пары вида ( , ), т.е. для всякого элемента должно выполняться .

Рефлексивное отношение на R должно содержать точки прямой = .

Определение 3.2.7. Отношение на множестве называется симметричным, если с каждой парой ( , ) оно содержит пару ( , ).

На R должна быть симметрия относительно прямой = .

Определение 3.2.8. Отношение на множестве называется транзитивным, если для всяких пар ( , ) и ( , ) из отношения оно содержит и пару ( , ).

Определение 3.2.9. Отношение на множестве называется антисимметричным, если обе пары ( , ) и ( , ) находятся в нем только при

= .

3.3. Отношение эквивалентности

Определение 3.3.1. Всякое рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение на множестве называется отношением эквивалентности.

Предложение 1.5.1 дает нам следующий пример отношения эквивалентности.

Пример 3. Отношение сравнимости по модулю числа является отношением эквивалентности на множестве Z.

Определение 3.3.2. Разбиением множества называется такая система непустых подмножеств множества , в которой различные подмножества попарно не пересекаются, а совокупность всех подмножеств покрывает множество (объединение подмножеств совпадает с ).

Пример 4. Пусть множество = Z, а разбиение

{{2 | Z}, {2 + 1 | Z}}.

28

Пример 5. Пусть множество = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, а разбиение

{{1, 3, 4}, {2, 7}, {5, 6}}.

Покажем, что разбиение множества задает отношение эквивалентности на этом множестве.

Начнем с примера 4. Положим , если и принадлежат одному классу, т.е. они имеют одинаковую четность. Легко проверить, что заданное разбиение является отношением эквивалентности.

Выпишем пары отношения из примера 5, считая, что пару составляют числа из одного класса. Получим

= {(1, 1), (1, 3), (1, 4), (3, 1), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 3), (4, 4), (2, 2),

(2, 7), (7, 2), (7, 7), (5, 5), (5, 6), (6, 5), (6, 6)}.

Упражнение 1. Докажите, что — отношение эквивалентности, указав пары, соответствующие определениям 3.2.6, 3.2.7, 3.2.8.

Теорема 3.3.1. Каждое отношение эквивалентности, определенное на множестве, разбивает это множество на классы эквивалентных элементов.

Доказательство. Пусть — отношение эквивалентности на множестве . Рассмотрим подмножества = { | }.

Из свойства рефлексивности следует, что , т.е. ̸= ?. Составим множество

= { | все подмножества различны}.

Докажем, что — искомое разбиение. Поскольку для любого элемента , то

.

С другой стороны, если , то . Поэтому

Пусть далее и . Тогда и . По свойству симметричности . По транзитивности это влечет, что .

Если , то и , откуда, по транзитивности, имеем , т.е.. Таким образом, .

Обратное включение выводится аналогично.

29

Замечание 3.3.1. Из доказательства теоремы следует, что если, то = . Значит, все элементы класса разбиения равнозначны.

Определение 3.3.3. Класс разбиения — любое подмножество в разбиении. А представителем класса разбиения называют любой его элемент.

Класс разбиения можно задать любым его представителем.

Определение 3.3.4. Множество всех классов разбиения множествапо отношению эквивалентности называется фактормножеством и обозначается / .

Таким образом, / = { | }.

3.4. Классы вычетов по модулю числа

Из примера 3 следует, что отношение сравнимости по модулю N является отношением эквивалентности. Значит, существует разбиение Z = Z/≡ множества Z.

Опишем класс разбиения Z , содержащий число = + , где

0 6 < .

Этому классу принадлежат числа, сравнимые с по модулю , т.е. числа, у которых остатки от деления на число равны .

С другой стороны, ≡ (mod ), так как − = . Таким образом, = { = + | Z}. Перечислим остатки от деления на число :

0, 1, 2, . . . , − 1. (1)

Числа системы (1) попарно несравнимы по модулю .

Таким образом, в каждом классе содержится единственный остаток, поэтому классы можно занумеровать остатками. Получим

Z = {0, 1, 2, . . . , − 1}.

Следовательно, в классе все числа имеют при делении на число остаток, равный числу .

Определение 3.4.1. Классы разбиения Z называются классами вычетов по модулю , а представители класса — вычетами данного класса.

30