Алгебра системы линейных уравнений, арифметические пространства, многочлены с комплексными коэффициентами. Курс лекций. Учебное пособие

4. Функции (отображения)

4.1. Основные понятия

Функция — частный случай отношения.

Определение 4.1.1. Отношение на паре множеств и называется функцией (отображением) из в , если любой элемент находится в этом отношении с единственным элементом .

Обозначения: : → или → .

Определение 4.1.2. Если пара ( , ) принадлежит отношению , то

называется образом элемента или значением функции в точке, а элемент — прообразом элемента при действии функции или

аргументом функции , обозначение: = ( ). Две функции и равны, если они равны как множества, т.е. если

( ) = ( ) для любого .

Определение 4.1.3. Образ функции — множество , состоящее из образов всех элементов множества .

= { | существует , = ( )}.

Чтобы задать функцию, следует перечислить все пары данного отношения. Например: = {( , ) | = 2, R}.

Из определения 3.2.5 следует, что если : → , то =

и = .

Определение 4.1.4. Функция : → называется инъективной, если любой элемент множества имеет не более одного прообраза при действии данной функции.

Другими словами: различным элементам соответствуют различные образы.

Пример 1. : R+ → R, где ( ) = 2.

Определение 4.1.5. Функция : → называется сюръективной, если у любого элемента множества имеется хотя бы один прообраз при действии функции.

Пример 2. : R → R+ {0}, где ( ) = 2.

31

Определение 4.1.6. Функция называется биективной, если она инъективна и сюръективна одновременно.

Свойство инъективной функции: всякая инъективная функция из в выделяет в подмножество с теми же алгебраическими свойствами, что и .

Пусть функция : → инъективна. Обозначим = . Рассмотрим функцию : → по правилу: ( ) = ( ) для любого

.

Так как у любого элемента в есть прообраз, то является биективной функцией (см. рис. 4.1).

Рис. 4.1

Инъективные функции часто называют вложениями.

Предложение 4.1.1. Если функция : → является сюръективной, то ей соответствует некоторое отношение эквивалентности на множестве и поэтому разбиение множества .

Доказательство. Определим отношение на множестве . Положим, что тогда и только тогда, когда ( ) = ( ).

Очевидно, что отношение рефлексивно и симметрично. Докажем, что оно транзитивно. Пусть и , тогда ( ) = ( ) и ( ) = ( ). Откуда по транзитивности равенства имеем ( ) = ( ), т.е. . Рассмотрим класс разбиения . Он содержит элементы множества, образы которых равны ( ) . Определим функцию : / →

по правилу ( ) = ( ). Тогда — биекция.

Определение 4.1.7. Пусть отношение эквивалентности задано на множестве . Определим функцию : → / по правилу:

( ) = ,

т.е. каждому элементу ставим в соответствие класс, его содержащий. Полученное сюръективное отображение называют естественным.

32

4.2. Композиция функций

Определение 4.2.1. Пусть : → и : → . Композицией функций и называется функция : → , действующая по

Таким образом, композиция функций — их последовательное выполнение.

= = ; .

Композиция определена, когда второе множество первой функции совпадает с первым множеством второй функции.

Замечание 4.2.1. Если = = , то обе композиции определены. В общем случае композиция не подчиняется коммутативному закону.

Пример 3. Пусть и действуют из R в R, и для R выполняется

( ) = sin и ( ) = 2.

Найдем и . Они обе действуют из R в R.

( ) = ( ( )) = (sin ) = (sin )2

и

( ) = ( ( )) = ( 2) = sin 2.

Теорема 4.2.1 (ассоциативность композиции функций). Пусть

: → , : → , : → .

Тогда имеет место равенство функций

( ) = ( ) .

Доказательство. Рассмотрим области определения функций в равенстве.

( ) = = = = = ( ) .

так как ( ) = ( ) = ( ( )).

33

так как ( ) = ( ) = ( ( )).

Так как правые части формул (1) и (2) равны, то равны и левые.

Предложение 4.2.1. 1) Если функции : → и : →

являются инъективными, то функция инъективна.

2) Если функция является инъективной, то функция инъективна.

Доказательство. 1) Пусть ̸= . Так как функция инъективна, то ( ) ̸= ( ). Из инъективности функции следует, что( ( )) ̸= ( ( )). Отсюда следует, что ( ) ̸= ( ), т.е. разным элементам соответствуют разные образы.

2) Если ̸= , то ( ) ̸= ( ), т.е. ( ( )) ̸= ( ( )). Если( ) = ( ), то не является функцией. Таким образом, ( ) ̸= ( ).

Предложение 4.2.2. 1) Если функции : → и : →

являются сюръективными, то функция сюръективна.

2) Если функция является сюръективной, то функция сюръективна.

Доказательство. 1) Надо доказать, что любой элемент имеет прообраз при действии композиции. Так как функция является сюръективной, то у элемента есть прообраз , для которого ( ) = . Так как сюръективна функция , то существует элемент , для которого ( ) = . Отсюда следует, что = ( ( )), т.е. = ( ); таким образом, — прообраз при действии композиции.

2) По условию у любого элемента есть прообраз при

Следовательно, ( ) — прообраз при действии .

Следствие 4.2.1. Если функции : → и : → являются биективными, то функция биективна.

Пример 4. Пусть : N → N, где ( ) = + 1.

Функция является инъективной, но элемент 1 не имеет прообраза при действии , т.е. не является сюръективной.

34

Предложение 4.2.3. Всякое инъективное отображение конечного множества в себя является биективным.

Доказательство. Пусть множество содержит элементов. Тогда у них должно быть различных образов. Значит, у каждого элемента есть прообраз.

4.3. Обратимые функции

Определение 4.3.1. Функция 1 : → , которая действует по правилу: 1 ( ) = называется единичной функцией на множестве (тождественным отображением множества ).

Предложение 4.3.1. Единичная функция биективна.

Предложение 4.3.2. Если : → , то

1 = 1 = .

Доказательство. Для любого элемента имеем

(1 )( ) = 1 ( ( )) = 1 ( ) = = ( )

и

( 1 )( ) = (1 ( )) = ( ).

Определение 4.3.2. Пусть дана функция : → . Если для функции : → имеют место оба равенства

= 1 и = 1 ,

то называют функцией обратной к , а — обратимой функцией.

Замечание 4.3.1. Если функции и взаимно обратные и ( ) = , то ( ) = .

Предложение 4.3.3. Если у функции : → есть обратная, то она единственная.

35

Рассмотрим элемент .

(3) (4)

( ) = 1 ( ) = ( )( ) = ( ) ( ) = 1 ( ) = ( ).

Следовательно, = .

Эту единственную обратную к функцию обозначают −1.

Теорема 4.3.1. Функция : → обратима тогда и только тогда,

Применяя предложения об инъективных и сюръективных функциях, утверждаем, что так как 1 сюръективна, то тоже сюръективна. Так как 1 инъективна, то и является инъективной.

=. Пусть : → по правилу: если для и выполняется= ( ), то положим = ( ). Так как биективна, то тоже биективна. Далее

( ) = ( ( )) = ( ) = = 1 ( ),

т.е. = 1 .

С другой стороны,

( ) = ( ( )) = ( ) = = 1 ( ).

Следовательно, = 1 .

Следствие 4.3.1. Если — биекция, то −1 — тоже, и ( −1)−1 = .

Пример 5. Пусть : R → R, где ( ) = 5/7 − 3/7. Обратима ли функция?

Если = 5 7−3 , то = 7 5+3 , т.е. у любого R существует единственный прообраз. Значит, — биекция, т.е. обратима.

Пример 6. : R → R, где ( ) = 2 2 −3 +1. Обратима ли функция? Если = 2 2 − 3 + 1 и = 0, тогда 1 = 1 и 2 = 1/2. Наличие двух прообразов у нуля говорит о том, что функция не инъективна, поэтому

не обратима.

36

4.4. Подстановки

Рассмотрим множество чисел = {1, 2, . . . , }.

Определение 4.4.1. Любое упорядочение этих чисел будем называть

перестановкой.

Сколько существует перестановок?

На первое место в перестановке число можно выбрать различными способами. Если число на первое место выбрано, то на второе место число можно выбрать −1 способом. Таким образом, занять 1 и 2 место можно всего ( − 1) способами.

Рассуждая аналогично, получим, что всего перестановок !.

Определение 4.4.2. Скажем, что два числа в перестановке образуют инверсию, если большее число стоит впереди меньшего.

Пример 7. Рассмотрим перестановку 5, 2, 1, 3, 4.

Здесь число 5 составляет четыре инверсии с числами 1, 2, 3, 4, а число 2 составляет инверсию с числом 1. Всего 5 инверсий в перестановке.

Определение 4.4.3. Подстановкой -й степени (степени ) будем называть любое биективное отображение множества на себя.

Чтобы задать подстановку, нужно указать образ каждого числа. Записывать подстановку : → будем в виде таблицы из двух

строк, где под каждым числом стоит его образ = ( ).

Сколько разных подстановок существует? Столько сколько разных перестановок можно образовать в нижней строке, т.е. !.

Определение 4.4.4. Подстановка называется четной, если в нижней ее строке число инверсий четно.

Определение 4.4.5. Если число отлично от своего образа при выполнении данной подстановки, будем говорить, что подстановка его перемещает.

1, 3, 5, 6.

37

Определение 4.4.6. Транспозицией назовем подстановку, перемещающую только два элемента множества.

Лемма 4.4.1. Транспозиция всегда нечетна.

Доказательство. Если между элементами и находится символов, то число инверсий в нижней строке равно (для ) плюс (для ), плюс одна для пары ( , ), т.е. 2 + 1. По следствию 4.2.1 композиция подстановок является подстановкой,

поэтому можно ввести следующее понятие.

Определение 4.4.7. Умножением подстановок называется их композиция.

Переставляя столбцы, подстановку можно записывать многими различными способами.

Тогда по определению 4.4.7 произведением является композиция

Получили две разные транспозиции.

Данный пример, а также теорема 4.2.1, предложение 4.3.1 и теорема 4.3.1 позволяют сформулировать следующее утверждение.

38

Определение 4.4.8. Будем называть циклом подстановку, перемещаемые элементы которой можно расположить в виде цепочки, где за каждым элементом стоит его образ, а образом последнего элемента является первый элемент цепочки.

Такой цикл будем обозначать

( )

1 2 . . . .

Цикл из примера 11 запишется в виде строки

( )

1 3 5 2 4 .

Определение 4.4.9. Два цикла называются независимыми, если множества перемещаемых ими элементов не пересекаются.

Теорема 4.4.3. Всякая нетождественная подстановка либо является циклом, либо разлагается в произведение независимых циклов.

Доказательство. Выберем любой перемещаемый данной подстановкой элемент 1, за ним запишем его образ 2, за последним — его образ 3 и т.д. Может случиться, что все перемещаемые элементы запишутся друг за другом, где окажется последним в цепочке. Тогда, в силу инъективности функции, образом может быть только 1.

Если же остались элементы, не вошедшие в первый цикл, выберем один из них и повторим рассуждения. Так как число перемещаемых элементов конечно, то процесс окончится на конечном шаге.

Из построения ясно, что такое разложение однозначно с точностью до порядка следования.

Следствие 4.4.2. Независимые циклы коммутируют.

Рассмотрим произведение транспозиций ( 1 2)( 1 3) . . . ( 1 ), получим

( )

цикл 1 2 . . . . Отсюда следует справедливость следующего утверждения.

Предложение 4.4.2. Четность цикла длины совпадает с четностью числа − 1.

40