Алгебра системы линейных уравнений, арифметические пространства, многочлены с комплексными коэффициентами. Курс лекций. Учебное пособие

Составим линейную комбинацию векторов и приравняем ее нулю.

1 1 + 2 2 + · · · + = 0.

Значит, вектор

( 1 11, 1 12 + 2 22, . . . , + , +1, . . . , ) = 0,

Следствие 7.1.1. Ранг ступенчатой системы векторов равен числу ненулевых векторов этой системы.

Предложение 7.1.1. Определитель квадратной ступенчатой матрицы равен произведению элементов ее главной диагонали.

Доказательство. Проведем индукцию по порядку определителя.

1.Для определителя второго порядка утверждение верно.

2.Допустим, что теорема верна для определителей меньшего, чем , порядка.

3.Рассмотрим определитель порядка и разложим его по элементам

первого столбца.

7.2. Строчный и столбцовый ранги матрицы

Рассмотрим матрицу , где

61

С матрицей мы связали систему векторов R5.

1 = ( 11, 12, 13, 14, 15),

2 = ( 21, 22, 23, 24, 25),

(3)

3 = ( 31, 32, 33, 34, 35),

4 = ( 41, 42, 43, 44, 45).

Но из столбцов матрицы также можно образовать систему 4-мерных векторов.

1 = ( 11, 21, 31, 41),

2 = ( 12, 22, 32, 42),

3 = ( 13, 23, 33, 43), (4)

4 = ( 14, 24, 34, 44),

5 = ( 15, 25, 35, 45).

Рассмотрим какую-нибудь линейную комбинацию векторов системы (4). Пусть

1 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 + 5 5 = 0.

Тогда имеют место следующие равенства для компонент:

11 1 + 12 2 + 13 3 + 14 4 + 15 5 = 0,

21 1 + 22 2 + 23 3 + 24 4 + 25 5 = 0,

(5)

31 1 + 32 2 + 33 3 + 34 4 + 35 5 = 0,

+ + + + = 0.

41 1 42 2 43 3 44 4 45 5

Подвергнем матрицу двум элементарным преобразованиям, получим матрицу

62

Здесь ̸= 0, — число. Рассмотрим систему столбцов матрицы

1 = ( 11 + 21, 21, 31, 41),

2 = ( 12 + 22, 22, 32, 42),

4 = ( 14 + 24, 24, 34, 44),

5 = ( 15 + 25, 25, 35, 45).

Умножим первую строку равенств (5) на и прибавим к тому, что получилось, вторую строку, умноженную на . Получим систему равенств

равенствами координат следующей линейной комбинации векторов

1 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 + 5 5 = 0.

Таким образом, нами доказано следующее предложение.

Предложение 7.2.1. При элементарных преобразованиях строк матрицы отношение зависимости между столбцами сохраняется.

Теорема 7.2.1. Ранги систем (3) и (4) для матрицы равны. Доказательство. I. Пусть матрица имеет треугольный вид

Ранг системы строк (3) матрицы равен , так как система ненулевых векторов (3) ступенчатая.

Найдем систему столбцов (4) для этой матрицы

1 = ( 11, 0, . . . , 0),

2 = ( 12, 22, . . . , 0),

· · ·

= ( , , . . . , ).

1 2

63

Рассмотрим линейную комбинацию

1 1 + 2 2 + · · · + = 0.

Вычислим вектор в левой части равенства

( 1 11 + 1, 2 22 + 2, . . . , −1 −1, −1 + −1, , ) = 0,

Из равенства = 0 получим = 0. Отсюда, −1 −1, −1 = 0, т.е. −1 = 0.

Продолжая вычисления, получим 1 11 = 0, откуда 1 = 0. Значит, система столбцов матрицы линейно независима. Ее ранг равен .

II. В общем случае приводим матрицу

Пусть число ненулевых строк в ступенчатой матрице равно 6 . Рассмотрим матрицу из этих строк

где ′11 ̸= 0, ′22 ̸= 0, . . . , ′ ̸= 0.

64

Столбцы матрицы являются векторами в пространстве R . Пер-

Но тогда и в ступенчатой матрице первые столбцов образуют базис системы столбцов, так как отличаются только нулевыми компонентами.

Таким образом, строчный и столбцовый ранги матрицы равны . Из предложения 7.2.1 следует, что тогда строчный и столбцовый ранги матрицы равны.

Определение 7.2.1. Рангом матрицы назовем ранг системы ее строк или столбцов.

Рассмотрев системы строк матриц и , замечаем, что они являются эквивалентными системами векторов.

Предложение 7.2.2. При элементарных преобразованиях строк матрицы ее ранг не меняется.

Из сказанного выше следует способ нахождения ранга матрицы. Следует привести матрицу к ступенчатому виду и сосчитать ненулевые строки ступенчатой матрицы.

65

Упражнение 2. Убедитесь, что ранг следующей матрицы

1 9 8 −2

1 −12 −7 −2

равен двум, приведя ее к ступенчатому виду.

7.3. Ранги матриц системы уравнений

Теорема 7.3.1 (Кронекера–Капелли). Система линейных уравнений является совместной тогда и только тогда, когда ранги основной и расширенной матриц этой системы равны.

Доказательство. Пусть дана система уравнений

11 1 + 12 2 + · · · + 1 = 1,

21 1 + 22 2 + · · · + 2 = 2,

(8)

· · ·

+ + · · · + = .

1 1 2 2

Рассмотрим систему столбцов ее расширенной матрицы.

1 = ( 11, 21, . . . , 1),

2 = ( 12, 22, . . . , 2),

= ( 1 , 2 , . . . , ),

= ( 1, 2, . . . , ).

Если существует решение 1, 2, . . . , системы уравнений (8), то последний столбец расширенной матрицы можно линейно выразить через столбцы основной матрицы.

= 1 1 + 2 2 + · · · + .

Следовательно, система векторов (9) линейно зависима, т.е. ранги матриц равны.

66

Обратно, если ранги равны, то последний столбец расширенной матрицы должен раскладываться по любому базису столбцов основной матрицы. Допустим, что первые столбцов основной матрицы образуют такой базис. Тогда для некоторых чисел 1, 2, . . . , имеют место равенства

1 1 + 2 2 + · · · + =

для всех = 1, 2, . . . , . Дополним суммы слева

Последние равенства показывают, что чисел 1, 2, . . . , , 0 . . . , 0 образуют решение системы уравнений (8).

Следствие 7.3.1. 1. Система уравнений является определенной тогда

итолько тогда, когда ранг ее основной матрицы равен числу неизвестных.

2.Система однородных уравнений имеет ненулевые решения тогда

итолько тогда, когда ранг основной ее матрицы меньше числа неизвестных.

7.4. Теорема о ранге матрицы

Пусть дана матрица

Определение 7.4.1. Наибольшим порядком ненулевых миноров матрицы называется число , удовлетворяющее условиям:

1)у матрицы найдется ненулевой минор порядка ;

2)все миноры матрицы, порядки которых больше (если такие существуют), равны нулю.

Теорема 7.4.1. Ранг матрицы равен наибольшему порядку ее ненулевых миноров.

67

Доказательство. Пусть ранг матрицы равен числу . Покажем, что число удовлетворяет условиям определения.

1)У матрицы существует подматрица , состоящая из линейно независимых строк.

Так как столбцовый ранг матрицы равен , то у матрицы найдется подматрица , состоящая из линейно независимых столбцов. Определитель матрицы является ненулевым минором матрицы порядка .

2)Строки любой подматрицы матрицы , в которой больше строк, составляют линейно зависимую систему (если такая подматрица найдется). Поэтому второе условие определения тоже справедливо для чис-

ла .

Следствие 7.4.1. Определитель квадратной матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда система строк матрицы линейно зависима.

Доказательство. Пусть определитель матрицы равен нулю. Значит, наивысший порядок ненулевых миноров матрицы меньше ее порядка. Следовательно, ранг матрицы меньше числа ее строк.

Обратно, если система строк зависима, то ранг матрицы меньше числа строк. Значит, наивысший порядок ненулевых миноров матрицы меньше ее порядка.

Пример 1. Вычислить ранг матрицы с помощью миноров:

Решение. Проверьте самостоятельно, что | | = 0, т.е. минор 4-го

68

8. Комплексные числа

8.1. Построение модели

На протяжении изучения школьного курса математики несколько раз приходилось расширять понятие числа. Известно, что

N Z Q R.

Эта цепочка включений указывает на то, как расширялось понятие числа в школьном курсе математики. Напомним схематично причины, которыми был вызван переход к новому числовому множеству в каждом случае.

В N нельзя вычитать, в Z нельзя делить, в Q нельзя извлекать корни. Самым большим множеством чисел, с которым вы знакомы, является

множество R.

Напомним, что мы умеем складывать, вычитать, умножать и делить действительные числа (кроме деления на ноль), при этом перечисленные действия подчиняются некоторым известным правилам: ассоциативному, коммутативному законам, дистрибутивному закону умножения относительно сложения и т.д.

Напомним также, что действительные числа изображаются точками числовой прямой (существует взаимно однозначное соответствие между точками прямой и множеством их абсцисс).

Заметим, что нам недостаточно одних действительных чисел для решения всех алгебраических задач, связанных с действием извлечения корня. Мы, например, не можем решить уравнение

Поставим перед собой задачу:

Расширить множество действительных чисел до такого множества чисел, в котором выполнялись бы те же действия и существовали бы те же законы, что во множестве действительных чисел, но где уравнение (1) имело бы решение.

69

Пусть новая система чисел изображается всеми точками плоскости. Но в соответствие точке плоскости вы привыкли ставить пару действительных чисел, поэтому рассмотрим все точки плоскости в некоторой системе координат, обозначая их буквами , , , . . . и записывая = ( , ), если — абсцисса точки , а — ее ордината.

Другими словами: для решения нашей задачи рассмотрим множество, элементами которого являются упорядоченные пары действительных чисел. Определим некоторые правила поведения пар, т.е. перечислим ряд аксиом.

1.( , ) = ( , ), в том и только в том случае, если = и = .

2.Если = ( , ), а = ( , ), их суммой будем считать следующую пару + = ( + , + ).

3.Произведением и будем считать пару = ( − , + ). Так как сложение сводится к сложению действительных чисел, то оно

подчиняется коммутативному и ассоциативному законам. Для пары (0, 0) верны равенства

( , ) + (0, 0) = (0, 0) + ( , ) = ( , )

для всякой пары ( , ) .

Разностью пар ( , ) и ( , ) следует считать пару ( , ), для которой

( , ) + ( , ) = ( , ),

т.е. ( , ) = ( − , − ). Такая пара найдется единственным образом. Каждая ( , ) имеет противоположную пару −( , ) = (− , − ), для

которой

( , ) + (−( , )) = (−( , )) + ( , ) = (0, 0).

Проверим теперь, какими свойствами обладает умножение.

1) ( , )( , ) = ( − , + ) = ( , )( , ),

если учесть коммутативность умножения действительных чисел.

( )

2) ( , ) ( , )( , ) = ( , )( − , + ).

Последнее произведение равно паре

( )

( − ) − ( + ), ( + ) + ( − ) ,

70