Алгебра системы линейных уравнений, арифметические пространства, многочлены с комплексными коэффициентами. Курс лекций. Учебное пособие

Если − 1 и − 1 составляли инверсию во второй строке подстановки, то и составляют инверсию во второй строке подстановки . Следовательно, знаки данных подстановок одинаковые. Значит,

11 = 11 = (−1)1+1 11.

II. Рассмотрим произвольный случай. Для доказательства утверждения переставим -ю строку на первое место, сделав − 1 перестановок, а затем — -й столбец на первое место, сделав − 1 перестановок. В ре-

зультате получим

= (−1) −1+ −1 .

6. Арифметические пространства

6.1. Основные свойства

Определение 6.1.1. Упорядоченная система действительных чисел = ( 1, 2, . . . , ) называется -мерным вектором. Числа системы называются компонентами вектора. Два вектора равны, если равны их компоненты, стоящие на одинаковых местах.

Рассмотрим множество всех -мерных векторов

R = { = ( 1, 2, . . . , ) | R}.

Определим на множестве R действие «сложение».

Определение 6.1.2. Суммой вектора = ( 1, 2, . . . , ) и вектора

= ( 1, 2, . . . , ) называется вектор

+ = ( 1 + 1, 2 + 2, . . . , + ).

Сложение векторов коммутативно и ассоциативно, так как сводится к сложению чисел.

Роль нуля играет вектор 0 = (0, 0, . . . , 0), так как

+ 0 = 0 + = .

Вектор − = (− 1, − 2, . . . , − ) является противоположным к вектору , так как

+ (− ) = − + = 0.

51

Разностью векторов и называется вектор − = + (− ).

Определим теперь на множестве R действие «умножение на число».

Определение 6.1.3. Произведением вектора на число R называется вектор = ( 1, 2, . . . , ).

Теорема 6.1.1. Для любых , R и 1, , R верны соотношения:

1)( ± ) = ± ;

2)( ± ) = ± ;

3)( ) = ( ) ;

4)1 · = .

Доказательство. Докажем первое утверждение.

( )

( ± ) = ( 1 ± 1), ( 2 ± 2), . . . , ( ± ) =

=( 1 ± 1, 2 ± 2, . . . , ± ) = ( 1, 2, . . . , )±

±( 1, 2, . . . , ) = ± .

Остальные утверждения доказываются аналогично.

Определение 6.1.4. Множество R всех -мерных векторов с действительными компонентами с определенными операциями сложения векторов и умножения вектора на число называется арифметическим -мер- ным пространством.

Предложение 6.1.1. Для любых , 0 R и 0, R верны соотношения:

1)· 0 = 0;

2)0 = 0;

3)если = 0, то = 0 или = 0.

Доказательство. Докажем третье утверждение. Пусть ̸= 0. Тогда

= 1 = ( −1 ) = −1( ) = −10 = 0.

Предложение 6.1.2. Имеет место следующее «правило знаков»:

Определение 6.1.5. Линейной комбинацией векторов 1, 2, . . . ,

называется вектор

= 1 1 + 2 2 + · · · + .

52

В этом случае говорят, что вектор линейно выражается через векторы(разложен по векторам ). Если все коэффициенты равны 0, то линейная комбинация называется тривиальной.

6.2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов

Пусть в пространстве R дана система векторов

1, 2, . . . , . (1)

Определение 6.2.1. Система (1) называется линейно зависимой, если существует хотя бы одна нетривиальная линейная комбинация векторов системы (1), равная 0. Система (1) называется линейно независимой, если не существует ни одной нетривиальной линейной комбинации векторов системы (1), равной 0.

Свойства линейной зависимости

Предложение 6.2.1. Система из одного вектора линейно зависима в том и только в том случае, когда этот вектор нулевой.

Доказательство. . Из определения линейной зависимости следует существование числа ̸= 0, для которого = 0. Тогда −1( ) = −10, т.е. = 0.

. Следствие пункта 1) предложения 6.1.1.

Предложение 6.2.2. Система (1) при > 2 линейно зависима тогда и только тогда, когда какой-либо вектор в ней линейно выражается через остальные векторы этой системы.

Доказательство. Пусть система (1) линейно зависима. Тогда найдутся (не все равные нулю) элементы 1, 2, . . . , , для которых

1 1 + 2 2 + · · · + = 0.

Пусть, для определенности, 1 ̸= 0. Тогда

1 = − 1−1 2 2 − 1−1 3 3 − · · · − 1−1 .

Обратно, если

= 1 1 + · · · + −1 −1 + +1 +1 + · · · + ,

53

то

0 = 1 1 + · · · + −1 −1 + (−1) · + +1 +1 + · · · + ,

где −1 ̸= 0.

Предложение 6.2.3. Система, содержащая 0, всегда линейно зависима.

Доказательство. Пусть = 0, тогда следующая линейная комбинация является нетривиальной:

0 1 + 0 2 + · · · + 0 −1 + 1 · = 0.

Предложение 6.2.4. Если часть системы векторов зависима, то и вся система зависима.

Доказательство. Пусть часть системы (1) линейно зависима. Не теряя общности, можно считать, что система 1, 2, . . . , линейно зависима при < . Тогда существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов.

1 1 + 2 2 + · · · + = 0.

Легко получить нетривиальную линейную комбинацию всех векторов системы (1).

1 1 + 2 2 + · · · + + 0 +1 + 0 +2 + · · · + 0 = 0.

Следствие 6.2.1. Любая часть независимой системы векторов является независимой.

Доказательство. Предположив противное, придем к противоречию с доказанным ранее.

Предложение 6.2.5. Если система (1) линейно независима, то систе-

линейно зависима тогда и только тогда, когда вектор линейно выражается через векторы системы (1).

Доказательство. Если система (2) зависима, то найдутся , , не все равные нулю, для которых

1 1 + 2 2 · · · + + = 0.

54

Доказательство. Рассмотрим системы векторов, указанные в условии теоремы. По условию имеют место равенства

1 = 11 1 + 12 2 + · · · + 1 ,2 = 21 1 + 22 2 + · · · + 2 ,

. . .

= 1 1 + 2 2 + · · · + ,

+1 = +1,1 1 + +1,2 2 + · · · + +1,

для некоторых .

Рассмотрим произвольную линейную комбинацию векторов системы (3)

Подставив в (4) правые части равенств для векторов системы (3) и произведя перегруппировку, получим

= ( 11 1 + 21 2 + · · · + +1,1 +1) 1 + ( 12 1 + 22 2 + . . .

+ +1,2 +1) 2 + · · · + ( 1 1 + 2 2 + · · · + +1, +1) .

Рассмотрим систему уравнений

11 1 + 21 2 + · · · + +1,1 +1 = 0,

12 1 + 22 2 + · · · + +1,2 +1 = 0,

(5)

· · ·

+ + · · · + = 0.

1 1 2 2 +1, +1

Так как число уравнений в системе (5) меньше числа неизвестных, то при приведении ее к ступенчатому виду получится трапецевидная система. Таким образом, система (5) является неопределенной, у нее существуют ненулевые решения. Если набор 1, 2, . . . , +1 — одно из таких решений, то = 0 и равенство (4) показывает зависимость системы (3).

Следствие 6.2.3. Если < и в системе из векторов каждый вектор линейно выражается через векторы системы, состоящей из векторов, то система из векторов является линейно зависимой.

56

6.3. Базис и ранг

Пусть в пространстве R дана система ненулевых векторов

1, 2, . . . , . (6)

Может оказаться, что эта система линейно зависима. Тогда найдется вектор, являющийся линейной комбинацией остальных векторов. Пусть это будет последний вектор. Исключив его, получим новую систему векторов

1, 2, . . . , −1. (7)

Если система (7) линейно зависима, найдем вектор, являющийся линейной комбинацией остальных векторов, и укоротим систему. Продолжим процесс до тех пор, пока не получим линейно независимую систему (может быть только из одного вектора).

1, 2, . . . , . (8)

Определение 6.3.1. Система (8) называется максимальной подсистемой системы (6).

Замечание 6.3.1. Так как

то любой вектор системы (6) является линейной комбинацией векторов системы (8).

Следствие 6.3.1. Любые две максимальные подсистемы содержат одинаковое число векторов.

Доказательство. Пусть система векторов

также является максимальной подсистемой в системе (6).

Допустим, что < . По замечанию каждый вектор системы (9) линейно выражается через векторы системы (8). По основному свойству линейной зависимости система (9) является линейно зависимой, что противоречит ее максимальности.

Если допустить, что < , то зависимой окажется система (8). Чего быть не может. Значит, = .

57

Определение 6.3.2. Назовем рангом системы векторов число векторов в любой ее максимальной подсистеме.

Пусть даны две системы векторов:

и

1, 2, . . . , . (11)

Определение 6.3.3. Системы векторов (10) и (11) называют эквивалентными, если каждый вектор системы (11) является линейной комбинацией векторов системы (10), и каждый вектор системы (10) линейно выражается через векторы системы (11).

Следствие 6.3.2. Ранги эквивалентных систем векторов равны. Доказательство. Пусть система векторов (8) является максималь-

ной подсистемой системы векторов (10), а система векторов

1, 2, . . . ,

является максимальной подсистемой в системе (11).

Повторяя рассуждения доказательства следствия 6.3.1, получим равенство = . Рассмотрим в пространстве R систему так называемых единичных

векторов

1 = (1, 0, 0, . . . , 0),

2 = (0, 1, 0, . . . , 0),

(12)

· · ·

= (0, 0, 0, . . . , 1).

Эта система линейно независима. Действительно, положим

1 1 + 2 2 + · · · + = 0.

Тогда ( 1, 2, . . . , ) = (0, 0, . . . , 0), т.е. все = 0.

Пусть = ( 1, 2, . . . , ) — произвольный вектор в пространстве R . Тогда

= 1 1 + 2 2 + · · · + .

Система (12) является максимальной подсистемой пространства R .

58

Следствие 6.3.3. В пространстве R всякая система, содержащая более векторов, является линейно зависимой.

Определение 6.3.4. Базисом пространства R называется всякая максимальная его подсистема.

Следствие 6.3.4. В пространстве R всякая система, содержащаялинейно независимых векторов является базисом.

Из основного свойства линейной зависимости следует, что базис в пространстве R не может содержать меньше, чем векторов.

Теорема 6.3.1. Любую линейно независимую систему векторов пространства R можно дополнить до базиса пространства.

Доказательство. Если число векторов данной системы равно , то она сама является базисом. Если это число меньше , добавим к системе один из векторов пространства, который нельзя выразить через векторы данной системы. Новая система останется линейно независимой и т.д.

Следствие 6.3.5. Любой ненулевой вектор из пространства R можно включить в некоторый базис пространства.

7. Ранг матрицы

7.1. Элементарные преобразования систем векторов

Рассмотрим матрицу , где

Определение 7.1.1. Первый слева ненулевой элемент строки матрицы будем называть ведущим. Матрица называется ступенчатой, если вторые индексы ведущих элементов ее строк образуют строго возрастающую последовательность, а нулевые строки, если они есть, стоят ниже ненулевых.

Далее нам понадобится определение элементарных преобразований строк матрицы (см. определение 5.2.2).

59

Теорема 7.1.1. С помощью элементарных преобразований строк любую матрицу можно привести к ступенчатому виду.

Доказательство. Если матрица нулевая, то она уже имеет ступенчатый вид. В матрице, отличной от нулевой, находим первый по счету ненулевой столбец и, переставляя строки при необходимости, делаем его первый элемент отличным от нуля. С помощью третьего преобразования все остальные элементы столбца обращаем в нули и т.д.

Рассмотрим систему векторов

1 = ( 11, 12, . . . , 1 ),

2 = ( 21, 22, . . . , 2 ),

(1)

Определение 7.1.2. Будем называть систему векторов (1) ступенчатой, если матрица, составленная из векторов системы, является ступенчатой.

Определение 7.1.3. Назовем элементарными преобразованиями системы векторов следующие:

1)перестановка двух векторов в системе;

2)умножение вектора на число, отличное от нуля;

3)прибавление к одному вектору системы другого ее вектора, умноженного на число.

Теорема 7.1.2. Всякую систему векторов с помощью элементарных преобразований можно привести к ступенчатому виду.

Теорема 7.1.3. Ступенчатая система ненулевых векторов всегда линейно независима.

Доказательство. Рассмотрим систему векторов

1 = ( 11, 12, . . . , 1 , . . . , 1 ),

2 = (0, 22, . . . , 2 , . . . , 2 ),

(2)

где 11 ̸= 0, 22 ̸= 0, . . . , ̸= 0.

60