Алгебра системы линейных уравнений, арифметические пространства, многочлены с комплексными коэффициентами. Курс лекций. Учебное пособие

получим число

( + + · · · + ) − (1 + 1 + · · · + 1),

называемое декрементом подстановки .

Предложение 4.4.3. Четность подстановки совпадает с четностью декремента.

Определение 4.4.10. Знак подстановки равен 1, если подстановка четная и — числу −1, если подстановка нечетная.

Следствие 4.4.3. Если декремент подстановки равен числу , то ее можно разложить в произведение транспозиций.

Предложение 4.4.4. Произведение двух подстановок одинаковой четности четно. Четности взаимно обратных подстановок одинаковы.

Доказательство. Если первая подстановка является произведениемтранспозиций, а вторая — произведением транспозиций, то их произведение содержит + транспозиций.

Произведение подстановок и −1 равно тождественной подстановке, т.е. является четной подстановкой.

5. Определители

5.1. Определители квадратных матриц

Напомним: матрица — таблица из чисел. С каждой квадратной матрицей свяжем число, которое назовем определителем матрицы.

Определение 5.1.1. Определителем квадратной матрицы порядка называется число, равное алгебраической сумме ! слагаемых, и обозначается | | или det . Каждое слагаемое является произведение элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Знак слагаемого определяется знаком соответствующей подстановки индексов (которая отображает номера строк в номера столбцов).

Пример 1. Пусть = 2. Рассмотрим матрицу

41

Из определения следует, что число | | является алгебраической суммой двух слагаемых 11 22 и 12 21, причем знак первого слагаемого равен знаку тождественной подстановки, а знак второго слагаемого равен знаку

По определению 5.1.1

| | = 11 22 33 − 11 23 32 − 12 21 33 + 12 23 31 + 13 21 32 − 13 22 31.

Пример 3. Пусть = 3. Рассмотрим определитель примера 2. Заметим, что | | = + + , где число

42

5.2. Свойства определителей

Определение 5.2.1. Транспонированием матрицы называется замена ее строк соответствующими столбцами.

Пример 4. Для матрицы

транспонированной является матрица

При доказательстве свойств определителя ограничимся матрицами небольших порядков. Принцип доказательств не изменится.

1. Определитель транспонированной матрицы равен определителю данной матрицы.

Доказательство. Рассмотрим матрицы из примера 4. Найдем произвольное слагаемое из определителя матрицы .

1 1 2 2 3 3 4 4 .

Его знак определяется знаком подстановки

Числа из произведения в матрице стоят в разных строках и столбцах. Значит такое слагаемое есть и в определителе транспонированной матрицы. Надо только узнать знак произведения.

Из верного соотношения = заключаем, что в | | знак произведения определяется знаком подстановки

43

Но мы знаем, что = −1. Таким образом, каждому слагаемому определителя матрицы соответствует равное слагаемое определителя матрицы , т.е. | | = | |.

2. При перестановке двух строк определитель матрицы меняет знак на противоположный.

Доказательство. Рассмотрим два определителя

Выпишем произвольное слагаемое из первого определителя

1 1 2 2 3 3 4 4 .

Ему соответствует подстановка индексов

( )

= 1 2 3 4 .

1 2 3 4

Так как элементы матриц не отличаются, найдем подстановку, соответствующую данному слагаемому во втором определителе. Это будет

( )

= 1 2 3 4 .

1 3 2 4

Тогда = ( 2 3). Следовательно, = − .

Так как для каждого слагаемого 1 существует такое же слагаемое, но с противоположным знаком в 2, то 1 + 2 = 0, т.е. 1 = − 2.

3. Определитель с двумя равными строками равен 0.

Доказательство. Рассмотрим определитель 1. Допустим в нем2 = 3 для всех = 1, 2, 3, 4. Поменяем местами 2-ю и 3-ю строки. Из доказанного следует, что 1 = − 2. Из равенства строк заключаем, что 2 = 1, откуда 1 = − 1, т.е. 1 = 0.

4. Если все элементы строки матрицы умножить на число, отличное от нуля, то определитель матрицы умножится на это число.

44

Доказательство. Рассмотрим определители

Следствие 5.2.1. Общий делитель всех элементов строки можно выносить за знак определителя.

5. Если в определителе две строки пропорциональны, то он равен 0.

Доказательство.

6. Если в -й строке определителя каждый элемент есть сумма двух слагаемых, то данный определитель равен сумме двух определителей, отличающихся от данного только -й строкой. При этом в -й строке первого определителя стоят первые слагаемые, а в -й строке второго определителя — вторые слагаемые элементов -й строки исходного определителя.

Доказательство. Рассмотрим определитель

45

Тогда

7. Если к одной строке матрицы прибавить другую строку, умноженную на число, то определитель не изменится.

Доказательство. Рассмотрим определитель

и определитель

Первое свойство позволяет считать все свойства верными и для столбцов квадратной матрицы.

Определение 5.2.2. Элементарными преобразованиями строк

(столбцов) матрицы назовем следующие преобразования:

46

1)перестановка двух строк (столбцов) матрицы;

2)умножение всех элементов строки (столбца) на действительное ненулевое число;

3)прибавление к одной строке (одному столбцу) матрицы другой ее строки (другого ее столбца), умноженной (умноженного) на действительное число.

Предложение 5.2.1. Если матрицу подвергнуть элементарному преобразованию строк (столбцов), то ее определитель или не изменится, или умножится на число, отличное от нуля.

5.3. Алгебраическое дополнение элемента определителя

Рассмотрим определитель

где на пересечении -й строки и -го столбца стоит единица.

Определение 5.3.1. Определитель называют алгебраическим дополнением элемента .

Например, определитель

является алгебраическим дополнением элемента 33. Рассмотрим следующий определитель

47

Вынесем из -й строки за знак определителя. Получим

Спомощью -й строки обратим все элементы -го столбца в 0. Тогда

= .

Теорема 5.3.1. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой его строки на их алгебраические дополнения.

Доказательство. Для доказательства представим каждый элемент-й строки в виде суммы слагаемых 0 + 0 + · · · + + · · · + 0 и воспользуемся свойством 6 и последними рассуждениями.

Значит, = 21 21 + 22 22 + 23 23 + 24 24.

Следствие 5.3.1. Если в какой-либо строке определителя все элементы, кроме одного, равны нулю, то определитель равен произведению этого ненулевого элемента на его алгебраическое дополнение.

Следствие 5.3.2. Сумма произведений элементов строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.

48

Доказательство. Рассмотрим определитель