Алгебра системы линейных уравнений, арифметические пространства, многочлены с комплексными коэффициентами. Курс лекций. Учебное пособие

которая в свою очередь равна паре

( − ) − ( + ) , ( − ) + ( + ) ,

и потому равна

( )

( − , + )( , ) = ( , )( , ) ( , ).

Таким образом, умножение подчиняется ассоциативному и коммутативному законам.

Упражнение 3. Убедиться, что умножение дистрибутивно относительно сложения.

Пусть далее ( , ) ̸= (0, 0).

Частным от деления ( , ) на ( , ) является пара ( , ), для которой

( , )( , ) = ( , ). Отсюда следует, что

{

− = ,

+ = .

Для пары (1, 0) и любой пары ( , ) верны равенства

(1, 0)( , ) = ( , )(1, 0) = ( , ).

Тогда парой, обратной паре ( , ) ̸= (0, 0), будет служить пара

Определение 8.1.1. Множество всех упорядоченных пар действительных чисел, для которого справедливы перечисленные выше правила действий, называется множеством комплексных чисел C, а сами пары —

комплексными числами.

Но откуда видно, что новое множество чисел является расширением множества действительных чисел?

Рассмотрим множество пар вида ( , 0). Можно поставить в соответствие паре ( , 0) действительное число . Получится взаимно однозначное соответствие между элементами множеств и R.

71

Применим правила сложения и умножения пар к элементам , получим ( , 0) + ( , 0) = ( + , 0) и ( , 0)( , 0) = ( , 0).

Таким образом, элементы множества , являющегося подмножеством множества комплексных чисел, по своим алгебраическим свойствам не отличаются от действительных чисел. Это позволяет нам не различать пару ( , 0) и действительное число , т.е.

(0, 0) = 0 и (1, 0) = 1.

Теперь найдем среди комплексных чисел решение уравнения (1). Для этого рассмотрим число (0, 1).

(0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1.

Так как найденное число не является действительным, введем для него более удобное обозначение.

Определение 8.1.2. Обозначим буквой комплексное число, квадрат которого равен −1:

2 = −1 ,

и комплексное число будем называть мнимой единицей. Рассмотрим далее произвольное комплексное число

( , ) = ( , 0) + (0, ) = ( , 0) + ( , 0)(0, 1) = + = .

Таким образом записывается всякое комплексное число C. Здесь, — действительные числа, а — мнимая единица.

Определение 8.1.3. Введенная форма записи комплексного числа называется алгебраической формой записи; = ( ) — действительная часть, — мнимая часть, = ( ) — коэффициент при мнимой части.

Мы определили правила действий над комплексными числами в алгебраической форме. Ни в одном из них мнимая единица не участвует. Формулы правил сложения и умножения следует запомнить. Для деления в этом нет необходимости.

Определение 8.1.4. Будем называть число − сопряженным числу + .

72

Решение. Применим метод Гаусса, при этом будем преобразовывать

Возведение в натуральную степень — частный случай умножения. Найдем формулу извлечения квадратного корня из комплексного чис-

ла в алгебраической форме. Пусть = + .

Если из данного числа можно извлечь корень, то он имеет вид + , для некоторых действительных чисел , . Таким образом,

( + )2 = ( 2 − 2) + (2 ) = + .

По правилу сравнений комплексных чисел заключаем, что

{

2 − 2 = ,

2 = .

Возведем оба уравнения в квадрат и сложим. К полученному уравнению добавим первое из старой системы, запомнив, что 2 = . Получим

{

2 − 2 = ,

( 2 + 2)2 = 2 + 2.

73

8.2. Тригонометрическая форма комплексного числа

Определение 8.2.1. Плоскость, точки которой в декартовой системе координат отождествляются с комплексными числами, построенными в предыдущем пункте, будем называть комплексной плоскостью. Ось абсцисс этой плоскости будем называть действительной осью (так как ее точки изображают действительные числа) и обозначать на плоскости символом , а ось ординат комплексной плоскости — мнимой осью и обозначать на плоскости символом .

Таким образом, комплексное число = + на комплексной плос-

кости изображается точкой с координатами ( , ). Можно вместо точки

−−→

рассматривать вектор с началом в точке (0, 0) и концом в точке ( , ) (см. рис. 8.1).

Рис. 8.1

Такое представление комплексных чисел на комплексной плоскости позволяет сопоставить сложение комплексных чисел со сложением геометрических векторов (см. рис. 8.2).

Рассмотрим теперь полярные координаты точки, где полюсом будет

начало координат, а полярной осью положительная часть действительной

−−→

оси . Тогда положение точки вполне определено длиной вектора

−−→

(расстоянием от точки до полюса) и углом отклонения вектора от положительного направления действительной оси (см. рис. 8.3).

75

Рис. 8.2

Рис. 8.3

Определение 8.2.2. Модулем комплексного числа называется длина вектора, изображающего данное комплексное число | |. Аргументом комплексного числа arg называется угол между положительным направлением действительной оси и вектором, изображающим комплексное число.

Если | | = и arg = , то имеют место формулы:

Таким образом,

Определение 8.2.3. Тригонометрической формой комплексного числа называется представление его в виде = (cos + sin ).

Выводы. Модуль комплексного числа определен однозначно.

Если число отлично от нуля, оно имеет бесконечно много аргументов, отличающихся на 2 , где — целое число.

Для нуля аргумент не определен.

Определение 8.2.4. Комплексные числа в тригонометрической форме равны, если равны их модули, а аргументы отличаются на 2 .

76

Сумму и разность комплексных чисел в тригонометрической форме нельзя выразить удобными формулами. Но для модуля суммы имеют место важные неравенства:

| | − | | 6 | + | 6 | | + | |.

Неравенства вытекают из известной теоремы о сторонах треугольника и свойств действительных чисел.

Если учесть, что − = + (− ) и | − | = | |, то

| | − | | 6 | − | 6 | | + | |.

8.3.Правила действий над комплексными числами в тригонометрической форме

Пусть = 1(cos + sin ) и = 2(cos + sin ). Тогда

Предложение 8.3.1. При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме модули умножаются, а аргументы складываются.

Далее рассмотрим частное

= 1(cos + sin ).2(cos + sin )

Умножив на сопряженное знаменателю число, получим

= 1 (cos( − ) + sin( − )).

2

Предложение 8.3.2. При делении комплексных чисел в тригонометрической форме модули делятся, а аргументы вычитаются.

Формула Муавра

Определение 8.3.1. Формулой Муавра называют следующую формулу возведения в степень комплексного числа:

= ( (cos + sin )) = (cos + sin ).

77

Теорема 8.3.1. Формула Муавра справедлива для всех целых показателей степени.

Доказательство. 1) Если — натуральное число, воспользуемся правилом умножения комплексных чисел в тригонометрической форме.

2) Если = 0, то

0 = 1 = 1 · (cos 0 + sin 0) = 0(cos 0 + sin 0 ).

3) Если < 0, то = − > 0. Тогда

= ( − )−1 = 1 .

Применяя формулу Муавра для натурального и деля по формуле деления числитель на знаменатель, получим

− (cos(− ) + sin(− ) ) = (cos + sin ).

Решение. 1. Представим числитель дроби в тригонометрической форме.

Значит,

= + 3 = 43 .

Таким образом,

2. Представим знаменатель дроби в тригонометрической форме.

78

8.4. Извлечение корня -й степени из комплексного числа

Пусть = (cos + sin ). Если корень существует, то

= (cos + sin ). Тогда

= ( (cos + sin )) = (cos + sin ) = .

По правилу сравнения чисел в тригонометрической форме имеем

Теорема 8.4.1. Существует ровно различных значений корня -й степени из комплексного числа. Они находятся по формулам

для = 0, 1, 2, . . . , − 1.

79

Доказательство. Сначала докажем, что никакие два из указанных выше значений не совпадают.

Так как модули равны, остается сравнить аргументы. Выберем

Рассмотрим разность аргументов чисел и , учитывая неравенства (*).

Но в указанных пределах ни одно число не может делиться на 2 . Следовательно, числа попарно различны.

Осталось доказать, что других значений корня не существует. Рассмотрим произвольное целое число . Разделим его с остатком на число, получим = + , где = 0, 1, . . . , −1. Найдем аргумент числа . Он равен

8.5. Корни -й степени из единицы

Так как 1 = cos 0+ sin 0, то значения корня -й степени из 1 находятся

по формулам

= cos 2 + sin 2 ,

для = 0, 1, . . . , − 1.

80