Алгебра основные структуры алгебры, линейная алгебра. Курс лекций. Учебное пособие

Из последнего равенства находим 2 + 2 1 = 0, т.е. 1 = −1. Далее,

( 3, 2) = ( 3 + 1 1 + 2 2, 2) = ( 3 + 2 2, 2) = ( 3, 2) + 2( 2, 2) = 0.

Отсюда 0 + 2 = 0, т.е. 2 = 0.

Тогда 3 = (1, 0, 1, 1) − (1, 0, 1, 0) = (0, 0, 0, 1). Рассмотрим вектор 4 = 4 + 1 1 + 2 2 + 3 3. Налагаем требования ортогональности. Так как

( 4, 1) = ( 4 + 1 1 + 2 2 + 3 3, 1) = ( 4, 1) + 1( 1, 1) = 0,

то 1 + 2 1 = 0, т.е. 1 = −1/2. Из

( 4, 2) = ( 4 + 1 1 + 2 2 + 3 3, 2) = ( 4, 2) + 2( 2, 2) = 0

следует, что 0 + 2 = 0, т.е. 2 = 0. Так как

( 4, 3) = ( 4 + 1 1 + 2 2 + 3 3, 3) = ( 4, 3) + 3( 3, 3) = 0,

то 0 + 3 = 0, т.е. 3 = 0.

Таким образом, 4 = (1, 0, 0, 0) − 1/2(1, 0, 1, 0) = (1/2, 0, −1/2, 0) = = 1/2(1, 0, −1, 0).

4.5. Ортонормированные базисы

Определение 4.5.1. Базис 1, 2, . . . , евклидова пространства называется ортонормированным, если

̸

Следствие 4.5.1. Во всяком конечномерном евклидовом пространстве существуют ортонормированные базисы.

81

Теорема 4.5.1. Базис 1, 2, . . . , евклидова пространства является ортонормированным тогда и только тогда, когда скалярное произведение векторов, заданных в этом базисе, равно сумме произведений их соответствующих координат.

Доказательство. Пусть для базиса имеют место условия (5). Рассмотрим

Обратно, если скалярное произведение вычисляется по правилу (6), то рассмотрим формулы разложения двух векторов базиса по нему

= 0 1 + 0 2 + · · · + 0 1 + 1 · + 0 +1 + · · · + 0 ,= 0 1 + 0 2 + · · · + 0 1 + 1 · + 0 +1 + · · · + 0 .

Из этих формул легко выводится условие (5) для базиса.

4.6. Ортогональное дополнение к подпространству

82

Определение 4.6.1. Ортогональным дополнением к подмножеству евклидова пространства называется множество

= { | ( , ) = 0 для всех }.

Теорема 4.6.1. Ортогональное дополнение к подмножеству евклидова пространства является подпространством в .

Доказательство. Так как нулевой вектор принадлежит ортогональному дополнению любого подмножества пространства , то по замечанию 4.6.1 можно воспользоваться теоремой о подпространстве.

Теорема 4.6.2. Евклидово пространство является прямой суммой любого своего подпространства и его ортогонального дополнения .

Доказательство. Пусть система

является ортогональной системой ненулевых векторов, т.е. система (9) линейно независима.

Докажем, что (9) является базисом .

От противного, пусть + < dim . Тогда к системе (9) можно добавить вектор так, чтобы система

1, 2, . . . , , 1, 2, . . . , ,

оставалась ортогональной.

Но тогда по замечанию 4.6.1 получим , т.е. система

1, 2, . . . , ,

является ортогональной системой ненулевых векторов в , чего быть не может. Таким образом, система (9) — базис .

83

Каждый вектор разложим по базису, т.е.

= 1 1 + 2 2 + · · · + + 1 1 + 2 2 + · · · + .

Следовательно, вектор единственным образом представим в виде

= + , где , .

Значит, = .

4.7. Изоморфизм евклидовых пространств

Определение 4.7.1. Евклидовы пространства 1 и 2 называются изоморфными, если существует изоморфное отображение пространства1 на пространство 2, которое сохраняет скалярные произведения векторов, т.е. ( , ) = ( ( ), ( )) для любых , 1.

Теорема 4.7.1. Евклидовы пространства изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности равны.

Доказательство. Необходимость очевидна.

Пусть dim 1 = dim 2 = , рассмотрим ортонормированные базисы этих пространств: 1, 2, . . . , в 1 и 1, 2, . . . , в 2.

Пусть далее , 1, где

Положим ( ) = . Тогда — изоморфизм линейных пространств. Пусть

Вычислим скалярные произведения и сравним.

84

5. Линейные отображения

5.1. Простейшие свойства линейных отображений

Пусть 1 и 2 — линейные пространства над полем .

Определение 5.1.1. Отображение : 1 → 2 называется линейным (гомоморфизмом), если оно удовлетворяет условиям линейности:

1)( + ) = ( ) + ( ) для любых элементов , 1;

2)( ) = · ( ) для любых элементов 1 и .

Пример. Если линейное отображение биективно, оно является изоморфизмом векторных пространств.

Предложение 5.1.1. Линейные отображения переводят:

1)нулевой вектор в нулевой;

2)противоположный в противоположный;

3)линейную комбинацию векторов в линейную комбинацию их об-

разов.

Доказательство. 1. Так как 0 = 0 для любого 1, то

(0) = 0 · ( ) = 0.

∑

Проведем доказательство по индукции по числу слагаемых. Пусть = 2, тогда

( 1 1 + 2 2) = ( 1 1) + ( 2 2) = 1 · ( 1) + 2 · ( 2).

Допустим, что утверждение верно для всех сумм с числом слагаемых строго меньшим числа .

Рассмотрим сумму из слагаемых и учтем случай = 2, получим

Ко второму слагаемому применим индуктивное предположение.

Примеры. 1) Поворот плоскости на угол (даже изоморфизм).

2) Ортогональное проектирование на плоскость, отображающее векторы трехмерного евклидова пространства в пространство векторов плоскости — линейное отображение (не изоморфизм).

85

3) Дифференцирование — линейное отображение пространства непрерывно дифференцируемых функций на заданном промежутке числовой прямой в пространство непрерывных функций на этой прямой.

Предложение 5.1.2. Линейное отображение : 1 → 2 над полем однозначно определяется заданием образов базисных векторов пространства 1.

Доказательство. Пусть 1, 2, . . . , — базис пространства 1.

С другой стороны, пусть 1, 2, . . . , — произвольная система векторов пространства 2.

Тогда определим отображение

5.2. Матрицы линейного оператора

Пусть дано пространство над полем .

Определение 5.2.1. Линейным оператором называется любое линейное отображение пространства над полем в себя, т.е. — линейный оператор, если:

1) : → ;

1)( + ) = ( ) + ( ) для любых элементов , ;

2)( ) = · ( ) для любых элементов и .

86

Примеры. 1) Пусть = R2, а — поворот на угол .

2)В пространстве C над R зафиксируем C и положим ( ) = для всякого C.

3)В пространстве примера 1) положим ( , ) = ( , 0).

Существуют различные способы задания линейных операторов. Рассмотрим подробнее один из них.

Надо вспомнить о матрице перехода от базиса к системе векторов.

Пусть 1, 2, . . . , — базис пространства . Если

( )

= 1 2 . . .

и матрица

( )

( ) = ( 1) ( 2) . . . ( )

составлена из образов векторов базиса, то обозначим буквой матрицу перехода от базиса к системе образов. Тогда имеет место равенство

( ) = .

Определение 5.2.2. Матрица называется матрицей оператора в базисе .

Из свойств линейных отображений следует, что такая матрица определяется заданием базиса однозначно.

Пусть матрица

∑

( ) = · ( ) = ( ) · .

=1

Учитывая сказанное выше, заключаем, что ( ) = . 87

С другой стороны, ( ) = .

Учитывая технические леммы, получаем равенство = .

Вывод: достаточно знать матрицу оператора, чтобы находить координаты образов векторов.

Задача 1. Пусть = R3 над = R.

Определим функцию : → по правилу: если = ( 1, 2, 3), то положим ( ) = (2 1 + 2, 2 − 3, 1 + 2 − 2 3).

Доказать, что — линейный оператор и найти его матрицу в базисе

1 = (1, 1, −1), 2 = (1, −1, 1), 3 = (−1, 1, 1).

Решение. Пусть = ( 1, 2, 3), тогда по правилу задания оператора получаем ( ) = (2 1 + 2, 2 − 3, 1 + 2 − 2 3).

Найдем

=2( 1+ 1)+( 2+ 2), ( 2+ 2)−( 3+ 3), ( 1+ 1)+( 2+ 2)−2( 3+ 3) =

=(2 1+ 2, 2− 3, 1+ 2−2 3)+(2 1+ 2, 2− 3, 1+ 2−2 3) = ( )+ ( ).

Если , то

( ) = (2 1 + 2, 2 − 3, 1 + 2 − 2 3) =

=(2 1 + 2, 2 − 3, 1 + 2 − 2 3) = ( ).

Значит, два свойства линейности выполняются.

Чтобы найти матрицу оператора, найдем образы базисных векторов.

Далее следует разложить эти векторы по базису, т.е. решить три системы уравнений, исходя из равенств ( ) = 1 1 + 2 2 + 3 3 для

= 1, 2, 3.

Будем решать сразу три системы.

88

0 0 2 6 −4 −2

Преобразуем ступенчатую матрицу.

Таким образом, получаем

( 1) = 5/2 1 + 7/2 2 + 3 3,

( 2) = −1/2 1 − 1/2 2 − 2 3,

( 3) = −1/2 1 − 3/2 2 − 3.

Значит, матрица оператора в данном базисе имеет вид

5.3. Связь матриц оператора в различных базисах

Пусть

( )

= 1 2 . . .

— базис пространства ,

( ) = ( 1) ( 2) . . . ( )

— система его образов, и имеет место равенство ( ) = для некоторой матрицы .

89

Пусть матрица

является матрицей перехода от базиса к базису , т.е.

( ) ( )

1 2 . . . = 1 2 . . . .

Тогда выполнены равенства:

= 1 1 + 2 2 + · · · + .

Отсюда

( ) = 1 ( 1) + 2 ( 2) + · · · + ( ).

Вматричном виде это означает верность равенства ( ) = ( ) · . Из него выводим равенство ( ) = ( ), т.е. ( ) = = ( ) . Применяя последовательно две технические леммы, заключаем, что

= или = −1 .

Задача 2. В пространстве = R3 над полем = R даны два базиса

1 = (1, 0, 1), 2 = (1, 1, −1), 3 = (0, 1, 0)

и

1 = (1, 2, 1), 2 = (2, 1, 2), 3 = (0, 2, 1),

и известно, что линейный оператор : → отображает первый базис во второй, т.е. ( ) = .

Найти матрицу оператора в базисе 1, 2, 3, в котором записаны все

По условию

1 = 1 + 3,

2 = 1 + 2 − 3,

3 = 2.

90