Алгебра основные структуры алгебры, линейная алгебра. Курс лекций. Учебное пособие

Примеры.

1)Кольцо четных чисел — подкольцо кольца целых чисел.

2)Z — подкольцо в кольцах Q, R, C.

3)В каждом кольце существуют два подкольца: само кольцо и ну-

левое.

Теорема 1.5.1 (критерий подкольца). Непустое подмножество кольца является подкольцом кольца тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет условиям:

1) − и 2) для всех , . (6)

Доказательство. Необходимость условия (6) тривиальна. Пусть условие (6) имеет место.

Тогда из пункта 1) по критерию подгруппы следует, что — подгруппа аддитивной группы кольца, т.е. — абелева группа.

По условию 2) множество замкнуто относительно умножения. Так как является подмножеством кольца, и операции согласова-

ны, то ассоциативный закон для умножения и законы дистрибутивности справедливы на множестве .

1.6. Поля

Определение 1.6.1. Кольцо, содержащее не менее двух элементов, называется полем, если множество отличных от нуля элементов этого кольца образует мультипликативную абелеву группу.

Другими словами:

поле — множество , содержащее не менее двух элементов, на котором определены операции сложения и умножения, удовлетворяющие следующим аксиомам:

1)сложение ассоциативно и коммутативно, имеется 0 и у каждого элемента существует противоположный элемент в ;

2)умножение ассоциативно, коммутативно, дистрибутивно относительно сложения, 1 , у каждого ̸= 0 в существует обратный элемент.

Примеры. 1) Примерами полей могут служить Q, R, C. 2) Кольцо классов вычетов Z5.

21

Заметим, что в кольце классов вычетов Z4 есть необратимые элементы.

Предложение 1.6.1. Если — простое число, то кольцо Z является полем.

Доказательство. Известно, что Z — коммутативное кольцо с единицей.

Пусть 0 < < . Тогда ( , ) = 1.

По критерию взаимной простоты найдутся числа , Z, для которых + = 1.

Тогда в кольце Z справедливо равенство + = 1. По правилу сложения + = 1.

По правилу умножения · + · = 1. Так как = 0, то · = 1.

Таким образом, любой ненулевой элемент кольца Z обратим.

Пусть — произвольное поле.

Предложение 1.6.2. Все кольцевые свойства справедливы для полей. Добавляются: единственность единицы и обратного к данному элементу.

Определение 1.6.2. Элементы и из кольца называются делителями нуля, если ̸= 0 и ̸= 0, но = 0.

Предложение 1.6.3. В поле нет делителей нуля. Доказательство. Пусть для некоторых , имеет место равен-

ство = 0.

Для элемента имеется две возможности:

1)= 0;

2)элемент ̸= 0, тогда существует −1 .

Умножим равенство = 0 слева на −1. Получим −1( ) = ( −1 ) = = = −10 = 0.

Т.е. либо , либо равны нулю, если их произведение равно нулю.

Определение 1.6.3. Подмножество поля называется подполем поля , если является полем относительно операций поля .

Если — подполе поля , то называется расширением поля .

Примеры. 1) Q — подполе полей R, C;

2) в каждом поле существует по меньшей мере одно подполе: само данное поле.

22

Теорема 1.6.1. Подмножество поля , содержащее не менее двух элементов, является подполем в том и только в том случае, когда замкнуто относительно четырех арифметических действий.

Доказательство. Необходимость утверждения очевидна. Пусть для любых , имеют место условия:

1) − , 2) + , 3) , 4) −1 ( ̸= 0).

Из 1) и 3) по критерию кольца следует, что — подкольцо кольца , т.е. — кольцо.

Это кольцо является коммутативным, как подмножество поля. Выберем в ненулевой элемент , по условию это возможно. В поле есть элемент −1.

Тогда по 4) имеем 1 = −1 и −1 = 1 · −1 .

Системы линейных уравнений над произвольным полем

Мы начали изучение алгебры с приобретения навыков решения систем линейных уравнений над полем R. При этом мы использовали не свойства самих действительных чисел, а свойства операций над этими числами.

Пусть теперь — произвольное поле. Выражение вида

1 1 + 2 2 + · · · + = ,

где , , называется линейным уравнением над полем .

Свойства операций сложения и умножения в поле ничем не отличаются от свойств поля R. Поэтому мы можем перенести без изменения все понятия и утверждения о системах линейных уравнений над R на системы линейных уравнений над .

Теперь можно сформулировать определения и теоремы о системах уравнений, заменив действительные числа на элементы поля . Метод Гаусса также годится для решения систем линейных уравнений над произвольным полем.

Кроме того, можно рассматривать арифметические пространства

= {( 1, 2, . . . , ) | }

над произвольными полями. Т.е. матрицы, зависимость и независимость векторов, базис, ранг, теорему Кронекера—Капелли, теорему о ранге матрицы, свойства определителей.

23

1.7. Целые кольца

Поля — частный случай коммутативных колец с единицами.

Еще один подкласс таких колец составляют целые кольца (или области целостности).

Определение 1.7.1. Любое коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля называется целым кольцом (областью целостности).

Примеры. 1) Из свойств полей следует, что любое поле является целым кольцом.

2) Примером целого кольца, не являющегося полем, может служить кольцо Z.

Предложение 1.7.1. В целом кольце можно производить сокращения. Т.е. если — целое кольцо, то из равенства = следует равенство= для всех ̸= 0, , .

Доказательство. Из = следует, что − = 0.

По дистрибутивному закону умножения относительно вычитания имеем ( − ) = 0.

Так как ̸= 0 и в нет делителей нуля, то − = 0, откуда = . Свойства классов вычетов позволяют утверждать, что Z является

коммутативным кольцом с единицей.

Z — не всегда область целостности. Примером делителя нуля может служить класс 2 в кольце Z4.

Многочлены над целыми кольцами

Пусть — целое кольцо.

Определение 1.7.2. Выражение вида

( ) = + −1 −1 + · · · + 1 1 + 0,

где — коэффициенты, — переменная, > 0 и ̸= 0, называется

многочленом -й степени над кольцом .

— старший одночлен, — старший коэффициент. Будем считать многочленом (без степени) и число 0.

Два многочлена равны (тождественно равны), если равны коэффициенты при одинаковых степенях переменных.

Складывать и умножать многочлены будем как и раньше.

24

Теорема 1.7.1. Множество [ ] всех многочленов над кольцом является целым кольцом.

Степень произведения многочленов в этом кольце равна сумме степеней сомножителей.

Доказательство. Пусть ( ) = + . . . и ( ) = + . . ..

Тогда ( ) ( ) = + + . . ..

Так как ̸= 0 и ̸= 0, то ̸= 0.

Теперь можно считать доказанными: теорему о делении с остатком; свойства делимости нацело; теорему Безу; схему Горнера; свойства кратных корней и т.д.

Для многочленов над полями верны: теорема о существовании НОД; свойства взаимной простоты; свойства производной.

Пример. Рассмотрим ( ) = 3 + 2 + + 1 и ( ) = 2 + 1 из кольца Z2[ ]. Заметим, что

(0) = 1 = (0) и (1) = 0 = (1).

Значит, многочлены равны функционально, но не равны алгебраически.

1.8. Неприводимые над полем многочлены

Определение 1.8.1. Многочлен положительной степени называется неприводимым над полем , если его нельзя представить над полем в виде произведения двух многочленов меньшей, чем он, степени.

В противном случае многочлен приводим над данным полем.

Из определения следует, что делителями неприводимого многочлена могут быть только многочлены нулевой степени или ассоциированные с ним многочлены.

Приводимость зависит от поля.

Предложение 1.8.1. Если многочлен приводим над подполем, то он приводим и над полем.

Лемма 1.8.1. Свойства неприводимых многочленов:

1)многочлен первой степени неприводим над любым полем;

2)если один неприводимый многочлен делится на другой неприводимый многочлен, то эти многочлены ассоциированы;

25

3) если произведение многочленов 1( ) 2( ) . . . ( ) делится на неприводимый многочлен ( ), то существует сомножитель, делящийся на ( ).

Доказательство. 1) Пусть, от противного, + = ( ) ( ), где deg ( ) < 1 и deg ( ) < 1.

Так как, по доказанному, deg ( ) + deg ( ) = 1, то 0 + 0 = 1. Полученное противоречие доказывает неверность предположения.

2)Пусть ( ) и ( ) неприводимы над полем и ( )| ( ). Тогда ( ) = ( ) ( ), т.е. deg ( ) = deg ( ) + deg ( ).

Так как deg ( ) ̸= 0, то deg ( ) = deg ( ). Значит, ( ) = .

3)Проведем индукцию по числу сомножителей .

Пусть = 2. Значит, ( )| 1( ) 2( ).

Для многочлена 1( ) имеются две возможности. Если ( )| 1( ), то все доказано. Либо многочлены 1( ) и ( ) взаимно просты. По свойству взаимной простоты ( )| 2( ).

Допустим, что утверждение верно для всех произведений с числом сомножителей строго меньшим числа .

Пусть

( )| 1( ) 2( ) . . . ( ) = 1( )( 2( ) . . . ( )) = 1( ) ( ).

Учитывая доказанное, получаем либо ( )| 1( ) (в этом случае все доказано),

либо ( )| ( ). Можно воспользоваться индуктивным предположением.

Теорема 1.8.1. Всякий многочлен положительной степени можно представить над данным полем в виде произведения неприводимых над этим полем многочленов однозначно, с точностью до порядка следования сомножителей и ассоциированности.

Доказательство. Пусть — поле, ( ) [ ] и deg ( ) = > 0. Проведем индукцию по степени многочлена ( ).

Если = 1, то теорема верна в силу пункта 1) леммы 1.8.1. Допустим, что теорема верна для всех многочленов степени меньшей

числа .

Рассмотрим многочлен -й степени. Если он неприводим, то утверждение верно. Если многочлен приводим, разложим его в произведение двух сомножителей, для которых верно индуктивное предположение.

26

Остается доказать однозначность разложения. Пусть

где сомножители неприводимы над . Тогда

Следовательно, левое произведение делится на неприводимый многочлен 1( ).

По пункту 3) предыдущей леммы на него должен делиться один из сомножителей. Пусть 1( )| 1( ).

По пункту 2) леммы 1.8.1 полином 1( ) = 1( ), где . Тогда, произведя сокращение, получим

( )

( ) = 2( ) . . . ( ) = 2( ) . . . ( ),

где степень многочлена ( ) позволяет применить индуктивное предположение.

1.9. Сравнения по модулю неприводимого многочлена

Пусть — поле, [ ] — кольцо многочленов, ( ) — неприводимый над многочлен из [ ].

Определение 1.9.1. Многочлены ( ) и ( ) [ ] называют сравнимыми по модулю многочлена ( ) и пишут ( ) ≡ ( ) (mod ( )), если разность данных многочленов делится на многочлен ( ).

Предложение 1.9.1. Отношение ≡ является отношением эквивалентности.

Доказательство. Так как ( )− ( ) = 0, то ( ) ≡ ( ) (mod ( ))

для любого ( ) [ ]. Отношение рефлексивно.

Если ( ) ≡ ( ) (mod ( )) и ( ) ≡ ( ) (mod ( )), то( ) − ( ) = ( ) ( ) и ( ) − ( ) = ( ) ( ).

27

Опишем разбиение, соответствующее отношению.

Рассмотрим ( ) [ ]. Разделим ( ) на ( ) с остатком. Получим

( ) = ( ) ( ) + ( ), где deg ( ) < deg ( ) или ( ) = 0.

Заметим, что ( ) ≡ ( ) (mod ( )).

Выводы:

-каждый многочлен содержится в одном классе со своим остатком от деления на ( );

-разные остатки не могут попасть в один класс;

-классов столько, сколько остатков.

Таким образом, можно класс, содержащий остаток ( ), обозначить

( ).

Следовательно, получаем разбиение

Пусть ( ) ≡ 1( ) (mod ( )) и ( ) ≡ 2( ) (mod ( )).( ) = ( ) ( ) + 1( ) ( ) = ( ) ( ) + 2( ).

Так как сложение классов сводится к сложению многочленов, то оно ассоциативно и коммутативно.

Роль нуля играет класс 0.

− ( ) = − ( ).

Предложение 1.9.2. — аддитивная абелева группа.

Положим 1( ) · 2( ) = 1( ) 2( ). Покажем, что определение корректно.

Пусть ( ) = ( ) ( ) + 1( ) и ( ) = ( ) ( ) + 2( ). Перемножим равенства, получим

( )

( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) + 1( ) ( ) + ( ) 2( ) + 1( ) 2( ).

Значит, ( ) ( ) ≡ 1( ) 2( ) (mod ( )).

28

Так как умножение классов сводится к умножению многочленов, то оно ассоциативно, коммутативно и дистрибутивно относительно сложения.

Предложение 1.9.3. — коммутативное кольцо.

Класс 1 играет роль единицы. Пусть ( ) ̸= 0.

Так как deg ( ) < deg ( ), то ( ( ), ( )) = 1.

По критерию взаимной простоты существуют многочлены ( ) и ( ), для которых ( ) ( ) + ( ) ( ) = 1.

Тогда в кольце имеет место равенство ( ) ( ) + ( ) ( ) = 1. По определению сложения классов

( ) ( ) + ( ) ( ) = 1.

По определению умножения классов

( ) · ( ) + ( ) · ( ) = 1.

Значит, ( )· ( ) = 1. Таким образом, каждый ненулевой класс обратим.

Теорема 1.9.1. Кольцо классов вычетов по модулю неприводимого полинома является полем.

Следствие 1.9.1. Кольцо классов вычетов кольца R[ ] по модулю многочлена 2 + 1 является полем.

2. Матрицы

2.1. Действия над матрицами

Пусть — некоторое поле.

Матрицей над полем будем называть прямоугольную таблицу, составленную из элементов этого поля.

В первой части курса лекций мы рассматривали матрицы над полем действительных чисел.

Определение 2.1.1. Число строк матрицы и число ее столбцов составляют упорядоченную пару чисел, которую называют размерами матрицы.

29

Множество всех матриц размеров ( , ) над полем обозначается символом × .

Если матрица квадратная, то говорят о ее порядке.

Множество всех матриц порядка над полем обозначается символом ( ).

Можно использовать сокращенную запись для матрицы, например:

Таким образом,

× = {( )( , ) | }

и

( ) = {( )( , ) | }.

Мы будем складывать матрицы, складывая элементы, стоящие на одинаковых местах.

Значит, размеры слагаемых должны совпадать.

Пусть = ( ) и = ( ) — матрицы над полем ; ( , ) — размеры матриц.

Определение 2.1.2. Суммой матриц и одинаковых размеров называется матрица + = ( )( , ), где = + .

Определение 2.1.3. Произведением элемента поля на матрицу называется матрица = ( )( , ).

Теорема 2.1.1. Множество × матриц одинаковых размеров ( , ) над полем является аддитивной абелевой группой.

Доказательство. Так как сложение матриц сводится к сложению элементов поля, то оно ассоциативно и коммутативно.

Роль нуля при сложении матриц играет матрица, состоящая из нулей,

и − = (− )( , ).

Лемма 2.1.1 (техническая). Порядок суммирования элементов поля не зависит от расстановки скобок, т.е.

30