Алгебра основные структуры алгебры, линейная алгебра. Курс лекций. Учебное пособие

Значит, можно найти матрицу перехода от базиса к базису , т.е. матрицу, для которой = . Получим

Аналогично можно найти матрицу перехода от базиса к базису , т.е. матрицу, для которой = . Получим

1 2 0

= 2 1 2 .

1 2 1

Из условия следует, что = ( ), т.е. = ( ).

Обозначим буквой матрицу оператора в базисе . Тогда выполнено равенство = ( ) = . Из сказанного получаем равенство = .

Применяя технические леммы, заключаем, что = , откуда

= −1 .

Обозначим буквой искомую матрицу оператора в базисе .

Из теории заключаем, что = −1 , где — матрица перехода от базиса к базису . В наших обозначениях = −1, −1 = , поэтому

= −1 = ( −1 ) −1 = −1.

5.4.Ядро и образ линейного отображения

Пусть : 1 → 2 — линейное отображение векторного пространства1 в пространство 2 над полем .

Определение 5.4.1. Образом отображения называется множество

= { 2 | ( ) = для некоторого 1}.

Определение 5.4.2. Ядром отображения называется множество

ker = { 1 | ( ) = 0 2 }.

Пусть — линейный оператор пространства над полем .

Предложение 5.4.1. Ядро ker линейного оператора является подпространством пространства .

91

Доказательство. Так как 0 ker , то ker ̸= ?. Пусть ker , т.е. ( ) = 0. Если матрица

1

2= . .

составлена из координат вектора в базисе , а матрица является матрицей оператора в базисе , то выполнено равенство

Но тогда вектору соответствует вектор ( 1, 2, . . . , ) R , который является решением системы линейных однородных уравнений.

множество всех решений которой образует подпространство.

Следствие 5.4.1. Размерность ядра линейного оператора равна разности − , где — размерность пространства, а — ранг матрицы оператора.

92

Следствие 5.4.2. Оператор инъективен в том и только в том случае, когда ядро нулевое.

Доказательство. Пусть оператор инъективен и ker . Тогда( ) = 0 = (0). Из инъективности оператора следует, что = 0. Значит, ker = {0}.

Обратно, пусть ker = {0}. Пусть для векторов , выполнено равенство ( ) = ( ). Тогда ( − ) = 0, т.е. ( − ) ker .

Значит, − = 0, т.е. = . Оператор инъективен.

Предложение 5.4.2. Образ линейного оператора является подпространством пространства .

Доказательство. Так как 0 , то ̸= ?. Пусть , . Тогда существуют , , для которых ( ) = и ( ) = . Получаем ( + ) = ( ) + ( ) = + , т.е. + .

Если , то ( ) = · ( ) = . Значит, . Остается применить критерий подпространства.

Значит, подпространство является линейной оболочкой системы

Докажем, что система (3) линейно независима.

рангу матрицы этого оператора.

Доказательство. Надо воспользоваться следствием 5.4.1 и доказанной теоремой 5.4.1. Может возникнуть вопрос. Матриц столько, сколько базисов. Не будет

ли тут разночтений?

Предложение 5.4.3. Пусть — матрица оператора в базисе , а — матрица оператора в базисе ′. Тогда ранг матрицы равен рангу матрицы .

Доказательство. Известно, что = −1 , где — матрица перехода от базиса к базису ′.

Из свойств ранга произведения матриц следует, что ранг матрицы меньше или равен рангу матрицы . С другой стороны, = −1.

Значит, ранг матрицы меньше или равен рангу матрицы . Таким образом, ранги равны.

Определение 5.4.3. Размерность ядра оператора называют его дефектом, а размерность образа — рангом оператора.

Следствие 5.4.4. Сумма ранга и дефекта линейного оператора равна размерности пространства.

Как найти базисы ядра и образа линейного оператора? Ответим на этот вопрос.

1)С ядром все просто. Учитывая сказанное ранее, надо найти фундаментальную систему решений той однородной системы линейных уравнений, о которой говорится в предложении 5.4.1.

2)С образом не всё пока ясно. Начнем рассуждать.

Зафиксируем базис пространства

( )

= 1 2 . . . .

94

Пусть , где матрица

1

2= . .

состоит из координат вектора в базисе .

Существует вектор , для которого ( ) = . Пусть матрица

1

2= . .

состоит из координат вектора в базисе . Если матрица

Если обозначить буквами 1, 2, . . . , столбцы матрицы , то видно, что

= 1 1 + 2 2 + · · · + .

Тогда в пространстве выполнено равенство = 1 1 + 2 2 + · · ·+ .

95

Тогда получаем равенства 1 = ( 1), 2 = ( 2), . . . , = ( ). Значит, подпространство содержит систему векторов 1, 2, . . . ,

и является ее линейной оболочкой.

Таким образом, базис образа можно искать в системе столбцов матрицы оператора.

Задача 3. Рассмотрим пространство = R3 над полем R. Известно, что матрица линейного оператора : → равна

1 2 1

= 4 3 1 .

3 1 0

Найти ранг и дефект оператора, а также базисы образа и ядра оператора.

Решение. 1) Для нахождения ранга оператора надо найти ранг его матрицы.

В нашем случае вторая строка матрицы является суммой первой и третьей строк, которые не пропорциональны.

Значит, ранг матрицы равен двум, т.е. и ранг оператора (dim ) равен двум.

Чтобы найти базис образа, надо взять любые два линейно независимых столбца матрицы. Например, 1 = (1, 1, 0), 2 = (2, 3, 1).

2) Дефект оператора dim ker = 3 − dim = 1.

Чтобы найти базис ядра, надо, учитывая сказанное, решить систему уравнений

{

1 + 2 2 + 3 = 0,

3 1 + 2 = 0.

Общее решение имеет вид

{

2 = −3 1,

3 = 5 1.

96

Положив 1 = 1, получим вектор = (1, −3, 5), который является базисом ядра оператора.

Проверим. Для этого найдем образ полученного вектора при применении оператора.

Значит найденный вектор принадлежит ядру, он не равен нулю, а ядро одномерно.

Рассмотрим линейный оператор в линейном пространстве над полем . Мы знаем, что ядро оператора ker является подпространством пространства . Следовательно, существует факторпространство

/ker .

Пусть , где

1

2= . .

— матрица из координат вектора в базисе .

Если вектор является прообразом вектора , то выполнено равенство

В этом случае вектор ( 1, 2, . . . , ) является решением некоторой системы линейных уравнений, а множество таких векторов образует многообразие, полученное сдвигом подпространства ker .

Таким образом, вектору соответствует элемент +ker пространства

/ker .

Теорема 5.4.2.

/ker .

=

Доказательство. Определим функцию : /ker → по правилу: ( + ker ) = ( ).

97

Проверим корректность задания функции.

+ ker = + ker − ker ( − ) = 0 ( ) = ( ).

Если ( + ker ) = ( + ker ), то ( ) = ( ), т.е. ( − ) = 0. Значит, − ker , откуда +ker = +ker . Функция инъективна. Если , то существует вектор , для которого ( ) = . Тогда ( + ker ) = ( ) = . Функция сюръективна.

Далее

(( + ker ) + ( + ker )) = ( + + ker ) =

= ( + ) = ( ) + ( ) = ( + ker ) + ( + ker ).

Кроме того,

( ( + ker )) = ( + ker ) = ( ) = ( ) = ( + ker ).

Следствие 5.4.5. dim = dim /ker .

5.5. Собственные векторы и значения линейного оператора

Учитывая связи между матрицами одного и того же оператора в различных базисах, можно, с помощью матриц перехода от базиса к базису, пытаться упростить вид матрицы.

Подобные преобразования приводят нас к понятию инвариантного подпространства.

Пусть — линейное пространство над полем .

Определение 5.5.1. Подпространство пространства называется инвариантным относительно оператора , если для любого вектора

имеет место соотношение ( ) .

Наибольший интерес представляют одномерные инвариантные подпространства и связанное с ними понятие собственного вектора линейного оператора.

Определение 5.5.2. Ненулевой вектор называется собственным вектором оператора , если ( ) = для некоторого числа .

Число называется собственным значением оператора, которому принадлежит вектор .

98

Предложение 5.5.1. Собственный вектор может принадлежать лишь одному собственному значению.

Доказательство. Пусть ( ) = и ( ) = для вектора ̸= 0 из пространства . Тогда = , откуда ( − ) = 0, т.е. − = 0.

Теорема 5.5.1. Собственные векторы, принадлежащие попарно различным собственным значениям, линейно независимы.

Доказательство. Пусть векторы 1, 2, . . . , принадлежат собственным значениям 1, 2, . . . , линейного оператора соответственно, и ̸= при ̸= .

Проведем индукцию по числу векторов.

1.Если = 1, то утверждение следует из определения собственного вектора.

2.Считаем, что утверждение верно для всех систем векторов, содержащих менее векторов.

3.Если система содержит векторов, то рассмотрим их линейную комбинацию

Применим к (4) оператор , получим

1 ( 1) + 2 ( 2) + · · · + ( ) = (0),

откуда

Умножим (4) на 1 и вычтем полученное выражение из (5). Получим

В равенстве (6) по индуктивному предположению все коэффициенты равны нулю, но по условию все скобки отличны от нуля, т.е.

2 = 3 = · · · = = 0.

Отсюда и из (4) следует, что 1 1 = 0, т.е. 1 = 0.

99

5.6. Характеристическое уравнение линейного оператора

Пусть матрица

является матрицей линейного оператора в некотором базисе

( )

= 1 2 . . . ,

а — переменная.

Определение 5.6.1. Рассмотрим матрицу

ее определитель | − | называется характеристическим многочленом линейного оператора .

Теорема 5.6.1. Характеристический многочлен не зависит от выбора базиса.

Доказательство. Если матрица оператора в базисе ′, то выполнено равенство = −1 , где — матрица перехода от базиса к базису ′.

Отсюда, учитывая дистрибутивный закон умножения матриц относительно сложения, правило вычисления определителя произведения матриц и равенство = −1 , получаем

| − | = | −1 − ( −1 )| = | −1( − ) | = = | |−1| − || | = | − |.

Теорема 5.6.2. Корни характеристического многочлена, принадлежащие полю , и только они являются собственными значениями линейного оператора : → .

100