Алгебра основные структуры алгебры, линейная алгебра. Курс лекций. Учебное пособие

Пример 4. Пусть

1 2 3

= 2 3 1 .

3 1 4

Составим таблицу, в которой слева матрица , а справа матрица . С помощью элементарных преобразований строк превратим левую

матрицу в единичную.

Считая, что в строке таблицы 6 чисел, подвергнем единичную матрицу тем же преобразованиям.

В правой части таблицы получили матрицу −1.

41

2.4. Правило Крамера

Пример 5. Рассмотрим квадратную систему линейных уравнений

2 1 + 3 2 + 11 3 + 5 4 = 2,

1 + 2 + 5 3 + 2 4 = 1,

2 1 + 2 + 3 3 + 2 4 = −3,

+ + 3 + 4 = −3.

1 2 3 4

Запишем расширенную матрицу системы без круглых скобок, будем приводить ее к ступенчатому виду, новую матрицу запишем ниже.

При этом не будем переписывать ту строку, с помощью которой получили нули.

Получим следующее.

0 0 −6 −1 −5

0 0 −1 1 −2

0 0 0 −7 7

Если теперь собрать пропущенные строки, получится ступенчатая матрица.

Двигаясь снизу вверх, превратим основную матрицу в единичную.

42

Таким образом, мы получили систему уравнений, равносильную предыдущей.

1 = −2,

2 = 0,

3 = 1,

= −1.

4

Перейдем к общему случаю.

Рассмотрим квадратную систему линейных уравнений

11 1 + 12 2 + · · · + 1 = 1,

21 1 + 22 2 + · · · + 2 = 2,

(7)

· · ·

+ + · · · + = .

1 1 2 2

Обозначим буквой основную матрицу системы, а буквой матрицу, получаемую из основной заменой -го столбца столбцом свободных коэффициентов.

Теорема 2.4.1. Если определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:

= detdet .

Доказательство. Нам известно, что применение элементарных преобразований превращает систему уравнений в равносильную.

Кроме того, нам известно, что с помощью элементарных преобразований можно невырожденную матрицу превратить в единичную.

Если данные преобразования применить к системе (7), то получится равносильная система, у которой основная матрица будет единичной.

43

Так как основная матрица не является вырожденной, то достаточно рассмотреть систему (8) с основной матрицей = .

1 = 1,

2 = 2,

(8)

· · ·

= .

Рассмотрим det .

Следствие 2.4.1. Система линейных однородных уравнений с неизвестными имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель ее основной матрицы равен нулю.

Доказательство. Необходимость, от противного, следует из теоремы Крамера.

Если определитель равен нулю, то основная матрица имеет зависимую систему строк.

2.5. Формула вычисления обратной матрицы

Выведем формулу вычисления обратной матрицы с помощью определителей.

Пусть

44

Рассмотрим матричное уравнение = , где и — квадратные матрицы порядка .

Вспомним правило умножения матриц.

Чтобы найти элементы -го столбца произведения, нужно каждую строку первой матрицы умножить на -й столбец второй матрицы, т.е. первую матрицу умножить на -й столбец второй матрицы.

Воспользуемся этим соображением.

Вместо уравнения = рассмотрим совокупность уравнений

Решим -е уравнение

0

В левой части равенства имеем

Далее получаем систему уравнений

11 1 + 12 2 + · · · + 1 = 0,

+ + · · · + = 0,

21 1 22 2 2

· · ·

(9)

1 1 + 2 2 + · · · + = 1,

· · ·

1 1 + 2 2 + · · · + = 0.

45

Доказательство. Утверждение является следствием правила умножения матриц.

Для наглядности рассмотрим пример. Пусть

Тогда

47

Теорема 2.6.1. Для любых квадратных матриц и

det = det · det .

Доказательство. Рассмотрим произведение матриц .

Так как умножение матриц ассоциативно, то для любой матрицы справедливо равенство

( ) = ( ).

Если определитель матрицы равен нулю, то в матрице можно получить нулевую строку.

Соответствующая строка появится и в матрице при тех же элементарных преобразованиях. Значит, det = 0.

Пусть определитель матрицы не равен нулю.

Тогда с помощью элементарных преобразований строк ее можно обратить в единичную.

Т.е. существует матрица , для которой = , откуда = . Тогда det = det = det( ) . Рассмотрим число

2.7. Метод Гаусса на языке умножения матриц

Рассмотрим систему уравнений

Пусть — основная матрица системы (10), — столбец неизвестных,— столбец свободных членов, ( | ) — расширенная матрица системы.

Тогда можно составить матричное уравнение, которое будет эквива-

48

Если — произвольная матрица порядка , то, умножая уравнение (11) слева на матрицу , получим уравнение

Всякое решение уравнения (11) является решением уравнения (12), а если матрица обратима, то всякое решение уравнения (12) является решением уравнения (11), т.е. уравнения эквивалентны.

При этом уравнению (12) соответствует система уравнений с основной матрицей , столбцом свободных членов , и ее расширенная матрица равна ( | ).

Метод Гаусса по отношению к матричному уравнению состоит в умножении этого уравнения слева на элементарные матрицы, с целью превратить матрицу в ступенчатую.

3. Линейные пространства

3.1. Основные определения

Рассмотрим понятие, частным случаем которого является арифметическое пространство.

Пусть ̸= ?, = { , , . . .}, и — поле, где = { , , , . . .}. Пусть далее существует функция из × в .

Будем символом обозначать образ пары ( , ) при действии этой функции и говорить, что определена операция умножения на элементы поля.

Определение 3.1.1. Линейным (векторным) пространством над полем называется множество с операциями сложения и умножения на элементы поля , удовлетворяющими следующим условиям:

1)— аддитивная абелева группа;

2)( + ) = + для любого и любых элементов , ;

3)( + ) = + для любых , из поля и любого из ;

4)( ) = ( ) для любых , из поля и любого из ;

5)1 = для всех .

Элементы линейного пространства будем называть векторами, а элементы поля — числами.

49

Пример 1. Множество строк

= { = ( 1, 2, . . . , ) | }

является линейным пространством над полем , если определить для= ( 1, 2, . . . , ) сложение по правилу

+ = ( 1 + 1, 2 + 2, . . . , + )

идля любого положить

= ( 1, 2, . . . , ).

Проверка аксиом линейного пространства ничем не отличается от проверки аксиом арифметического пространства.

Будем в этом случае обозначать = и называть это пространство

арифметическим пространством над полем . Пространство R — частный случай таких пространств.

Пример 2. Множество геометрических векторов на плоскости (в пространстве), складываемых по правилу параллелограмма и умножаемых на действительные числа, является линейным пространством над R.

Пример 3. Множество матриц × над полем является линейным пространством над этим полем относительно сложения матриц и умножения матриц на элементы поля .

Мы знаем, что × — аддитивная абелева группа. Пусть = ( )( , ), = ( )( , ) и .

Проверим аксиому 2), учитывая свойства сложения и умножения чисел в поле.

( )

( + ) = ( + ) ( , ) = ( + )( , ) =

=( )( , ) + ( )( , ) = + .

Остальные свойства проверяются аналогично.

Пример 4. Каждое поле является линейным пространством над любым своим подполем (т.е. и над собой).

Здесь аксиомы пространства являются свойствами операций поля.

50