Алгебра основные структуры алгебры, линейная алгебра. Курс лекций. Учебное пособие

Доказательство. Возьмем в пространстве базис

( )

= 1 2 . . .

и систему его образов

( )

( ) = ( 1) ( 2) . . . ( ) .

Если — матрица оператора в базисе , то выполнено равенство

( ) = .

Если — собственный вектор оператора , то он принадлежит некоторому собственному значению , где ( ) = .

Пусть далее = и ( ) = , где и — соответствующие столбцы координат. Тогда = . Откуда следует ( ) = .

С другой стороны, ( ) = = = ( ).

Из этих равенств выводим равенство ( ) = ( ).

Из последнего, учитывая технические леммы, заключаем, = . Но = , поэтому ( − ) = 0.

Рассмотрим матричное уравнение

Существование ненулевого столбца координат означает наличие ненулевого решения у однородной системы уравнений, равносильной матричному уравнению (7).

Из теоремы Крамера следует, что определитель матрицы − в этом случае должен быть равен нулю.

А это означает, что является решением уравнения | − | = 0.

Следствие 5.6.1. Из доказательства следует, что все ненулевые векторы пространства решений системы уравнений (7) будут собственными векторами, принадлежащими собственному значению .

101

Положив 3 = 1, получим вектор 3 = (0, −1, 1). Для проверки вычислим произведение матриц

Значит, ( 3) = −4 3. Найденный вектор принадлежит данному собственному значению.

5.7. Диагональные матрицы операторов

Теорема 5.7.1. Матрица оператора имеет диагональный вид в некотором базисе в том и только в том случае, если это базис собственных векторов оператора.

Доказательство. Пусть

00 . . .

является матрицей оператора в базисе

( )

= 1 2 . . . .

Тогда из равенства = следуют равенства для векторов

1 = 1 1, 2 = 2 2, . . . , = .

Обратно, из соотношений для образов базисных векторов

= 0 1 + · · · + 0 −1 + + 0 +1 + · · · + 0

следует диагональный вид матрицы в базисе .

Определение 5.7.1. Набор собственных значений оператора называется спектром.

Если в -мерном пространстве оператор имеет различных собственных значений, то говорят, что это оператор с простым спектром.

104

Следствие 5.7.1. У оператора с простым спектром существует диагональная матрица.

Пример 2. Оператор из примера 1 имеет простой спектр. В базисе 1, 2, 3 матрица оператора имеет вид

5.8. Действия над линейными операторами

Пусть — линейное пространство над полем ,: → и : → — линейные операторы.

Определение 5.8.1. Суммой отображений и называется отображение, определенное по правилу:

( + )( ) = ( ) + ( )

для любого элемента .

Произведением числа на отображение называется отображение по правилу:

( )( ) = ( ).

Теорема 5.8.1. Если : → и : → — линейные операторы, то их сумма + является линейным оператором в пространстве , и для всякого произведение также является линейным оператором.

Доказательство. Пусть , , тогда

105

Теорема 5.8.2. Множество всех линейных операторов пространства над полем само является линейным пространством над полем относительно операций сложения отображений и умножения на элементы поля.

Доказательство. Из теоремы 5.8.1 следует, что на множестве определена операция сложение.

Сложение ассоциативно и коммутативно, так как сложение векторов в пространстве ассоциативно и коммутативно.

Функция 0 , определенная по правилу: 0( ) = 0 для всех, играет роль нуля.

Для оператора существует оператор − , где (− )( ) = − ( ) для всех .

Значит, — аддитивная абелева группа.

Остальные свойства линейного пространства проверяются непосредственно.

Теорема 5.8.3. Пусть и — линейные операторы пространства над полем с матрицами и в базисе 1, 2, . . . , .

Тогда оператору + соответствует матрица + в том же базисе, а оператору матрица для любого .

Доказательство. Имеют место соотношения ( ) = , ( ) = и ( + )( ) = для некоторой матрицы ( ).

С другой стороны, учитывая свойства линейности, матрица

( )

( + )( ) = ( + )( 1) ( + )( 2) . . . ( + )( )

равна сумме матриц

( ) ( )

( 1) ( 2) . . . ( ) + ( 1) ( 2) . . . ( ) .

Отсюда следует выполнение равенства = + . Применяя технические леммы, заключаем, что = + .

Пусть далее ( )( ) = для некоторой матрицы ( ). Тогда матрица

( )

( )( ) = ( )( 1) ( )( 2) . . . ( )( ) ,

учитывая свойства линейности, равна матрице

( ) ( )

( 1) ( 2) . . . ( ) = ( 1) ( 2) . . . ( ) .

106

Отсюда следует выполнение равенств = = ( ). Применяя технические леммы, заключаем, что = .

Следствие 5.8.1. Пространство линейных операторов пространства над полем изоморфно линейному пространству матриц

( ).

Доказательство. Зафиксируем базис 1, 2, . . . , пространства . Определим функцию : → ( ) по правилу: образом опе-

ратора считаем матрицу этого оператора в базисе .

Из определения матрицы линейного оператора, в силу однозначности разложения вектора по базису, функция является биекцией.

Свойства линейности следуют из теоремы 5.8.3.

Определение 5.8.2. Произведением линейных операторов

: → и : →

назовем их композицию, т.е.

( )( ) = ( )( ) = ( ( ))

для всякого .

Предложение 5.8.1. Произведение линейных операторов является линейным оператором.

Доказательство. Пусть : → и : → — линейные операторы и , , тогда

( )( + ) = ( ( + )) = ( ( ) + ( )) = = ( ( )) + ( ( )) = ( )( ) + ( )( ).

Для получаем

( )( ) = ( ( )) = ( ( )) = ( ( )) = ( )( ).

Лемма 5.8.1. Пусть : → — линейный оператор в пространстве над полем . Если 1, 2, . . . , — базис пространства и матрица

( ), то ( ) = ( ) .

107

Доказательство. Произведение матриц равно

С другой стороны,

Теорема 5.8.4. Пусть и — линейные операторы пространства над полем с матрицами и в базисе 1, 2, . . . , . Тогда операторусоответствует матрица в том же базисе.

Доказательство. Имеют место соотношения ( ) = , ( ) = и ( )( ) = для некоторой матрицы ( ).

С другой стороны, матрица

Учитывая лемму, заключаем, что

( ) = ( ) = ( ) = ( ).

Отсюда следует выполнение равенства = . Применяя технические леммы, заключаем, что = .

Теорема 5.8.5. Операциям над линейными операторами пространства соответствуют аналогичные операции над матрицами этих операторов.

108

— матрица перехода от базиса к базису . Из условия нам известна матрица

110