Алгебра основные структуры алгебры, линейная алгебра. Курс лекций. Учебное пособие

Рассмотрим подробнее симметрическую группу 3-й степени.

3 = { , (12), (13), (23), (123), (132)}.

Составим таблицу умножения.

Заметим, что

(12)· (13) ̸= (13) · (12), (12)2 = (13)2 = (23)2 = ,

(123)· (132) = (132) · (123) = .

Пусть — мультипликативная группа.

Предложение 1.2.2. В силу определения группы справедливы следующие утверждения:

1)произведение любого конечного числа сомножителей определено однозначно;

2)единица одна;

3)у каждого элемента существует единственный обратный элемент.

Теорема 1.2.1. В группе однозначно разрешимы уравнения

= и = , для всех , .

Доказательство. Докажем, что решение первого уравнения существует. Для этого рассмотрим в группе произведение −1 и положим= −1 . Тогда ( −1 ) = ( −1) = = . Решение существует.

Допустим далее, что , — два решения первого уравнения. Тогда= = , откуда, умножив на −1 слева, получим = .

Теорема 1.2.2. В группе справедливы утверждения:

1)( −1)−1 = для любого ;

2)( 1 2 . . . )−1 = −1 −1−1 . . . 1−1;

3)понятие степени элемента в группе определено для любого целого

показателя .

11

Доказательство. 1) Положим = ( −1)−1. Тогда −1 = = −1. Умножив справа на , получим = .

2) Положим = −1 −1−1 . . . 1−1. Тогда

( 1 2 . . . ) = ( 1 2 . . . )( −1 −1−1 . . . 1−1) =

1 2 . . . −1( −1) −1−1 . . . 1−1 =1 2 . . . ( −1 −1−1) . . . 1−1 = .

3) Если — натуральное число, то = . . . , где число сомножителей справа равно .

Положим 0 = .

Если теперь < 0, то = − > 0.

Рассмотрим ( −1) = −1 −1 . . . −1, где число сомножителей справа равно .

По свойству 2) последнее равно ( . . . )−1 = ( )−1. Таким образом, ( −1)− = ( − )−1.

Положим = ( −1)− = ( − )−1.

Используя определение степени элемента в группе, можно проверить, что

для любого элемента и любых , Z.

1.3. Подгруппы

Определение 1.3.1. Непустое подмножество группы называется подгруппой группы , если является группой относительно операции, определенной в .

Обозначение 6 .

Примеры.

1)Множество всех четных чисел образует подгруппу в аддитивной группе целых чисел.

2)Множество корней -й степени из единицы является подгруппой

вмультипликативной группе комплексных чисел, отличных от нуля.

3)Рассмотрим таблицу группы 3. Выпишем элементы на пересечении первых трех строк и столбцов.

12

Получили таблицу группы. Таких можно образовать еще две. Выпишем элементы на пересечении первых двух и последних двух

строк и столбцов.

Это тоже таблица группы.

Таким образом, в группе 3 существуют следующие подгруппы:

= { }, { , (12)}, { , (13)}, { , (23)}, { , (123), (132)}, 3.

Предложение 1.3.1. В каждой группе обязательно есть две подгруппы: единичная и сама группа.

Теорема 1.3.1 (критерий подгруппы). Для того, чтобы непустое подмножество группы являлось ее подгруппой, необходимо и достаточно, чтобы

Доказательство. Необходимость очевидна.

Пусть выполняется условие (1). Так как множество не пусто, то существует элемент .

Тогда = −1 . Отсюда по условию (1) выводим −1 = −1 .

Далее для любых , возьмем −1 и рассмотрим

= ( −1)−1 .

Справедливость ассоциативного закона следует из того, что — подмножество группы. Примеры. Подгруппы мультипликативной группы =< C*, · >

13

2) Зафиксируем число N.

Тогда подмножество чисел = { C | = 1} — подгруппа группы .

Действительно, пусть 1, 2 . Если = 1 2−1, то = 1 ( 2 )−1 = 1, т.е. .

1.4. Смежные классы

Пусть — мультипликативная группа, и — подгруппа группы . Определим на несущем множестве элементов группы отношение

по правилу:

для элементов , считаем , если −1 .

Предложение 1.4.1. Отношение является отношением эквивалентности.

Доказательство. Если , то −1 = , т.е. . Отношение рефлексивно.

Если , то = −1 .

Так как — группа, то −1 = −1 , т.е. . Отношение симметрично.

Если и , то = −1 и = −1 .

Тогда = −1 , т.е. . Отношение транзитивно. Отношению эквивалентности соответствует разбиение множества ,

Зафиксируем элемент , тогда элемент находится в одном классе с , если −1 = .

Т.е. класс, содержащий элемент , есть множество

Определение 1.4.1. Назовем множество левым смежным классом группы по подгруппе с представителем .

Из свойств разбиения следует, что если , то = .

Предложение 1.4.2. Любой элемент смежного класса можно считать его представителем.

14

Следствие 1.4.1. Если , то = = .

Примеры. 1) =< R*, · >, =< R+, · >, = −3. Тогда (−3) — множество отрицательных чисел.

2)Группа та же, =< {1, −1}, · >. Тогда (−3) = {3, −3}.

3)=< Z, + >, =< {2 }, + >.

Тогда (−3) + — множество нечетных чисел. 4) Пусть = 3, а = { , (12)}.

Так как группа конечная, найдем все левые смежные классы.

Аналогично определяется понятие правого смежного класса группыпо подгруппе .

Рассматриваем отношение ′ на множестве , где ′ , если −1 ,

т.е.

Тогда правым смежным классом группы по подгруппе с представителем называют множество

Примеры. Так как операции в группах примеров 1) — 3) левых смежных классов абелевы, то правые классы совпадут с левыми.

Найдем правые смежные классы в примере 4).

= , (13) = {(13), (123)}, (23) = {(23), (132)}.

Оказалось, что (13) ̸= (13).

Можно говорить о левостороннем и правостороннем разложениях группы по подгруппе, подразумевая представление группы в виде объ-

Тогда функция : → , действующая по правилу: ( ) = −1, является биекцией.

15

Доказательство. Пусть ( ) = ( ), т.е. −1 = −1. Тогда −1 ′ −1, откуда −1( −1)−1 .

Значит, −1 , т.е. = . Функция инъективна. Если , то найдется , для которого = .

Но существует −1 , для которого ( −1 ) = = . Функция сюръективна.

Определение 1.4.2. Назовем число | : | левых (правых) смежных классов конечной группы по подгруппе индексом подгруппы в группе .

Лемма 1.4.1. Если 6 , то функция : → , действующая по правилу: ( ) = для любого , является биекцией.

Доказательство. Пусть 1 ̸= 2 , но ( 1) = ( 2), тогда выполнено 1 = 2, откуда следует 1 = 2, что противоречит выбору элементов.

Т.е. ( 1) ̸= ( 2), функция инъективна.

Пусть далее , тогда = для некоторого , но это означает, что ( ) = . Функция сюръективна.

Теорема 1.4.1 (Лагранжа). Порядок конечной группы равен произведению порядка любой ее подгруппы на индекс этой подгруппы.

Доказательство. Пусть | | = , | | = , | : | = .

Группа является объединением непересекающихся множеств . Каждое множество , по лемме 1.4.1, содержит элементов. Значит, всего элементов в группе .

Следствие 1.4.2. Порядок конечной группы делится на порядок и индекс любой ее подгруппы.

Рассмотрим симметрическую группу 4-й степени.

4 = { , (12), (13), (14), (23), (24), (34), (123), (132), (124), (142),

(134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23), (1234), . . .}.

Найдем все подгруппы группы 4.

{ , (123), (132)}.

16

Кроме того, мы знаем, что есть подгруппа четных подстановок 4 порядка 12.

Составим таблицу умножения множества

4 = { , (12)(34), (13)(24), (14)(23)}.

Таким образом, получили абелеву группу четвертого порядка, которая носит название четверной группы Клейна.

Остались числа 6 и 8. Можно показать, что групп порядка 6 в группе 4 не существует, откуда немедленно будет следовать, что обратная теорема к теореме Лагранжа не верна.

Упражнение 1. Найдите все подгруппы порядка 6 и 8 в группе 4.

Примеры. 1) Пусть =< Z, + >, =< {2 }, + >, найдем левостороннее разложение по .

Из (2) следует, что элементы принадлежат одному классу, если их разность — четное число.

Т.е. получается всего два класса = 1 + . Аналогично из (4) следует, что = + 1.

Т.е. левостороннее и правостороннее разложения по подгруппе совпадают.

2) Рассмотрим в группе 3 подгруппу = { , (123), (132)}. Индекс | : | = 2, поэтому 3 = (12) = (12). Значит, (12) = (12).

Левостороннее разложение совпадает с правосторонним.

Определение 1.4.3. Если равенство = имеет место для любого элемента , то подгруппа называется нормальной (нормальным делителем).

Примеры. Пусть =< C*, · >.

1) — группа корней восьмой степени из единицы.

Найдем левый смежный класс группы по подгруппе с представителем .

17

Если — первообразный корень восьмой степени из единицы, то

= {1, , 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Значит,

= { , , 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

2) Рассмотрим множество = { | | | = 1} ̸= ?.

Если , , то | | = | | = 1.

Тогда | −1| = | | = || || = 1, т.е. −1 .

По критерию подгруппы — подгруппа группы .

Опишем правостороннее разложение группы по подгруппе . Сначала ответим на вопрос: каким характерным свойством обладают

Вывод: в один класс входят все числа с равными модулями.

Пусть — положительное действительное число.

Существует число = (cos 0 + sin 0) . Оно входит в один из смежных классов.

При этом разные числа не могут попасть в один смежный класс.

Вывод: смежных классов столько, сколько положительных действительных чисел.

1.5. Кольца. Основные свойства колец

Определение 1.5.1. Кольцом называется множество , на котором определены операции сложение и умножение такие, что:

1)— аддитивная абелева группа;

2)умножение в подчиняется ассоциативному закону;

3)умножение двояко дистрибутивно относительно сложения, т.е.

Другими словами:

кольцо — аддитивная абелева группа, на которой определена ассоциативная операция умножение, которая двояко дистрибутивна относительно сложения.

18

В зависимости от свойств операции умножения различают кольца: коммутативные, с единицей и без нее и т.д.

Примеры. 1) Кольца целых, четных, рациональных, действительных, комплексных, целых гауссовых чисел.

2){0}.

3)Кольцо функций : R → R, где

4)Кольцо многочленов от одной переменной.

5)Кольца вычетов по модулю числа.

Рассмотрим

Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}.

Составим таблицу умножения.

Рассмотрим

Z4 = {0, 1, 2, 3}.

Составим таблицу умножения.

Пусть — кольцо.

Предложение 1.5.1. В кольце справедливы все групповые свойства для операции сложение:

1)в есть единственный 0;

2)у каждого элемента существует единственный противоположный;

19

3)сумма любого конечного числа слагаемых определена однозначно;

4)−(− ) = для всякого ;

5)существует единственное решение уравнения + = для всех

, .

Определение 1.5.2. Решение уравнения + = будем называть

разностью элементов и и обозначать − .

Предложение 1.5.2. Для всех , , имеют место равенства

Доказательство. Докажем первое из них.

По определению − — решение уравнения + = , т.е. +( − ) = . Отсюда по левому дистрибутивному закону для суммы имеем

( )

+ ( − ) = − ( − ) = .

Остается применить определение разности.

Предложение 1.5.3. 0 · = 0 = · 0 для любого элемента . Доказательство. Заметим, что 0 — решение уравнения + = для

всякого .

Отсюда 0 · = ( − ) = − = 0. Второе равенство доказывается аналогично.

Предложение 1.5.4. Имеют место следующие «правила знаков»:

(− ) · = − = · (− ), (− )(− ) = .

Доказательство. Заметим, что − = 0 − . Тогда (− ) = (0 − ) = 0 − = 0 − = − . Остальные равенства доказываются аналогично.

Предложение 1.5.5. В кольце произведение конечного числа элементов определено однозначно, так как умножение в кольце является ассоциативной операцией.

Законы дистрибутивности по индукции переносятся на любое конечное число слагаемых.

Определение 1.5.3. Непустое подмножество кольца называется подкольцом кольца , если является кольцом относительно операций, определенных в .

20