Алгебра основные структуры алгебры, линейная алгебра. Курс лекций. Учебное пособие

в пространстве .

По доказанному ранее системы векторов (10) и (11) линейно независимы.

Если > , в пространстве существует линейно независимая система (10) с числом векторов, большим размерности пространства.

Если < , в пространстве существует линейно независимая система (11) с числом векторов, большим размерности пространства.

Оба раза пришли к противоречию, значит, размерности равны. Обратно, пусть dim = dim = .

По предыдущей теореме существуют изоморфизм : → и изоморфизм : → .

Тогда композиция биекций : → также будет изоморфизмом. Пусть , . Тогда

( + ) = ( ( + )) = ( ( ) + ( )) =

=( ( )) + ( ( )) = ( ) + ( ).

61

Рассмотрим любую систему

векторов пространства .

Каждый вектор системы (13) можно единственным образом разложить по базису (12). Получим равенства

Составив из координат векторов соответствующие столбцы, получим матрицу

Определение 3.5.1. Матрицу , о которой идет речь выше, называют матрицей перехода от базиса (12) к системе (13).

Пример 7. Рассмотрим в арифметическом пространстве R3 базис

1 = (1, 0, 0), 2 = (0, 1, 0), 3 = (0, 0, 1)

и систему векторов

1 = (2, 3, 5), 2 = (3, 7, −1), 3 = (4, −3, 6).

В этом случае верны равенства

2 1 + 3 2 + 5 3 = 1,

3 1 + 7 2 − 3 = 2,

4 1 − 3 2 + 6 3 = 3.

62

Предложение 3.5.1. Система (13) линейно независима тогда и только тогда, когда ранг матрицы равен ее порядку.

Доказательство. Независимость векторов системы (13) означает независимость системы столбцов матрицы .

Замечание 3.5.1. Определим в арифметическом пространстве над полем произведение вектора = ( 1, 2, . . . , ) на число

. Положим = ( 1 , 2 , . . . , ).

Так как умножение в поле коммутативно, то = .

Учитывая содержание предыдущего параграфа, можно утверждать, что равенство = справедливо в любом конечномерном пространстве.

Будем наряду с матрицами из элементов поля рассматривать матрицы-строки, элементами которых являются векторы пространства.

При этом действия над матрицами будем совершать по тем же правилам, что и раньше.

Рассмотрим матрицу из векторов базиса (12)

( )

= 1 2 . . .

и матрицу из векторов системы (13)

( )

= 1 2 . . . .

Найдем произведение . Получим

откуда, в силу равенств (14), можно заключить, что = .

Лемма 3.5.1 (техническая). Для любых квадратных матриц и из ( ) из равенства = следует верность равенства = .

Доказательство. В данном равенстве

С другой стороны,

63

Приравняв соответствующие элементы равных матриц, воспользуемся однозначностью разложения вектора по базису.

∑ ∑

Лемма 3.5.2 (техническая). В условиях предыдущей леммы имеет место равенство ( ) = ( ) .

Доказательство. Рассмотрим правую часть равенства. Ее произвольный элемент

Пусть в пространстве кроме базиса (12) и система (13) является базисом пространства.

Тогда существует матрица перехода от базиса (13) к системе (12), причем, = .

Тогда, пользуясь леммами, заключаем, что ( ) = , откуда

( ) = .

Из последнего равенства следует, что = .

С другой стороны, = ( ) , что влечет равенство = . Матрицы и являются взаимно обратными.

Предложение 3.5.2. Матрица перехода от базиса к базису обратима. Пусть матрица

1

2= . .

составлена из координат вектора в базисе (12), а матрица

1

2= . .

— из координат вектора в базисе (13).

64

Отсюда следует, что = ( ) = ( ), и по технической лемме

= и = −1 .

Таким образом, зная координаты вектора в одном базисе и матрицу перехода от базиса к базису, можно найти координаты вектора в другом базисе.

Задача 1. В линейном пространстве R3 над полем R даны базисы

матрица

для которой имеет место равенство = , и вектор = 3 1 − 2 2 + 3 3. Найти координаты вектора в базисе .

Решение. Из условия следует, что является матрицей перехода от базиса к базису .

Откуда следует, что

65

3.6. Взаимное расположение подпространств

Вспомним, что в геометрическом пространстве прямые и плоскости могут пересекаться.

Подпространствами в этом случае являются прямые и плоскости, проходящие через начало координат.

Попробуем обобщить знакомые понятия на случай конечномерных пространств.

Пусть дано пространство над полем и подпространства и этого пространства.

Определение 3.6.1. Пересечением подпространств и называется их теоретико-множественное пересечение ∩ . Т.е.

∩ = { | и }.

Теорема 3.6.1. Пересечение ∩ подпространств линейного пространства само является подпространством этого пространства.

Доказательство. Для доказательства воспользуемся критерием подпространства.

Так как 0 и 0 , то 0 ∩ . Пересечение не пусто. Пусть , ∩ , тогда , и , .

Отсюда следует, что + и + , так как и являются подпространствами, но тогда + ∩ .

Пусть . Тогда и , так как и являются подпространствами, но тогда ∩ .

Определение 3.6.2. Суммой подпространств и называется

Теорема 3.6.2. Сумма + подпространств сама является подпространством пространства .

Доказательство. Для доказательства воспользуемся критерием подпространства.

Так как 0 и 0 , то 0 = 0 + 0 + , т.е. множество + не пусто.

Пусть , + , тогда = + , = + , где , , , , отсюда + = ( + ) + ( + ) + .

66

Пусть . Тогда и , так как и являются подпространствами.

Отсюда, = + + .

Теорема 3.6.3. Если и — подпространства пространства над

где система (15) является базисом пересечения ∩ подпространств, система (16) и система (17) — базисы подпространств и соответственно.

Установим линейную независимость системы (18). Для этого рассмотрим линейную комбинацию векторов системы (18), равную нулевому вектору.

Откуда заключаем, что вектор содержится в пересечении ∩

67

Откуда следует, что

Получили линейную комбинацию векторов системы (17), равную нулю. Так как система (17) линейно независима, то все = 0.

Подставляя нули в равенство (19), получим линейную комбинацию векторов базиса (16), равную нулевому вектору.

Отсюда следует равенство нулю всех коэффициентов линейной комбинации системы (18) и ее линейная независимость.

Покажем, что система (18) порождает пространство + . Пусть + , тогда = + , где , а . Следовательно,

но тогда вектор является линейной комбинацией векторов системы (18). Осталось сравнить число векторов в базисах.

Задача 2. В пространстве R4 над полем R даны две линейные обо-

где

1 = (1, 1, 1, 0), 2 = (1, 0, 1, 0), 3 = (0, 1, 0, 1)

и 1 = (1, 1, 1, 1), 2 = (2, 1, 2, 0).

Найти базисы и размерности суммы и пересечения подпространств

и .

Решение. Найдем сначала базисы и размерности самих подпространств.

В лекции о базисах было замечено, что базис линейной оболочки следует искать среди векторов порождающей системы.

Приводя матрицу из векторов 1, 2, 3 к ступенчатому виду, убедимся, что ее ранг равен трем.

Порождающая система векторов является базисом, т.е. dim = 3.

68

Так как координаты векторов 1, 2 не пропорциональны, то dim = 2.

Найдем размерность и базис суммы + подпространств.

Из определения суммы подпространств следует, что вектор + равен сумме векторов = + , где

= 1 1 + 2 2 + 3 3 и = 1 1 + 2 2 .

Значит, + = ( 1, 2, 3, 1, 2). Базис суммы следует искать среди этих пяти векторов.

Составим матрицу и приведем ее к ступенчатому виду, стараясь запомнить порядок следования векторов.

Таким образом, dim + = 3. Учитывая теорему, получаем

dim ∩ = dim + dim − dim + = 3 + 2 − 3 = 2.

Заметим, что мы поменяли местами строки, соответствующие векторам 1 и 2.

Базис суммы составляют векторы, соответствующие первым трем векторам. Следовательно, в нашем случае + = , а пересечение

∩ = .

Но если бы нам нужно было найти базис пересечения, то следовало взять вектор ∩ .

Тогда = 1 1 + 2 2 + 3 3 = 1 1 + 2 2.

69

Подставляя координаты векторов, решаем систему уравнений.

Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду.

00 1 −1 0 0

Преобразуем ступенчатую матрицу.

1 0 0 0 −1 0

Таким образом, общее решение системы имеет следующий вид:

1 = 2,

2 = 1 + 2,

3 = 1.

Можно подставить полученные выражения в вектор . Получим = 1 1 + 2 2. Значит, 1, 2 — базис пересечения.

Определение 3.6.3. Сумма подпространств + называется прямой, если любой вектор + представляется в виде суммы = + (для и ) однозначно.

70