Алгебра основные структуры алгебры, линейная алгебра. Курс лекций. Учебное пособие

Доказательство. Так как сложение в поле ассоциативно, то

Определим произведение строки (матрицы размеров (1, )) на столбец (матрицу размеров ( , 1)).

Пусть

( )

= 1 2 . . .

и

Таким образом, произведение строки на столбец является одноэлементной матрицей.

Пример 1. Пусть

( )

= 3 2 −5 −7 8

и

4

−3

= 6 .

−1

5

Тогда

= 3 · 4 + 2(−3) + (−5)6 + (−7)(−1) + 8 · 5 = 23.

От умения умножать строку на столбец зависит умение найти произведение матриц.

31

Определение 2.1.5. Произведением матрицы ( , ) на матрицу

столбце, равен произведению -й строки первой матрицы на -й столбец второй матрицы.

Следовательно, длина строки первой матрицы должна быть равна

Найти .

Теорема 2.1.2. Если определено одно из произведений ( ) и ( ) , то определено и второе, и они равны.

Доказательство. Пусть = ( )( , ) и = ( )( , ), и = ( )( , ), причем произведение ( ) определено.

Тогда = , = и произведение ( ) определено, при этом размеры произведений одинаковые.

Остается применить техническую лемму.

( )

Предложение 2.1.1. Если одно из выражений ( + ) ( + ) или + ( + ) определено, то определено и второе, и они равны.

32

Доказательство. Пусть определено произведение ( + ). Тогда, например, матрицы и имеют одинаковые размеры ( , ),

а матрица имеет размеры ( , ). В этом случае матрицы и существуют и имеют размеры ( , ).

Далее, если — элемент матрицы ( + ), то

Теорема 2.1.3. Множество ( ) квадратных матриц порядка над полем является кольцом относительно сложения и умножения матриц.

Доказательство. По теореме 2.1.1 множество ( ) является аддитивной абелевой группой.

Множество ( ) замкнуто относительно умножения матриц. По теореме 2.1.2 умножение матриц ассоциативно.

По предложению 2.1.1 умножение матриц двояко дистрибутивно относительно сложения.

Определение 2.1.6. Квадратная матрица

00 . . .

называется диагональной.

Если

33

и

Будем иногда обозначать = ( 1, 2, . . . , ).

Определение 2.1.7. Матрицу = (1, 1, . . . , 1) назовем единичной. Таким образом,

Из вышесказанного ясно, что для любой матрицы ( ) выполнено = = .

Следствие 2.1.1. Множество ( ) является кольцом с единицей относительно сложения и умножения матриц.

2.2. Транспонированные матрицы. Ранг произведения матриц

Рассмотрим некоторые свойства транспонированных матриц.

Теорема 2.2.1. Для матриц и и любого числа имеют место равенства:

1)( ) = ;

2)( + ) = + ;

3)( ) = ;

4)( ) = .

Доказательство. Докажем последнее утверждение. Сначала рассмотрим конкретный случай.

Пусть

11 12

= 21 22

31 32

и

34

Тогда

Найдем

Сравнивая матрицы, убеждаемся, что ( ) = . Теперь рассмотрим общий случай.

Пусть

Но = , если — элемент матрицы .

Теорема 2.2.2. Ранг матрицы равен рангу матрицы . Доказательство. Для доказательства теоремы надо вспомнить опре-

деления ранга матрицы и транспонированной матрицы.

Замечание 2.2.1. В первой части курса мы рассматривали арифметические векторы с действительными элементами.

Так как всякое другое поле имеет те же алгебраические свойства, то будем рассматривать арифметические векторы над произвольным полем .

35

Множество всех таких векторов обладает свойствами арифметических пространств.

Теорема 2.2.3. Ранг произведения матриц не превосходит ранга любого из сомножителей.

Доказательство. Начнем с частного случая. Возьмем матрицы и из теоремы о свойствах транспонированных матриц.

Рассмотрим систему столбцов матрицы

{

1 = ( 11, 21, 31),

(1)

2 = ( 12, 22, 32)

и систему столбцов матрицы

1 = ( 11 11 + 12 21, 21 11 + 22 21, 31 11 + 32 21),

2 = ( 11 12 + 12 22, 21 12 + 22 22, 31 12 + 32 22),

(2)

3 = ( 11 13 + 12 23, 21 13 + 22 23, 31 13 + 32 24),

4 = ( 11 14 + 12 24, 21 14 + 22 24, 31 14 + 32 24).

Из правил действий над векторами заключаем, что

1 = 11 1 + 21 2, 2 = 12 1 + 22 2, 3 = 13 1 + 23 2, 4 = 14 1 + 24 2.

Составим новую систему векторов

1, 2, 1, 2, 3, 4. (3)

Ранг системы (3) равен рангу системы (1), так как векторы системы

(2)линейно выражаются через векторы системы (1).

Сдругой стороны, ранг системы (2) не больше, чем ранг системы (3), так как система (2) является частью системы (3).

Таким образом, ранг матрицы не превосходит ранга матрицы .

Рассмотрим общий случай. Пусть = ( )( , ), = ( )( , ). Рассмотрим систему 1, 2, . . . , столбцов матрицы и произволь-

ный столбец матрицы .

Из правила умножения матриц следует, что

= 1 1 + 2 2 + · · · + .

36

Из доказанного выше следует равенство рангов систем (4) и (5).

Так как система (6) является частью системы (5), то ее ранг не больше ранга системы (5).

Таким образом, ранг системы (6) не превосходит ранга системы (4). Чтобы доказать теорему для матрицы , следует рассмотреть транс-

понированные матрицы и воспользоваться предыдущей теоремой.

2.3. Элементарные матрицы

Определение 2.3.1. Квадратная матрица порядка называется невырожденной, если ее ранг равен .

Предложение 2.3.1. Матрица является невырожденной тогда и только тогда, когда система ее строк (столбцов) линейно независима.

Доказательство. Утверждение следует из определения ранга матрицы.

Теорема 2.3.1. Невырожденную матрицу с помощью элементарных преобразований строк (столбцов) можно превратить в единичную.

Доказательство. Пусть

где — невырожденная матрица.

Мы умеем, используя элементарные преобразования строк, получать ступенчатую матрицу

37

Умножим последнюю строку матрицы на −1. Получим

00 . . . 1

Теперь можно обратить элементы последнего столбца в нули. Дальше поступаем аналогично с предпоследней строкой и т.д.

Для решения вопроса об обратимости матриц рассмотрим так называемые элементарные матрицы.

Определение 2.3.2. Элементарной матрицей называется матрица, которая получается из единичной матрицы с помощью одного из элементарных преобразований строк.

Различают элементарные матрицы трех видов.

1) Матрица, полученная прибавлением к -й строке матрицы ее -й строки, умноженной на .

Символом обозначают квадратную матрицу, у которой все элементы, кроме = 1, равны нулю.

2) Матрица, полученная перестановкой -й строки матрицы с ее -й строкой.

38

3) Матрица, полученная умножением -й строки матрицы на ̸= 0.

Теорема 2.3.2. Элементарное преобразование строк матрицы равносильно умножению этой матрицы слева на соответствующую элементарную матрицу.

Элементарное преобразование столбцов матрицы равносильно умножению этой матрицы справа на соответствующую элементарную матрицу.

Доказательство. Ограничимся матрицами третьего порядка. Пусть

11 12 13

= 21 22 23

31 32 33

Следствие 2.3.1. Умножая невырожденную матрицу только слева (только справа) на подходящие элементарные матрицы, ее можно обратить в единичную.

Пример 3. Пусть

2 1 1

= 1 2 1 .

1 1 2

39

Возьмем следующие элементарные матрицы

1 = 12, 2 = − 2 12, 3 = − 13, 4 = 23, 5 = − 3 23,

1

6 = 3(−4), 7 = − 32, 8 = − 31, 9 = +2 21, 10 = 2(−1).

Тогда имеет место равенство

(((((((((( 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10 = .

Определение 2.3.3. Если для квадратной матрицы над полем существует матрица −1 над полем , для которой −1 = −1 = , то матрицу называют обратимой, а матрицу −1 — обратной к матрице .

Теорема 2.3.3. Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она является невырожденной.

Доказательство. Если у квадратной матрицы порядка существует обратная матрица, то ранг произведения −1 не превосходит ранга матрицы , но −1 = , т.е. ранг равен .

Если — невырожденная матрица, то в силу следствия 2.3.1 найдутся элементарные матрицы , для которых

( −1(. . . ( 1( )) · · · )) = ( −1 . . . 1) = .

С другой стороны, существуют элементарные матрицы , для которых

(· · · (( 1) 2) . . . ) ) = ( 1 2 . . . ) = .

Если = −1 . . . 1 и = 1 2 . . . , то = = . Тогда

= = ( ) = ( ) = = .

Следовательно, = = −1. Рассмотрим матричное уравнение = над кольцом ( ). Умножая уравнение слева на подходящие элементарные матрицы

в случае невырожденности , получим уравнение = . . . 2 1 , равносильное исходному.

Таким образом, если превратить в с помощью элементарных преобразований строк и проделать те же самые преобразования в , то превратится в −1.

40