Алгебра основные структуры алгебры, линейная алгебра. Курс лекций. Учебное пособие

Свойства линейных пространств

Предложение 3.1.1. Для любых чисел , и любых векторов, имеют место равенства

( − ) = − и ( − ) = − .

Доказательство. Из свойств аддитивной группы следует, что для любых векторов и существует решение − = + (− ) уравнения

Предложение 3.1.3. 0 = 0. (Слева 0 означает число, справа — вектор.)

Доказательство. Действительно, для любого имеем 0 = − , откуда 0 = ( − ) = − = 0.

Предложение 3.1.4. Если = 0, то = 0 или = 0. Доказательство. Пусть ̸= 0. Тогда

= 1 = ( −1 ) = −1( ) = −10 = 0.

Предложение 3.1.5. Имеет место следующее «правило знаков»:

Доказательство. Так как − = 0 − , то по предложению 3.1.1

(− ) = (0 − ) = 0 − = − .

Так как − = 0 − , то по предложению 3.1.1

(− ) = (0 − ) = 0 − = − .

51

Предложение 3.1.6. Вторая и третья аксиомы по индукции распространяются на любое конечное число слагаемых.

( 1 + 2 + · · · + )( 1 + 2 + · · · + ) = 1 1 + 1 2 + · · · + .

Заметим, что теперь можно определить понятия линейной комбинации, линейной зависимости и утверждать, что все свойства линейной зависимости верны в произвольном линейном пространстве, так как, давая определения и приводя доказательства, мы нигде не пользовались конкретными свойствами векторов арифметического пространства.

3.2. Подпространства

Пусть — линейное пространство над полем .

Определение 3.2.1. Подмножество линейного пространства над полем называется подпространством пространства , если само является пространством относительно операций, определенных в пространстве .

Примеры. 1. В каждом пространстве существуют два тривиальных подпространства: нулевое и само пространство.

2.Прямые и плоскости — примеры подпространств трехмерного евклидова пространства.

3.Множество решений однородной системы уравнений с неизвестными над полем является подпространством в пространстве .

Теорема 3.2.1. Непустое подмножество пространства над полемявляется подпространством в том и только в том случае, когда удовлетворяет условиям:

1)для любых , их сумма + ;

2)для любого числа и любого вектора их произведение

.

Доказательство. Необходимость условия очевидна. Докажем достаточность.

Подмножество не пусто и по условию в нем определены операции сложения и умножения на элементы поля.

52

Так как операции согласованы, то сложение в подчиняется ассоциативному и коммутативному законам, и справедливы четыре аксиомы, связывающие умножение на элемент поля со сложением.

Возьмем и 0 . По условию 2) теоремы 0 = 0 .

Далее, для любого элемента и −1 по условию 2) теоремы

− = (−1) .

Рассмотрим один важный пример подпространства.

Определение 3.2.2. Упорядоченная последовательность векторов называется системой векторов.

Рассмотрим в пространстве конечную или бесконечную систему векторов = { 1, 2, . . . , , . . .}.

Определение 3.2.3. Множество ( ) всевозможных линейных комбинаций векторов системы называется линейной оболочкой данной системы векторов.

Предложение 3.2.1. = ( ) — подпространство пространства .

Доказательство. Так как 0 = 0 1 +0 2 +· · ·+0 , то множествоне является пустым.

Пусть

Второе условие подпространства проверяется аналогично.

Следствие 3.2.1. Линейная оболочка системы векторов является наименьшим подпространством, содержащим данную систему векторов.

Определение 3.2.4. Говорят, что пространство порождено системой векторов , если = ( ). При этом называют системой порождающих пространства .

3.3. Базис, размерность пространства

Пусть — линейное пространство над полем .

53

Определение 3.3.1. Если существует конечная система векторов, порождающая пространство , то называется конечномерным.

(Т.е. для некоторой системы векторов = { 1, 2, . . . , } пространство является линейной оболочкой системы :

каждый вектор из равен линейной комбинации некоторых векторов из системы .)

В противном случае пространство называется бесконечномерным.

Нам понадобится основное свойство линейной зависимости. Напомним формулировку.

Теорема 3.3.1. Пусть даны системы векторов

и

1, 2, . . . , . (2)

Если < и каждый вектор системы (2) линейно выражается через векторы системы (1), то система (2) линейно зависима.

Предложение 3.3.1. Если пространство порождается системой из векторов, то любая система с большим числом векторов является линейно зависимой.

Доказательство. По условию предложения каждый вектор из равен линейной комбинации некоторых векторов из системы .

Утверждение является следствием предыдущей теоремы.

Определение 3.3.2. Базисом пространства называется всякая линейно независимая система векторов , порождающая пространство .

(Система векторов называется базисом линейного пространства , если выполняются два условия:

1)система векторов линейно независима;

2)каждый вектор из равен линейной комбинации некоторых векторов из системы .)

Теорема 3.3.2. Любые два базиса пространства содержат одинаковое число векторов.

Доказательство. Пусть система векторов

54

также является базисом пространства .

Если > , то по предложению 3.3.1 для базиса (4) система векторов (3) линейно зависима, что противоречит свойству базиса (3).

Аналогично рассуждаем в случае > . Следовательно, = .

Определение 3.3.3. Размерностью линейного пространства называется число векторов любого базиса этого пространства, если таковые существуют.

Примеры. 1) Пространство из нуля по определению считаем нульмерным.

2)Размерность плоскости равна двум.

3)Размерность пространства = C над R также равна двум.

4)Фундаментальная система решений является базисом пространства решений системы линейных однородных уравнений.

Базисы существуют не во всяких линейных пространствах. Пример 5. Пусть = {( 1, 2, 3, . . .) | R} — пространство бес-

конечных последовательностей над R. Рассмотрим систему векторов из .

1 = (1, 0, 0, . . .), 2 = (0, 1, 0, 0, . . .), . . . , = (0, 0, . . . , 1, 0, . . .), . . .

При любом система из первых векторов будет линейно независимой.

Определение 3.3.4. Система векторов называется базисом линейного пространства , если каждый вектор пространства единственным образом разлагается по векторам системы .

Теорема 3.3.3. Определения базиса эквивалентны. Доказательство. Возьмем систему векторов = { 1, 2, . . . , }

в линейном пространстве .

Допустим, что система удовлетворяет условиям определения 3.3.2. Пусть вектор разлагается по векторам системы двумя спосо-

бами:

55

Тогда 0 = ( 1 − 1) 1 + ( 2 − 2) 2 + · · · + ( − ) .

По первому условию определения 3.3.2 все скобки равны нулю, т.е. разложения совпадают.

Значит, система удовлетворяет условию определения 3.3.4. Обратно, пусть система векторов удовлетворяет условиям опреде-

ления 3.3.4.

Рассмотрим линейную комбинацию 1 1 + 2 2 + · · · + = 0. Так как 0 1 + 0 2 + · · · + 0 = 0, и разложение любого вектора одно-

значно, то = 0 для всех = 1, 2, . . . , .

Таким образом, система векторов линейно независима и удовлетворяет условиям определения 3.3.2.

Следствие 3.3.1. Разложение любого вектора по базису единственно.

Определение 3.3.5. Коэффициенты разложения вектора по базису называются координатами этого вектора.

Предложение 3.3.2. При сложении векторов соответствующие координаты складываются.

При умножении вектора на число все координаты вектора умножаются на это число.

Доказательство. Пусть { 1, 2, . . . , } — базис линейного пространства . Рассмотрим , , где

= 1 1 + 2 2 + · · · + и = 1 1 + 2 2 + · · · + .

Используя свойства линейных пространств, получим равенство

+ = ( 1 + 1) 1 + ( 2 + 2) 2 + · · · + ( + ) .

Предложение 3.3.3. Пусть ( 1, 2, . . . , ) ̸= {0}. Тогда среди образующих векторов можно найти базис данной линейной оболочки.

Доказательство. Если система порождающих независима, то она и является искомым базисом.

Если система порождающих зависима, т.е. есть вектор, являющийся линейной комбинацией остальных, то удалим его и т.д.

Следствие 3.3.2. Любое конечномерное пространство обладает базисом.

Напомним еще одно свойство линейной зависимости.

56

Предложение 3.3.4. Возьмем в линейном пространстве две системы векторов

Если система (5) линейно независима, то система (6) линейно зависима тогда и только тогда, когда вектор линейно выражается через систему векторов (5).

Теорема 3.3.4. Любую линейно независимую систему векторов конечномерного пространства можно дополнить до базиса пространства.

Доказательство. Если число векторов данной системы равно размерности пространства, то она сама является базисом.

Если это число меньше размерности, добавим к системе один из векторов пространства, который нельзя выразить через векторы данной системы.

По предложению 3.3.4 новая система останется линейно независимой и т.д.

Через конечное число шагов получится система векторов, длина которой равна размерности пространства.

Следствие 3.3.3. Любой ненулевой вектор можно включить в некоторый базис пространства.

Теорема 3.3.5. В -мерном линейном пространстве для любого числа(0 6 6 ) существуют -мерные подпространства.

Доказательство. Заметим, что нулевому подпространству приписывается размерность 0.

Если ̸= 0, рассмотрим какой-нибудь базис пространства и линейную оболочку первых векторов базиса.

3.4. Изоморфизм линейных пространств

Начнем с примера.

Пример 6. Рассмотрим линейное пространство 1 = C и арифметическое пространство 2 = R2 над полем R.

57

Так как для комплексного числа существует единственная запись в алгебраической форме, то базис пространства 1 состоит их векторов

1 = 1 и 2 = , т.е. 1 = { | = 1 1 + 2 2}, где 1, 2 R. Определим функцию : 1 → 2 по правилу ( ) = ( 1, 2). Получим

биекцию. Отметим некоторые свойства этой функции.

Если 1 = 1 1 + 2 2 и 2 = 1 1 + 2 2, то ( 1) = ( 1, 2)

и ( 2) = ( 1, 2). Тогда

( 1 + 2) = (( 1 + 1) 1 + ( 2 + 2) 2) = = ( 1 + 1, 2 + 2) = ( 1, 2) + ( 1, 2) = ( 1) + ( 2).

Значит, образ суммы векторов из первого пространства равен сумме образов этих векторов во втором пространстве. (Функция сохраняет сложение.)

Для любого R имеем

( 1) = ( 1 1 + 2 2) = ( 1, 2) = ( 1, 2) = · ( 1).

Следовательно, образ произведения числа на вектор из первого пространства равен произведению данного числа на образ вектора во втором пространстве. (Функция сохраняет умножение вектора на число.)

Таким образом, биекция сохраняет обе операции линейного простран-

удовлетворяет условиям:

1)— биекция;

2)для любых векторов , 1 в пространстве 2 выполнено равенство ( + ) = ( ) + ( );

3)( ) = · ( ) для всех , 1.

Пусть существует изоморфизм : → для линейных пространстви над полем .

58

Предложение 3.4.1. (0 ) = 0 . Доказательство. Действительно,

(0 ) = ( − ) = ( + (−1) ) = ( ) + ((−1) ) =

=( ) + (−1) · ( ) = ( ) − ( ) = 0 .

Предложение 3.4.2. Для любого вектора выполнено равенство (− ) = − ( ).

Доказательство. ( ) + (− ) = ( + (− )) = (0 ) = 0 .

Предложение 3.4.3. Линейно независимая система векторов отображается при применении изоморфизма в линейно независимую систему векторов.

Доказательство. Пусть система векторов

является линейно независимой системой векторов пространства . Рассмотрим линейную комбинацию образов векторов системы (7), рав-

ную 0.

1 ( 1) + 2 ( 2) + · · · + ( ) = 0 .

Тогда

( 1 1 + 2 2 + · · · + ) = (0 ).

Из инъективности функции следует, что

1 1 + 2 2 + · · · + = 0 .

Таким образом, все коэффициенты равны нулю, так как система (7) линейно независима.

Предложение 3.4.4. Функция, обратная изоморфизму, сама является изоморфизмом векторных пространств.

Доказательство. Так как — биекция, то существует биективная функция −1.

Пусть , и ( ) = , ( ) = для элементов , . Тогда( + ) = + , откуда следует, что −1( ) + −1( ) = + = −1( + ).

Для имеем: ( ) = , т.е. −1( ) = = −1( ).

59

Теорема 3.4.1. Всякое линейное пространство над полем , имеющее базис из векторов, изоморфно арифметическому пространству .

Доказательство. Пусть 1, 2, . . . , — базис пространства . Определим функцию : → по следующему правилу.

Для любого элемента существует представление

где .

Положим ( ) = ( 1, 2, . . . , ).

Биективность следует из однозначности разложения вектора по базису.

= ( 1, 2, . . . , ) + ( 1, 2, . . . , ) = ( ) + ( ).

Значит, функция сохраняет сложение. Пусть , тогда

∑

( ) = ( ) = ( 1, 2, . . . , ) = ( ).

=1

Значит, функция сохраняет умножение на число.

Из доказанной теоремы следует, что для изучения свойств конечномерных пространств их можно отождествлять с арифметическими пространствами, так как, с точностью до изоморфизма, других конечномерных пространств не существует.

Следствие 3.4.1. Два конечномерных пространства и над полем изоморфны тогда и только тогда, когда dim = dim .

Доказательство. Пусть существует изоморфизм : → . Пусть далее система векторов

60