Алгебра основные структуры алгебры, линейная алгебра. Курс лекций. Учебное пособие

Теорема 3.6.4. Сумма подпространств + является прямой тогда и только тогда, когда ∩ = {0}.

Доказательство. Пусть ∩ .

Если ̸= 0, то 0 = + (− ) = 0 + 0, где , а − , но тогда= 0, так как сумма прямая.

Обратно, если + и = 1 + 1 = 2 + 2, где , а , то 1 − 2 = 2 − 1 ∩ , т.е. 1 = 2 и 1 = 2.

Следствие 3.6.1. Если сумма подпространств + является прямой, то

dim + = dim + dim .

Если сумма + является прямой, то пишут .

Определение 3.6.4. Каждое слагаемое в представлении вектора в прямой сумме называется проекцией этого вектора на соответствующее подпространство.

Пример. Если 1, 2 — базис пространства над полем , то

= ( 1) ( 2).

3.7.Факторпространства

Определение 3.7.1. Если — подпространство линейного пространства над полем , то множество

+ = { | = + для некоторого }

называется линейным многообразием, полученным сдвигом подпространства на вектор .

В геометрии примерами многообразий служат прямые (плоскости) параллельные прямой (плоскости), проходящей через начало координат.

Рассмотрим систему неоднородных уравнений над полем

11 1 + 12 2 + · · · + 1 = 1,

21 1 + 22 2 + · · · + 2 = 2,

(20)

· · ·

+ + · · · + = .

1 1 2 2

71

Ей соответствует следующая система однородных уравнений

В первой части курса лекций нами доказано утверждение.

Предложение 3.7.1. Решение системы (20) (если она совместна) есть сумма любого ее решения и решения системы (21).

Следствие 3.7.1. Множество решений совместной системы линейных неоднородных уравнений образует линейное многообразие в арифметическом пространстве , полученное сдвигом подпространства решений соответствующей однородной системы уравнений.

Пусть — линейное пространство над полем , и — подпространство пространства .

Определение 3.7.2. Векторы , называются сравнимыми по модулю ( ≡ (mod )), если − .

Предложение 3.7.2. Отношение сравнимости по модулю подпространства является отношением эквивалентности.

Доказательство. Так как 0 , то ≡ (mod ) для любого вектора . Отношение рефлексивно.

Если ≡ (mod ), то − .

Значит, − , т.е. ≡ (mod ). Отношение симметрично. Если ≡ (mod ) и ≡ (mod ), то − , − .

Откуда − , т.е. ≡ (mod ). Отношение транзитивно. Рассмотрим класс разбиения , содержащий элемент .

Если , то − = . Значит, = + , т.е. + . Обратно, если + , то − , т.е. .

Предложение 3.7.3. Класс разбиения по модулю подпространства является многообразием, полученным сдвигом этого подпространства на любой представитель класса.

Следствие 3.7.2. Фактормножество по отношению эквивалентности

/ = { + | }.

72

Рассмотрим на множестве / операции сложения

( + ) + ( + ) = + + для ,

и умножения на числа

Предложение 3.7.4. Относительно введенных операций множество / является линейным пространством над полем .

Доказательство. Пусть + и + , т.е. − , − . Тогда

( + ) − ( + ) = ( − ) + ( − ) .

Значит, + + = + + . Аналогично

( − ) = ( − ) .

Значит, ( + ) = ( + ). Обе операции определены корректно. Так как действия сводятся к действиям над векторами пространства , то все аксиомы линейного пространства справедливы.

Определение 3.7.3. Линейное пространство / называется

факторпространством.

Выясним величину размерности факторпространства.

Пусть система векторов 1, 2, . . . , является базисом подпространства . Тогда ее можно дополнить до базиса

1, 2, . . . , , 1, 2, . . . ,

пространства .

Любой вектор можно разложить по базису.

Таким образом,

/ = ( 1 + , 2 + , . . . , + ).

73

Остается доказать, что система порождающих является линейно независимой. Для этого рассмотрим линейную комбинацию

1 1 + + 2 2 + + · · · + + = .

Из определения правил действий над классами заключаем, что

∑

.

=1

Разложив последний вектор по базису подпространства , получим тривиальную линейную комбинацию векторов.

Следовательно, классы + составляют базис факторпространства. Нами доказано, что

Предложение 3.7.5. Размерность пространства / равна разности размерностей линейных пространств и .

4. Евклидовы пространства

4.1. Скалярное умножение

Понятие линейного пространства является обобщением понятия геометрического трехмерного пространства.

Попытаемся обобщить важные понятия длины вектора, угла между векторами и скалярного произведения векторов на случай произвольных конечномерных векторных пространств над полем действительных чисел.

Определение 4.1.1. Говорят, что в пространстве над полем R определено скалярное умножение, если существует функция

: × → R, где образ пары ( , ) обозначается ( , ),

удовлетворяющая условиям:

1)( , ) = ( , ) для всех , ;

2)( + , ) = ( , ) + ( , ) для всех , , ;

3)( , ) = ( , ) для всех , и R;

4)( , ) > 0 для всех ̸= 0, .

Определение 4.1.2. Всякое пространство над полем R со скалярным умножением называется евклидовым пространством.

74

Пример 1. Арифметическое пространство R , где

∑

( , ) = ,

=1

если = ( 1, 2, . . . , ) и = ( 1, 2, . . . , ).

Пример 2. Всякое -мерное пространство над R можно превратить в евклидово, если считать скалярным произведением векторов сумму произведений их соответствующих координат в некотором базисе.

Доказательство. Пусть 1, 2, . . . , — базис пространства . Проверим справедливость аксиом скалярного умножения для векто-

ров , , и числа R. Положим

∑

Значит, считаем, что ( , ) = =1 .

Справедливость аксиомы 1) следует из коммутативности умножения чисел в R.

2) Учитывая дистрибутивность умножения чисел в R относительно сложения, получаем

4) Сумма квадратов чисел, отличных от нуля, в R строго положительна.

Теорема 4.1.1. В любом евклидовом пространстве справедливы утверждения:

1)(0, ) = 0 для всякого вектора ;

2)аксиомы 2) и 3) определения скалярного умножения справедливы для правого вектора;

75

3) верно, что

4) ( , ) = 0 тогда и только тогда, когда = 0.

Доказательство. 1) Так как 0 = 0 для , то

(0, ) = (0 , ) = 0( , ) = 0.

2)Легко доказать, применяя аксиомы скалярного умножения.

3)Утверждение доказывается методом математической индукции по числу слагаемых первого вектора.

Рассмотрим частный случай:

4. Необходимость следует из пункта 1).

Достаточность доказывается от противного, учитывая аксиому 4).

4.2. Норма вектора

Во всяком евклидовом пространстве можно ввести понятие длины вектора.

Определение 4.2.1. Длиной (нормой) вектора называется число

√

‖ ‖, равное ( , ).

Если ‖ ‖ = 1, то говорят, что вектор нормирован.

Предложение 4.2.1. Всякий вектор ̸= 0 евклидова пространства

Теорема 4.2.1. Для любых векторов и евклидова пространства имеет место неравенство Коши—Буняковского:

76

Доказательство. Чтобы доказать верность формулы (1), достаточно доказать, что

( , )2 6 ( , ) · ( , ).

Если какой-либо из векторов равен нулю, то неравенство верно. Пусть ̸= 0, ̸= 0. Из свойств скалярного умножения следует, что

для всякого числа R и вектора = − имеет место неравенство 0 6 ( , ). Вычислим

( , ) = ( − , ) = ( , ) − ( , ) = ( , − ) − ( , − ) = = 2( , ) − ( , ) − ( , ) + ( , ).

Отсюда следует, что

2( , ) − 2 ( , ) + ( , ) > 0.

Рассмотрим функцию

( , ) 2 − 2( , ) + ( , ).

Она принимает неотрицательные значения только если ее дискриминант

( , )2 − ( , ) · ( , ) 6 0.

Определение 4.2.2. Если ̸= 0 и ̸= 0 в евклидовом пространстве, то углом между ними называют неотрицательное действительное число , где

( , )

cos = ‖ ‖ · ‖ ‖, 0 6 6 .

Из неравенства Коши—Буняковского следует, что

( , )

−1 6 ‖ ‖ · ‖ ‖ 6 1.

Определение 4.2.3. Если cos = 0, т.е. если ( , ) = 0, то векторы

и называют ортогональными.

77

4.3. Ортогональные системы векторов

Определение 4.3.1. Если в системе векторов все векторы попарно ортогональны, то такая система векторов называется ортогональной.

Теорема 4.3.1. Ортогональная система ненулевых векторов1, 2, . . . , является линейно независимой.

Доказательство. По условию теоремы ( , ) = 0 для всех ̸= . Пусть

Умножим скалярно обе части равенства (2) на 1, получим

( )

∑

, 1 = 1( 1, 1) + 2( 2, 1) + · · · + ( , 1) = (0, 1) = 0.

=1

Из условия теоремы следует, что ( , 1) = 0, если ̸= 1, поэтому1( 1, 1) = 0 для 1 ̸= 0. Следовательно, 1 = 0.

Рассуждая аналогично, можно доказать, что все коэффициенты левой части равенства (2) равны нулю.

Следствие 4.3.1. Ортогональная система ненулевых векторов является базисом -мерного евклидова пространства.

Задача 1. Даны векторы 1 = (1, 1, 1, 1) и 2 = (1, 0, −1, 0) в пространстве = R4. При этом ( 1, 2) = 0.

По доказанному система векторов линейно независима. Значит, ее можно дополнить до базиса пространства.

Дополнить данную систему векторов до ортогонального базиса пространства.

Решение. Так как dim = 4, то нужно найти два вектора

3 = ( 1, 2, 3, 4) и 4 = ( 1, 2, 3, 4), удовлетворяющие условиям

( 1, 3) = 0, ( 1, 4) = 0, ( 2, 3) = 0, ( 2, 4) = 0, ( 3, 4) = 0.

Из первых двух равенств получаем систему уравнений

{

1 + 2 + 3 + 4 = 0,

1 − 3 = 0.

78

Находим общее решение системы

{

1 = 3,

2 = −2 3 − 4.

Из третьего и четвертого равенств получается система уравнений

{

1 + 2 + 3 + 4 = 0,

1 − 3 = 0.

Находим общее решение системы

{

1 = 3,2 = −2 3 − 4.

Из пятого равенства следует соотношение 1 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 = 0. Изменим последнее равенство, учитывая общие решения систем. Получим 2 3 3 + (2 3 + 4)(2 3 + 4) + 4 4 = 0.

Положив 3 = 4 = 3 = 1, найдем из последнего равенства 4 = −2. Таким образом, 3 = (1, −3, 1, 1) и 4 = (1, 0, 1, −2).

Система векторов 1, 2, 3, 4 — ортогональный базис пространства.

4.4. Процесс ортогонализации

Теорема 4.4.1. Для всякой линейно независимой системы векторов можно найти ортогональную систему с тем же числом векторов.

Доказательство. Метод доказательства теоремы носит название

процесса ортогонализации. Пусть

— линейно независимая система векторов.

Докажем, что существует ортогональная система ненулевых векторов

где каждый вектор является линейной комбинацией первых векторов системы (3).

Положим 1 = 1 и допустим, что уже построена система типа (4) из− 1 вектора 1, 2, . . . , −1, где 6 .

79

Рассмотрим вектор

Докажем, что при любых вектор ̸= 0.

Действительно, если = 0, то имеем линейную комбинацию векторов системы (3), равную нулю, в которой коэффициент при = 1, чего быть не может, так как система (3) линейно независима.

Потребуем, чтобы ( , ) = 0 для всех = 1, 2, . . . , − 1. Получим равенства

( , ) + ( , ) = 0,

из которых следует, что

= −( , ).

( , )

Т.е. система векторов 1, 2, . . . , обладает свойствами системы (4). Продолжая процесс, через конечное число шагов получим систему (4).

Следствие 4.4.1. Любую ортогональную систему ненулевых векторов можно дополнить до ортогонального базиса.

Доказательство. Так как система независима, дополним ее до базиса и применим процесс ортогонализации.

Пример 3. Пусть дана линейно независимая система векторов

1 = (1, 0, 1, 0), 2 = (1, 1, 1, 0), 3 = (1, 0, 1, 1), 4 = (1, 0, 0, 0).

Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональную систему векторов.

Решение. Положим 1 = 1 = (1, 0, 1, 0).

Найдем такой вектор 2 = 2 + 1, что ( 2, 1) = 0.

Значит, ( 2 + 1, 1) = ( 2, 1) + ( 1, 1) = 0, откуда 2 + 2 = 0, т.е.

= −1.

Таким образом, 2 = (1, 1, 1, 0) − (1, 0, 1, 0) = (0, 1, 0, 0).

Образуем вектор 3 = 3 + 1 1 + 2 2. Потребуем его ортогональность с найденными нами векторами. Получим

( 3, 1) = ( 3 + 1 1 + 2 2, 1) = ( 3 + 1 1, 1) = ( 3, 1) + 1( 1, 1) = 0.

80