семестр 1 / Пособие_по_терверу_Чекалкин.PDF

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПОРФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)»

Н. С. ЧЕКАЛКИН С. Д. ГУМЛЯЕВА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

МОСКВА 2006

1

ББК 519.21 УДК 22.171

Рецензенты:

Чекалкин Н. С., Гумляева С. Д. Теория вероятностей: Учебное пособие / Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет)» - М., 2006. – с.

В основе настоящего пособия положен курс лекций по дисциплине «Теория вероятностей», который читается студентам дневного отделения МИРЭА и предназначен для первоначального ознакомления с основными методами и понятиями теории вероятностей.

Табл. 10, Ил. 33, Библиогр.: 9 назв.

Н. С. Чекалкин, С. Д. Гумляева, 2006

2

ВВЕДЕНИЕ

В основе настоящего пособия положен курс лекций по дисциплине «Теория вероятностей», который читается студентам дневного отделения МИРЭА и предназначен для первоначального ознакомления с основными методами и понятиями теории вероятностей.

Теория вероятностей является активно развивающейся наукой и использует довольно широко аппарат различных разделов математики на современном уровне. Ряд положений этой теории постоянно подвергается изменениям в сторону более строгого изложения доказательств, определений и т. п. Среди многочисленной и разнообразной литературы, посвященной теории вероятностей и ее приложениям сложно ориентироваться, особенно при первоначальном ознакомлении , так как существует серьезный разрыв между наиболее современным подходом к понятиям теории вероятностей и значительно устаревшим. Авторы настоящего пособия учитывают недостаточный объем знаний студентов элементов теории меры и понятием интеграла по мере на абстрактном пространстве. С учетом этого материал излагается на максимальном уровне строгости. Особое внимание уделяется определениям основных положений теории вероятностей, таких как ряд распределений и его свойства, понятиям функций и плотности распределений. Ограниченный объем не позволяет рассматривать большое количество примеров и задач, поэтому авторы выделяют основные непрерывные и дискретные распределения. При решении задач обязательно делается проверка характеристических свойств плотностей и функций распределения.

3

ЛЕКЦИЯ 1 ПРОСТРАНСТВО ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СОБЫТИЙ ,

АЛГЕБРА СОБЫТИЙ, ВЕРОЯТНОСТЬ (АКСИАИАТИЧЕСКОЕ И КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ)

Определение. Пространство элементарных событий - это множество всех возможных взаимоисключающих исходов опыта. Исход опыта - понятие неопределяемое, интуитивное.

Обозначается:

Определение. Случайное событие - это некоторое подмножество из . Обозначается: A, B и т. д.

Пример 1. Сначала подбрасывается монета. Если выпал герб (Г ) , то подбрасывается игральная кость, если решетка (Р) , то снова подбрасывается монета. Имеем:

ΩГ1, Г2 , Г3, Г4 , Г5, Г6 , РГ, РР .

А- выпало четное число очков;

АГ2 , Г4 , Г6 ;

В- выпала хотя бы одна «решетка».

ВРГ, РР .

Определение. С называется объединением А и В (обозначается: С А В ), если в результате опыта проходит хотя бы одно из событий А или В .

Определение. С называется произведением А и В (обозначается: С А В ), если в результате опыта происходят оба события А и В одновременно. События А и В называются равновозможными, если есть основания считать что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Пример 2. Бросаются две монеты. Г - присваивается одно

очко, Р - ноль очков. Рассматриваются события:

А 0, В 1; С 2.

Очевидно, что В - выпадает чаще, чем А и C , т. е. эти исходы неравновозможны.

4

событию А А называется множество элементов из Ω А.

Эти понятия хорошо иллюстрируются следующей диаграммой

(рис 1).

Прямоугольник соответствует Ω , А и В - овалы. Очевидны свойства этих операций:

АВ В А,

АВ С А В С А В С .

АВ В А,

АВ С А В С А В С .

АВ С А В А С .

5

Однако не все арифметические свойства выполняются: например, вообще говоря, А В \ В А.

Определение. А и В - несовместны, если их пересечение - пустое множество ( А В ).

Определение. Множество называется алгеброй, если оно является такой системой подмножеств Ω , что

1.Ω

2.если А , В , то А В , А \ В , А В . Пример 3.

а) ={ Ω , } - минимальная алгебра.

б) = { А, А , Ω , }- алгебра, порождѐнная событием А.

в) - алгебра, порожденная системой всех (включая и пустое множество) подмножеств Ω .

Вероятность (аксиоматическое определение)

действительное число, которое ставится в соответствие А , (обозначается Р А ), такое что:

1.Р Ω 1

2.А 0 Р А 1

3.А , В , А В Р А В Р А Р В .

Соотношения 1), 2) и 3) называются аксиомами, и соответствующее определение Р А - аксиоматическими.

Следствия: 1. Р ( ) 0

Имеем:

Ω Ω Ω, , Ω ,

получим:

Р Р Р Р 1 Р 0 ,

6

следовательно: Р ( ) 0 .

2. При В А, Р А \ В Р А Р В .

Действительно, см. рис. 2,

следует, что

А В А \ В ,

кроме того

В А \ В .

Поэтому из аксиомы 3) получим:

Р А Р В Р А \ В Р А \ В Р А Р В .

3. Очевидно, что

Р А 1 Р А ,

так как

А А Ω и А А ,

то по аксиоме 3) получим:

Р А А Р А Р А Р Ω 1 Р А 1 Р А .

4. Теорема сложения. Покажем, что если

А В ,

то:

Р А В Р А Р В Р А В .

Действительно, см. рис. 1 [(а) - (с)] получим:

А В А В \ А В ,

кроме того:

А В \ А В и В А В ,

используя аксиому 3) и свойство 2, имеем:

Р А В Р А Р В \ А В Р А Р В Р А В .

7

В общем случае для событий А1, А2 ,...,Аn имеет место формула (теорема сложения)

Доказывается по индукции.

Замечание 1. Ввиду сложности этого выражения целесообразно представлять событие А в виде суммы несовместимых событий.

Замечание 2. Так как следствия 1-4 получены из аксиом 1)-3) при всех последующих определениях вероятности - классическом, геометрическом, статическом, проверка выполнения аксиом - обязательна.

Классическое определение вероятности

Если Ω состоит из конечного числа n равновозможных

элементов, то для A ,

Р A kn ,

где k - число элементов из Ω принадлежащих А. Заметим, что из определения

Ω ω1, ω2 ,...,ωn

следует, что

i j ωi ω j .

Проверку аксиом сделать самостоятельно.

Пример 4. Найти вероятность того, что в примере 2 в сумме выпадет 2 очка.

Решение: Рассмотрим 4 очевидно равновозможных события

в примере 2.

A1 Р, Р 0

A2 Р, Г 1

A3 Г, Р 1

8

A4 Г, Г 2

Имеем, по определению

Р А4 14 .

ЛЕКЦИЯ 2 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ЗАДАЧА О ВЫБОРКЕ,

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Определение. Перестановкой из n элементов называются последовательности по n элементов, отличающиеся порядком. Если Pn - число перестановок, то Pn n!.

отличающиеся составом и порядком.

называются соединения из m элементов, взятых из n, отличающиеся только составом.

где Cnm - число сочетаний. Доказывается по индукции.

Принцип умножения. Пусть:

A A1, A2 ,...,An B B1, B2 ,...,Bm .

Рассмотрим:

C A1B1, A2B1,..., Ai B j ,..., An Bm .

Очевидно, что С состоит из n m элементов.

9