семестр 1 / Пособие_по_терверу_Чекалкин.PDF

Свойства M :

1.M C C , где С - константа

2.M Cξ CM ξ

3.M ξ η M ξ M η

4.M ξη M ξ M η , если и независимы.

Перечисленные свойства 1, 2- очевидны. Для доказательства свойств 3-4 сначала докажем теорему о математическом ожидании функции случайной величины.

Теорема. Пусть ξ и η - случайные величины,

f x и f y - соответствующие плотности распределения ξ и

η.

61

так как x убывает, то убывает и 1 y , следовательно

1 , 1 .

Окончательно получим в этом случае:

Заметим, без доказательства, что если

, с f x, y

- двумерной плотностью распределения, то

Свойство 4 доказывается аналогично: с учетом того, что f x, y f x f y

для независимых получаем:

62

Докажем 4-ое свойство.

Имеем:

D M m m 2 M m m 2M m 2 2M m m M m 2

если - независимы, то:

M m m M m M m ,

причем каждый из сомножетелей равен 0, так как

M ξ mξ Mξ mξ 0

Поэтому

D D D .

Определение:

M ξ mξ η mη

называется корреляционным моментом (обозначается K ), и имеет следующие свойства:

1.K K .

2.Kξη Dξ Dη - неравенство Шварца.

коэффициент корреляции, то неравенство Шварца запишется в виде r 1.

в наших обозначениях:

64

D 2 K 2D 0,

рассматривая это неравенство, как квадратное неравенство относительно , получим, что дискриминант его:

4K 2 4D D 0.

3. Если - независимы, то они некоррелированы, то есть:

K 0, так как

Kξη M ξ mξ η mη M ξ mξ M η mη 0

(см. доказательство свойства 4 дисперсии). Обратное неверно. В примере 4 лекции 9 имеем, что

1

m x 1 x dx 0 m ,

1

а K xy 1 dxdy 0 ,

D 2

хотя - зависимы.

Определение: корреляционной матрицей K называется матрица вида:

65

Kij K ji , i 1,...,n; j 1,...,n .

ЛЕКЦИЯ 10 ХАРАКТЕРЕСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. ЧИСЛОВЫЕ

ХАРАКТЕРИСТИКИ ОСНОВНЫХ «НЕПРЕРЫВНЫХ» РАСПРЕДЕЛЕНИЙ.

Определение: Пусть ξ - непрерывная случайная величина с fξ x - плотностью распределения. Функция

φξ (z) M [eizξ ] fξ x eizξ dx

называется характеристической и имеет следующие свойства:

1.φξ (z) определена при z

2.Существует взаимно однозначное соответствие φξ (z) и fξ x ,

согласно формуле обращения:

полагая, что по определению:

M[ξ iη] M[ξ] iM[η].

3.φaξ b (z) eizbφξ (az)

4.Если ξ1, ξ2 , ξ3,...,ξn - независимы в совокупности, то

66

Свойство 2. Следует из приведенной формулы обращения для достаточно гладких функций.

Свойство 3. Имеем:

параметрами: mη m и ση σ . Решение:

Имеем:

67

2π

Для того, чтобы найти φη z , заметим, что η σξ m, так как mη m , ση σ и η распределена нормально, как линейная функция ξ . По свойству 3 характеристической функции,

- по свойству 4, а по свойству 2 получим:

ξ1 ξ2 : N m1 m2 , σ12 σ22 ,

то есть сумма независимых «нормальных» случайных величин также распределена нормально.

Применение характеристической функции для нахождения M ξ и D ξ , (если они существуют).

68

используя представления

D ξ M ξ 2 mξ2 ,

получим:

D ξ φ 0 φ 0 2 .

ξ ξ

Найдем M ξ и D ξ с помощью найденных соотношений для основных распределений.

1. Пусть ξ распределена по показательному закону с параметром .

Имеем:

следовательно,

69

ЛЕКЦИЯ 11 МНОГОМЕРНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Определение. Пусть в системе случайных величин

70