семестр 1 / Пособие_по_терверу_Чекалкин.PDF

Пример 2. В группе 10 студентов, из них 3 отличника. Наудачу (по номерам зачеток) выбрали 4-х студентов. Найти вероятность того, что среди них 2 отличника.

Имеем:

Геометрическое определение вероятности

Пусть на отрезок АВ длины L наудачу брошена точка. При этом известно:

1)точка обязательно попадает на АВ

2)попадание точки на любой отрезок AB не зависит от места расположения этого отрезка, а зависит только от его длины

3)точка не может попасть одновременно на два непересекающихся отрезка, принадлежащих AB . Тогда

вероятность того, что точка попадет на отрезок A1B1 AB длины l , равна Ll .

Это определение распространяется на любую область D с

Аналогично и для объемных тел. Выполнение аксиом вероятности следует проверить (самостоятельно).

Пример 3. Задача о встрече.

На анализатор в течение 1 часа поступает сигналы с 2-х реле. Анализатор выдает сигнал, если время между поступлениями сигналов не превышает 20 минут. Найти вероятность поступление сигнала с анализатора.

Решение: обозначим x - время поступления сигнала с 1-ого анализатора, y - со второго. Введем оси x y с единицей измерения 1 час.

11

По условию 0 x 1, 0 y 1, то есть x и y принадлежат области D (см. рис.3). Чтобы получить сигнал анализатора, необходимо, чтобы x , y принадлежал области D , которая определяется следующими неравенствами:

1.Пусть x y , тогда для получения сигнала требуется, чтобы:

xy 13 r .

2. При y x , имеем:

12

так как

А1 В А2 В .

Окончательно получим, поделив последнее соотношение почленно на Р В :

то есть, выполнена и третья аксиома вероятности. Из условия

Р А В Р А В , Р В 0 Р В

получим:

Р А В Р В Р А В

- это соотношение называется теоремой умножения.

Определение. А и В называются независимыми, если:

Р А В Р А Р В .

Определение. Система событий А1, А2 ,...,Аn называется независимой в совокупности, если Ae1,...,Aei A1, A2 ,...,An выполнено условие:

i

P Ae1 Ae2 ... Aei ek .

k 1

Заметим, что из попарной независимости не следует независимость в совокупности. Рассмотрим пример:

Пример 1. Пусть

Ω ω1, ω2 , ω3, ω4 .

Вероятность задана по классической схеме

P ωi 14 .

Рассмотрим события:

A ω1, ω2 , B ω1, ω3 . C ω1, ω4 .

Имеем:

14

P A B P ω1 14 P A P B .

Аналогично:

P A C P A P C , P B C P B P C ,

то есть А, В , С попарно независимы. Найдем:

P A B C P ω1 14 P A P B P C 18 ,

то есть система А, В , С не будет независимой в совокупности. В общем случае для событий А1, А2,...,Аn теорема умножения имеет

независимы в совокупности, то теорема умножения существенного упрощается:

и в этом случае удобно воспользоваться равенством

Р А 1 Р А

при вычислении вероятности суммы большого числа совместных слагаемых. Заметим, что если

n

ААi ,

i1

то есть происходит хотя бы одно из Аi , то

n

АAi ,

i1

15

Пример 2. Пусть имеется схема (рис. 4),

где параллельно соединены n элементов: А1, А2 ,...,Аn ,

работающих независимо друг от друга: требуется найти надежность схемы, то есть вероятность ее исправной работы. Пусть - А -событие: ток идет по схеме, Аi : ток идет по i -му

элементу, тогда:

самостоятельно). Вообще переход к противоположному событию следует использовать там, где требуется найти вероятность суммы большого числа совместных событий. В примере 5 при заданной вероятности получим P Ai pi , получим:

n

P A 1 1 pi .

i 1

Пример 3. Четыре стрелка стреляют по мишени, события Ai

- попал i - ый стрелок - совместны, но независимы в совокупности. Найти вероятность того, что:

а) попал хотя бы один стрелок - событие A

б) попал ровно один стрелок - событие B . Пусть P Ai pi .

Решение:

16

б) B A1 A A A A A2 A A

A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 .

-все слагаемые несовместны, а события, содержащиеся в2 3 43 4 1

каждом, независимы, поэтому:

P B q1 p2 p3 p4 p1q2 p3 p4 p1 p2q3 p4 p1 p2 p3q4 ,

где qi 1 pi .

В случае совместимых событий следует использовать теорему умножения в общем виде.

Пример 4. В каждой из трех урн содержится по 4 белых и 6 черных шаров. Из 1-ой урны вынимаем 1 шар и перекладываем во 2 -ую, затем из 2 -ой вынимаем один шар и перекладываем в 3 -ю. После этого из 3 -ей вынимаем 1 шар. Найти вероятность того, что всякий раз был вынут белый шар - событие А. Обозначим:

A1 - из первой урны вынут белый шар

A2 - из второй урны вынут белый шар

A3 - из третьей урны вынут белый шар.

А А1 А2 А3 ,

так как A1, A2 , A3 - зависимы, то:

ЛЕКЦИЯ 4 ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ, ФОРМУЛА

БАЙЕСА, ЗАДАЧА О ПОВТОРЕНИИ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ, ЗАДАЧА БЕРНУЛЛИ

Формула полной вероятности. Под вероятностным пространством мы понимаем тройку: Ω ,, Р , пусть имеется

17

n

набор несовместных событий Н1...Нn , Hi Ω , тогда любое

i 1

событие A можно записать в виде:

n

AA Hi ,

i1

так как приi j

А Нi A H j ,

то:

n

P A P A Hi

i1

ииспользуя теорему умножения, получим:

полученная формула называется формулой полной вероятности и широко используется при решении задач. События H1, H2 ,…, Hn

называются при этом гипотезами, а сама схема решений - схемой гипотез.

Пример 1. Рассмотрим три урны с составом шаров из примера 4 лекции 3. Найдем вероятность того, что из третьей урны вынут белый шар, независимо от того, какие шары были переложены во вторую и третью урны.

Решение: Рассмотрим гипотезы Н1, Н2 , Н3 , Н4 :

Н1 - из первой урны вынут белый, а из второй - белый шар.

Н2 - из первой урны вынут черный, а из второй - белый шар.

Н3 - из первой урны вынут белый, а из второй - черный.

Н4 - из первой урны вынут черный, а из второй - черный.

Имеем:

18

Пример 2. Студент из 25 билетов выучил всего пять билетов. Когда вероятнее вытащить «хороший» билет, если он берет билет первым, или когда он взял билет вторым.

Решение:

Пусть А1 - студент вытащил «хороший» билет, когда выбрал первым.

Р А1 255 15 .

А2 - студент вытащил «хороший» билет, когда выбирал вторым. А2 может происходить при следующих событиях Н1и Н2 .

Н1 - первый студент взял «хороший» билет Н2 - первый студент взял «плохой» билет.

19

Имеем:

Р А2 255 244 2025 54 15

получим:

Р А2 Р А1 ,

то есть вероятность сдачи экзамена зависит только от количества выученных билетов. Заметим, что с помощью формулы полной вероятности можно вычислить условную вероятность того, что имела место гипотеза Нk , при условии, что A произошло.

Имеем по теореме умножения:

Пример 3. Известно, что в условиях примера 2 экзамен студент сдал, при этом брал билет вторым. Найти вероятность того, что тот, кто брал билет первым, вытащил «плохой» билет. Решение:

Задача о повторении независимых испытаний (задача Бернулли). Теорема Пуассона

Пусть опыт S происходит n раз, пусть Sk - результат k -ого опыта. Опыты независимы, то есть S1, S2 ,…, Sn - независимы в совокупности.

20