семестр 1 / Пособие_по_терверу_Чекалкин.PDF

Положим

91

получим:

- будет несмещенной. При n 1 Dn* Dn**.

Замечание: Когда члены генеральной совокупности сгруппированы по разрядам, то в качестве значения случайной величины рассматривают

Эффективность оценок будет рассмотрена в лекции №15.

92

ЛЕКЦИЯ 15 ФУНКЦИЯ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ

УРАВНЕНИЯ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ, ПОНЯТИЕ О КРИТЕРИЯХ СОГЛАСИЯ

Пусть ξ - дискретная случайная величина, распределена по

известному закону в зависимости от параметра

α : P ξ xi P xi , α

Определение:

n

φ x1, x2 ,...,xn , α p xi , α , где

i 1

xi - генеральная совокупность i 1,...,n . Называется функцией максимального правдоподобия дискретной случайной величины. Пусть, далее, ξ - непрерывная случайная величина с fξ x, α -

плотностью распределения. Определение:

n

φ x1, x2 ,...,xn , α f xi , α

i 1

- называется функцией максимального правдоподобия непрерывной случайной величины.

Теорема. Если существует эффективная оценка параметра α и имеется единственное решение уравнения максимального правдоподобия:

0 ,

то это решение является эффективной оценкой параметра α . Пример 1. Пусть ξ распределена по закону Пуассона с

параметром

λ : P ξ k e λ λk . k!

Получим:

93

Получим уравнение максимального правдоподобия:

точечная оценка для математического ожидания является эффективной.

Уравнение:

имеет также решение:

94

- оценка дисперсии эффективная, хотя и не является несмещенной.

Критерии согласия Байеса и Пирсона

Задача о выборе одного из предположений H0 или H1 H 0 ( H0 и H1 назовем гипотезами) по поводу какого либо условия состоит в том, что по опытным данным {x1, x2 ,...,xn} требуется определить множество значений из {x1}, которые соответствуют H0 - допустимая область и множество значений из {xi }, которые соответствуют противоположной гипотезе H1 - критическая область. При этом требуется минимизировать вероятность ошибки при принятии решения в пользу одной из гипотез. Обозначим через Γ0 - допустимую область, то есть, если опытные данные попали в Γ0 , то принимается гипотеза H0 , соответственно Γ1 - критическая область и если результат измерений Γ1, то гипотеза H0 отвергается. Пусть событие B - наблюдаемые значения попали в область Γ0 . Всего возможно 4

варианта:

1. Верна гипотеза H0 , но и xi Γ0 - то есть произошло событие:

H0 B.

2. Верна гипотеза H0 , но xi Γ1 - то есть произошло событие

H0 B .

3. Гипотеза H0 неверна, но xi Γ0 - произошло событие

H 0 B .

4. Гипотеза H0 неверна и xi Γ1 - произошло событие H 0 B .

Очевидно, что в первом и четвертом случае будет принято правильное решение.

Ошибки будут во втором случае, когда отвергается правильная гипотеза - эта ошибка называется ошибкой первого рода. И в третьем случае, когда принимается неправильная гипотеза

95

ошибка - второго рода. Следовательно, вероятность ошибки равна:

pош P H0 B H 0 B .

Порог h , обеспечивающий минимум ошибки найдем из условия:

Определить оптимальный порог можно только при условии, что априорные вероятности P H0 и P H1 известны. Критерий

принятия той или иной гипотезы в этом случае называется критерием Байеса (или критерием идеального наблюдателя).

Пример 3. На вход радиоприемного устройства в некоторый фиксированный момент t воздействует случайное напряжениеt , которое либо является суммой известного сигнала S t и случайной помехи n t , либо одной помехой n t . По полученному числовому значению t нужно решить

2

а помеха n - распределена нормально с : N 0, . Имеем:

96

На рисунке 31 а) изображены нормальные плотности распределений, пороговые значения и ошибки первого и второго рода (соответственно и ).

Однако во многих случаях априорные вероятности P H0 и P H1 неизвестны. Тогда рассматриваются только такие

разбиения на 0 и 1 , для которых ошибка первого рода

f 0 x dx .

1

Очевидно, что это условие не определяет однозначно порог h . Тогда выбирают порог таким образом, чтобы при этом ошибка второго рода, то есть

0

был бы минимальным, этим требования удовлетворяет условие

fξ0 x dx α .

Γ1

97

Величина называется уровнем значимости. Таким образом, при заданном уровне значимости вероятности ошибки первого рода минимизируется вероятность ошибки второго рода

(см. рис. 31 b)). Очевидно, невозможно минимизировать обе ошибки в этом случае. Выбор оптимального порога по уровню значимости называется выбором по критерию Пирсона. Выбор значения - вероятности ошибки первого рода определяется на практике (насколько важна для исследования возможность отвергнуть истинную гипотезу). Обычно

10% , 1% , 0,1%.

ЛЕКЦИЯ 16 КРИТЕРИЙ 2 . ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ ДЛЯ

ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Критерий согласия χ 2 применяется в случае если надо оптимально (при заданном уровне значимости) оценить меру расхождения между предполагаемым теоретическим распределением f x и опытными данными. Пусть по виду построенной гистограммы предположили, что случайная величина ξ распределена с плотностью f x . Рассмотрим меру

положим

μ r c p* pT 2 ,

nr i i i i 1

если

98

k - число степеней свободы, равное r m 1, где r - число разрядов в гистограмме, m - число связей (параметров в теоретическом распределении). По заданной вероятности α -

уровню значимости: P χk2 hα α определяем из таблиц распределения χ 2 порог hα и если наблюдаемое значение μnr hα , то гипотеза о предполагаемом распределении отвергается, при μnr hα - принимается (см. рис. 32).

99