семестр 1 / Пособие_по_терверу_Чекалкин.PDF

Заметим, что располагая только одномерными распределениями нельзя получить двумерный ряд распределения.

Пример 1. Рассмотрим два различных двумерных ряда распределения:

Соответствующие или одномерные распределения одинаковы и имеют вид:

откуда следует, что одномерные распределения не могут определять двумерное. Исключением является случай, когда η и ξ - независимы.

Определение: η и ξ - независимы, если

P ξ ξi , η η j P ξ ξi P η η j , при i, j .

Функция случайной величины

Пусть ξ, η - случайный вектор, если θ φ ξ, η - также случайная величина, то можно построить ее ряд распределения. Для того найдем все возможные значения , как f ξi , η j , i, j .

i 1,...,n; j 1,...,k . Получив эти значения и соответствующие им вероятности: P θij Pij , следует расположить значения θ в

порядке возрастания и с учетом повторов найти ряд распределения.

Пример 2. Для случайного вектора ξ, η задан двумерный ряд распределения:

31

Определение: математическим ожиданием ξ (обозначается -

M ξ Mξ mξ ) называется ξi pi , если этот ряд сходится

i 1

абсолютно. Свойства M

1.M C C , где С - константа

2.M C ξ C M ξ

3.M ξ η M ξ M η

4.M ξ η M ξ M η , если ξ и η независимы.

Свойства 1 и 2 очевидны. Докажем свойство 3. Имеем:

то есть

M ξ η M ξ M η .

Далее примем без доказательства теорему о математическом ожидании функции случайной величины (доказательство приведем в дальнейшем, в общем случае).

Теорема. Пусть - случайная величина с P ξ ξi pi , η- случайная величина: η φ ξ , тогда

M i pi .

i 1

34

Дисперсия случайной величины

Определение. Дисперсией случайной величины (обозначается D ξ или Dξ ) называется математическое

ожидание квадрата разности ξ mξ , то есть D ξ M ξ mξ 2 Свойства дисперсии.

1.D ξ 0

2.D C 0

3.D Cξ C 2 D ξ

4.D ξ η D ξ D η , если ξ и η независимы.

Свойства 1-3 очевидны. Докажем свойство 4.

Имеем:

D ξ η M ξ η M ξ η 2 M ξ mξ η mη 2M ξ mξ 2 2M ξ mξ η mη M η mη 2

Заметим, что если ξ и η независимы, то

M ξ mξ η mη M ξ mξ M η mη , но

M ξ mξ Mξ mξ 0 M η mη и получим

D ξ η M ξ mξ 2 M η mη 2 Dξ Dη .

Производящая функция и числовые характеристики основных дискретных распределений

Определение. Пусть ξ принимает только целые

неотрицательные значения. Функция ξ k

ψ t M tξ t k p

k 0

называется производящей и имеет следующие свойства:

1. t определена при t : t 1, так как ряд t k pk

0

35

сходится абсолютно при t 1. Действительно ряд t k pk

С помощью t и ее производных можно в точке t 0

производить вычисление соответствующих вероятностей:

Pk k1!ψξk 0 .

36

Найдем M ξ и D ξ для основных дискретных распределений:

1. Распределение Бернулли:

P ξ k Cnk pk qn k , имеем:

37

ЛЕКЦИЯ 7 АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ

ВЕЛИЧИНА, ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, ОСНОВНЫЕ «НЕПРЕРЫВНЫЕ» РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Пусть ξ случайная величина, Fξ x - ее функция распределения, для которой выполнены характеристические свойства 1-3.

1. Fξ x - неубывающая

2. Fξ x - непрерывна слева

3. Fξ 0, Fξ 1

Кроме того, известно что P a ξ b Fξ b Fξ a . Определение: ξ называется абсолютно непрерывной случайной величиной , если fξ x , такая что

x

F x f t dt (*)

Определение: fξ x , допускающая интегральное представление

функции распределения называется плотностью распределения. Заметим, что в точках непрерывности fξ x имеет место

равенство Fξ x fξ x . Свойства плотности распределения:

1. f x 0 , так как является производной неубывающей

функции.

2. fξ x dx 1, так как, с помощью (*) получим:

b

P a ξ b Fξ b Fξ a fξ x dx , отсюда:

a

38

fξ x dx Fξ Fξ 1

Свойства 1 и 2 являются характеристическими, то есть для f x , удовлетворяющей этим свойствам найдется случайная величина ξ , для которой f x являются плотностью распределения.

Полезно рассмотреть геометрический смысл

Отсюда получим, что:

P a ξ b P a ξ b P a ξ b P a ξ b .

Основные «непрерывные» распределения

1. Равномерное распределение на интервале a,b : ξ равномерно распределена на a,b , если:

39

fx C, x a,b

ξ0, x a, b

Из свойства 1 плотности имеем C 0, из рис. 9

получим, что площадь прямоугольника

2.P

3.P

4.P 2 ξ 42ξ 2ξ

Рассмотрим рисунок 10.

40