семестр 1 / Пособие_по_терверу_Чекалкин.PDF

Добавил:

chrysler_a57_mltbnk Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

fξη x, y dxdy 1,

fξη x, y dxdy

fξη x, y dy

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.05.2026

Размер:

1.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

Где xi

mi ;

Aij - элементы матрицы K

, обратной к K ,

определитель матрицы K .

Заметим, что по определению:

x1, x2 ,..xn

n F

x ,...,x

ξ ,..,ξ

fξ ,ξ

,..,ξ

x1, x2... xn

x1,.., xn

где

Fξ

,.., ξ

многомерная функция распределения:

Fξ ,.., ξ

x1, x2 ,...,xn P ξ1 x1,...,ξn xn .

Для примера рассмотрим двумерное распределение; имеем при

ξ1 ξ , ξ2 η

		D		K			m	; m m .
K			ξ		ξη	; m	m	; m m .
	K		ξη	D		ξ	1	η 2
			ξη		η

x x m1 ; y y m2 .

Найдем K :

K Dξ Dη Kξη2 0, согласно неравенству Шварца. Случай

0 - особый, его не рассматриваем. Представим

в виде:

σ 2σ 2 1 r 2

, где σ

, r

Kξη

, σ

ξ η

ξη

σξ ση

Получим K

A21

A22

где A11

A12

A21

rξη

σ 2

1 r 2

, A22

σ 2

1 r 2

ξη

Следовательно:

0 0

2r x y

y 2

2 1 r 2

σ 2

σ1σ 2

σ 2

x, y

ξη

σ σ

1 r 2 2π

где r rξη ,

σ1 σξ ,

σ2 ση ,

x x mξ ,

y mη .

Найдем одномерные плотности fξ x и

fη y .

Имеем:

0 0

2r x y y 2

2 1 r 2

σ 2

σ1σ 2

σ 2

fξ x fξη x, y dy

dy ,

σ σ

1 r 2 2π

выделим полный квадрат в показателе, получим:

r x

2 1 r 2

σ2

σ1

fξ x

2σ1

1 r 2

σ σ

2π

x m

r x

2 1 r 2

σ2

σ1

2σ1

dy ,

σ1

2π

1 r 2

2π

после замены переменной в интеграле:

r x

σ2

σ1

1 r

получим:

x m

fξ x

2σ1

2 dt

2σ1 .

2π

Очевидно, что

				y m	2	2
					2
fη y	1			2
	1			2
			e	2σ 2		.

	σ2
	σ2	2π

Заметим, во-первых, что одномерные распределения нормальны, а во-вторых,

Кроме того, если ξ η - некоррелированы, то ξ η - независимы,

так как при

fξη x, y fξ x fη y .

Таким образом, нормальное распределение обладает рядом

простых свойств, присущих только ему. А именно:

1. Линейное преобразование нормального распределения -

нормально (см. лекцию 9, пример 5)

2. Одномерные распределения нормального распределенного

случайного вектора - также нормальны.

3. Из некоррелированности компонентов случайного вектора

следует их независимость.

4. Сумма независимых «нормальных» случайных величин

также «нормальна».

x2 2xy 5 y 2

x, y

Пример. Пусть f

. Найти

ξη

одномерные распределения fξ x и

fη y . Имеем из общей

формулы * :

1 r 2

σ12

1 r 2 σ22

5 ,

1 r 2 σ1σ2

1 r 2

, σ

; кроме того, из * следует, что m m 0 .

2x2

Получим:

;

e 2 y

2π

5.Покажем, что условные распределения «нормальных»

величин также нормальны.

Определение: Пусть fξη x, y - двумерная плотность

распределения компонент	вектора ξ, η ,		fξ x и	fη y -
одномерные плотности.		fξη x, y
f ξ	x, y	fξη x, y

		fη y
η		fη y

называется условной плотностью распределения при η const , и fη y 0 .

Для нормального распределения получим:

0 0

1 r

2r x y

1 r

σ σ

1 2

f ξ x, y

1 r

σ1

2π

r y

2 1 r 2

σ1

σ 2

1 r 2

2π

при y const , получим:

x m

x, y

σ ξ

f ξ

σ ξ

2π

σ1

y m

где σ

1 r 2 , m

σ2

Условное математическое ожидание, рассматриваемое как функция от y , называется линией регрессии, при r 0 регрессия

вверх, при r 0 - вниз.

ЛЕКЦИЯ 12 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ. НЕРАВЕНСТВО

ЧЕБЫШЕВА. СХОДИМОСТЬ ПО ВЕРОЯТНОСТИ. ТЕОРЕМА ЧЕБЫШЕВА, ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ. ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ.

Пусть ξ - случайная величина с плотностью распределения

fξ x , mξ и Dξ , тогда выполнено неравенство:

ξ m

Dξ

, при α 0

α2

(неравенство Чебышева).

Доказательство:

Имеем:

x mξ 2

Dξ

fξ x dx

x mξ

2 fξ x dx

x mξ

2 fξ x dx

α2 fξ x dx

x mξ

α2P

ξ m

α P

ξ m

Dξ

;

α2

заметим, что это неравенство имеет только теоретическое значение, оценки с его помощью получаются очень грубыми. Например, для ξ : N 0, σ по правилу 3σ получим:

P ξ 3σ 1 0,998 0,002 , а из неравенства Чебышева получим:

P ξ 3σ σ 2 1 .

9σ 2 9

Сходимость по вероятности

Определение: Пусть ξ1, ξ2 ,...,ξn последовательность случайных величин. ξn стремится к ξ при n по вероятности,

ε 0 : lim P

ε 1,

(обозначение:

P ξ ) если для

или

n n

ε 1

ε 0, ε1 0, N ε, ε1 : n N ε, ε1

ξn ξ

ε1,

или

1 ε1 P

ξn ξ

ε 1 ε1, n N ε, ε1 .

Так как правая часть неравенства выполняется всегда, то в

качестве определения сходимости по вероятности примем: при
ε 0, ε1 0, N ε, ε1 : n N ε, ε1		P	ξn ξ	ε 1 ε1,
ε 0, ε1 0, N ε, ε1 : n N ε, ε1		P	ξn ξ	ε 1 ε1,
	P
что и означает что ξn	ξ .
	n

Теорема Чебышева (1)

Пусть ξ1, ξ2 ,...,ξn ,... последовательность независимых

случайных величин с		mξi	m и	Dξi D , тогда среднее
	1	n
арифметическое ξi : ηn	1	ξi	стремится по вероятности к m.
арифметическое ξi : ηn	n	ξi	стремится по вероятности к m.
	n	1

Для доказательства применим неравенство Чебышева к

последовательности ηn , получим:

ηn mηn

ε 1

Dηn

при ε 0, так как

m m, D

ηn

получим:

η m

ε 1

nε2

При ε, ε1 0 найдем

N ε, ε1

при n N ε, ε1

такое

чтобы

выполнялось неравенство

, получим, что при

nε2

N ε, ε1

и при всех n N ε, ε1 имеем:

nξ 2ξ1

η m

ε 1

1 ε ,

nε2

что и требовалось доказать.

Теорема Чебышева (2)

Пусть ξn

последовательность

случайных величин с

mξi mi , Dξi D ; и Di

L , при i , тогда:

ξi

0 .

Из неравенства Чебышева имеем:

η m

ε 1

Dηn

ηn

так как

mη

, Dη

Получим: при заданных ε, ε1 0, неравенство:

1 ε

выполнено для

, или n

, или

nε2

2ε

n N ε, ε1

ε2ε1

Теорема Бернулли

Пусть проводится n независимых опытов с вероятностью

успеха в каждом					равной	p . Частотой успеха называется
отношение:	k	p*		,	где k -	число успехов. Теорем Бернулли
отношение:		p*		,	где k -	число успехов. Теорем Бернулли
	n		n
	n
					p
утверждает,	что				p* p ,	то есть частота стремится к
					n n
вероятности успеха (заранее нам неизвестной) по вероятности.

Для доказательства рассмотрим последовательность случайных

величин ξi , равных числу успехов в i - ом опыте. Очевидно, что
ξi принимает значения 0,1 с
P ξi 0 1 p; P ξi 1 p . M ξi 0 1 p 1p p ,
при i . Среднее арифметическое ξi равно частоте:
	1	1
pn*		ξi ,
	n
		n
			p
по теореме Чебышева (1) получим, так как D			pq : p* p что
		ξi	n n

и т.д. Эта теорема носит название закона больших чисел и является теоретическим обоснованием для приближенного

определения вероятности успеха в каждом опыте в виде kn , где k

- число успехов в n независимых опытах (чем больше n , тем точнее результат).

Центральная предельная теорема

Пусть ξn бесконечная последовательность независимых

случайных величин с fξn x f x , mξi m , Dξi D , при

i 1,2,...,n,...

Определение: случайная величина λn называется асимптотически нормальной, если

	λn mλn		1	x	t 2
					2

P		x		e		dt ,
	σ λn

		n	2π

то есть функция распределения нормированной случайной

величины λ0	λn mλn	, при неограниченном возрастании	n

n	σ λn

приближается к нормальной функции распределения. Покажем,

что случайная величина ξi

- асимптотически нормальна.

Доказательство. Рассмотрим ξ i ξi m и ее характеристическую

функцию: φ 0 z φ z , (по условию

fξi x f x ). Ряд Тейлора

ξi

φ z имеет вид:

z 0

z 2 z ,

0 z

0 z 2

где α z

0 ; имеем φ 0 1, φ 0 imξi 0 .

Z 0

z 1

z z

0 i

Имеем далее:

0 z

0 z 1

z 2 z 2 z

i 1

			z n			z
n					0


	i						n
	i			i			n
1				1

	n

	ln n 0
	ln n 0			z n ln 1
Найдем			i
Найдем			i
		1

z 2

n .

z 2

При n , получим:

lim ln n

lim

2 ,

z e

lim

n 0

или n

Вернувшись к последовательности ξi получим, что плотность

распределения нормированной случайной величины

μn

ξi mn

nD i 1

стремиться к нормальной плотности распределения с
параметрами	0,1 учитывая взаимно однозначное соответствие
плотности распределения		и производящей функции, равной:
Z 2		n
φ z e 2 .	Заметим, что	ξi линейно выражается через μn ,
		1
n
поэтому ξi	можно считать приближенно нормальной (свойство
1

1 нормального распределения в лекции 11). Окончательно получим:

x mn 2

e 2σ 2n ,

2π

где

m M ξ

σ 2 D ξ

fη

x - плотность распределения.

ЛЕКЦИЯ 13 ТЕОРЕМА МУАВРА-ЛАПЛАСА

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке семестр 1

#
13.05.20264.56 Mб0Agapov_G_I_Zadachnik_po_teorii_veroyatnostey.pdf
#
13.05.20261.95 Mб0Пособие_по_терверу_Чекалкин.PDF.pdf