Добавил:

chrysler_a57_mltbnk Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

семестр 1 / Пособие_по_терверу_Чекалкин.PDF

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.05.2026

Размер:

1.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1111

вероятность того, что он будет содержать истинное значение параметра α не меньше β - это число называется доверительной вероятностью, оно должно быть достаточно близким к 1.

Интервал a,b при этом называется доверительным интервалом:

I β α a,b ,

где

P a α b β .

Общих методов для нахождения доверительных интервалов не рассматриваем. Покажем на примерах, каким образом они могут быть найдены, используя различные определения оценок параметров.

Пример 1. Найти доверительный интервал для математического ожидания, если известна дисперсия. Положим:

ε β . mn*

m mn*

n i 1

- нормально распределена с параметрами:

M m* m , так как эта

оценка несмещенная,

D mn* D

Dξ

n i 1

Получим:

P m ε m* m ε Φ

ε m

Dξ

2Φ

β ε

Φ1

где

t 2

Φ x

dt , Φ1 y

2π

101

- обратная		к Φ x		функция. Например, при n 20 ,
m* 10,78	, D 0,064 и		β 0,8, получим:
n		ξ
		ε			0,064	Φ 1 0,4
		ε		20		Φ 1 0,4
				20

I β m 10,71;10,85 .

Пример 2. Найти доверительный интервал для m при неизвестной дисперсии. Рассмотрим случайную величину

		m m* .
T	n
T
	D*	n
	D*
	n

Эта случайная величина распределена по закону Стьюдента с

плотностью fT x :

k 1

f x

πkΓ

где k n 1.

Известны таблицы вероятности:

x dx ψ y P

y 2 fT

m mn*

m m*

β ;

следовательно

Dn*

Ψ1 β .

ψ 1 β , ε

Dn*

Например, при n 5 , m* 0,4 , β 0,9

, D* 6,6 , получим при

k5 1 4 из таблиц

ψ1 0,9 2,13; ε 2,13 6,65 2,57 . I β m 2,17;2,97 .

102

Пример 3. Найти доверительный интервал для дисперсии, если известно, что случайная величина распределена нормально. Рассмотрим

Dn* nDV1 ,

можно показать, что случайная величина V при этом

распределена по закону распределения							χ 2	с r n 1.
							r
Найдем сначала V и V			из условий:
1	2		P V V V β ,
				1		2
при этом:
P 0 V V		1 β			P V	V .(См. рис. 33).
P 0 V V					P V	V .(См. рис. 33).
1			2	2
			2

Как известно значения вероятности:

P χ 2
P χ 2	x f	χ 2	t dt
	x

можно найти по таблицам. Имеем:

		1 β		1 β
P V V1	fV t dt 1					,
			2		2
V1

по указанным таблицам находим V1.

		1 β
P V V2	fV t dt	1 β	,
P V V2	fV t dt	2	,
V2		2
V2
находим V2 . Получим:

103

P V1 V V2 β P

D* n 1

β .

n 1 D*

например, при

n 5 ,

β 0,8, D* 6,6 ,

получим:

1 β 0,1

и этому значению соответствует V2 7,78 ; при

1 β 0,9 ,

найдем V1 0,9.

I β 3,33;24,81 .

104

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК:

1.Вентцель Е. С. Теория вероятностей. М. Наука, 1964 г.

2.Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей. М. Наука, 1973 г.

3.Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. М. Радио и связь, 1982 г.

4.Ширяев А. Н. Вероятность. М. Наука, 1980 г.

5.Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. М. Наука, 1982 г.

6.Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей. М. Наука, 1973 г.

7.Ивашев-Мусатов О. С. Теория вероятностей и математическая статистика. М. Наука, 1979 г.

8.Боровков А. А. Теория вероятностей. М. Наука, 1986 г.

9.Севастьянов Б. А., Чистяков В. П., Зубков А. М. Сборник задач по теории вероятностей. М. Наука, 1980 г.

10.Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М. «Высшая школа», 1999 г.

105

СОДЕРЖАНИЕ:

Вступление……………………………………………………3

Лекция 1. Пространство элементарных событий, алгебра событий, вероятность (аксиоматическое и классическое определения)…………………………………………………….4

Лекция 2. Элементы комбинаторики, задача о выборке, геометрическое определение вероятности…………………….9

Лекция 3. Условная вероятность. Независимость, теоремы сложения и умножения………………………………………...13

Лекция 4. Формула полной вероятности, формула Байеса, задача о повторении независимых испытаний (задача Бернулли)……………………………………………………….17

Лекция 5. Случайная величина, ряд и функция распределения случайной величины………………………….23

Лекция 6. Многомерные случайные величины, двумерный ряд распределения. Числовые характеристики случайных величин…………………………………………………………29

Лекция 7. Абсолютно непрерывная случайная величина, плотность распределения, основные непрерывные распределения………………………………………………….38

Лекция 8. Многомерные непрерывные случайные величины, функция и плотность распределения; функции случайных величин…………………………………………………………45

Лекция 9. Функции случайных величин (продолжение). Математическое ожидание, дисперсия, корреляционный момент непрерывных случайных величин…………………..54

106

Лекция 10. Характеристическая функция. Числовые характеристики основных непрерывных распределений. Нормальные многомерные распределение…………………..66

Лекция 11. Многомерное нормальное распределение…...70

Лекция 12. Предельные теоремы. Неравенство Чебышева, сходимость по вероятности. Теорема Чебышева, Законы больших чисел. Теорема Бернулли…………………………..74

Лекция 13. Теорема Муавра-Лапласа……………………..80

Лекция 14. Элементы математической статистики. Генеральная совокупность, эмпирическая функция распределения. Группированная выборка и гистограмма….85

Лекция 15. Функция максимального правдоподобия, уравнение максимального правдоподобия, понятие о критериях согласия……………………………………………92

Лекция 16. Критерий χ 2 . Доверительные интервалы для параметров распределения…………………………………...97

Библиографический список………………………………….104

107

Николай Степанович Чекалкин Светлана Дмитриевна Гумляева

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Учебное пособие

Редактор Н. С. Чекалкин

Подписано в печать…Формат… Бумага офсетная. Печать офсетная.

Усл. Печ. л…. Усл. Кр.-отт… Уч.-изд. л…. Тираж …экз.

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет)» 119454, Москва, пр. Вернадского,78

108

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1111

Соседние файлы в папке семестр 1

#
13.05.20264.56 Mб0Agapov_G_I_Zadachnik_po_teorii_veroyatnostey.pdf
#
13.05.20261.95 Mб0Пособие_по_терверу_Чекалкин.PDF.pdf